Dạng toán 5: Tính tổng của một cấp số nhân

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
#1
Phương pháp áp dụng
Thông thường bài toán được chuyển về tính tổng của một cấp số nhân.

Ví dụ vận dụng
Thí dụ 1. Tính các tổng sau:
a. S = 2 + 6 + 18 + … + 13122.
b. S = 1 + 2.2 + 3.2$^2$ + … + 100.2$^{99}$. (1)
Giải​
a. Xét cấp số nhân (u$_n$) có u$_1$ = 2 và công bội q = 3, ta được:
13122 = u$_n$ = u$_1$.q$^{n – 1}$ = 2.3$^{n – 1}$ <=> n = 9
S = S$_9$ = u$_1$.$\frac{{{q^9} - 1}}{{q - 1}}$ = 2.$\frac{{{3^9} - 1}}{{3 - 1}}$ = 19682.
b. Ta có ngay: 2S = 1.2 + 2.2$^2$ + 3.2$^3$ + … + 100.2$^{100}$. (2)
Lấy (2) trừ (1), ta được: S = 100.2$^{100}$ - (1 + 2 + 2$^{2}$ + … + 2$^{99}$)
= 100.2$^{100}$ - $\frac{{{2^{100}} - 1}}{{2 - 1}}$ = 99.2$^{100}$ + 1.

Thí dụ 2. Tính tổng S = 1 + 11 + 111 + … .
Giải​
Xét hai dãy số:
* Cấp số nhân (u$_n$) có u$_1$ = 1 và công bội q = 10.
* Dãy số (s$_n$) = {1, 11, 111, …}.
Suy ra s$_n$ là tổng n số hạng đầu của cấp số nhân (u$_n$), tức là:
s$_n$ = $\frac{{{{10}^n} - 1}}{{10 - 1}}$ = $\frac{1}{9}$(10n - 1).
Khi đó, ta nhận được: S = s$_1$ + s$_2$ + … + s$_n$ = $\sum\limits_{k = 1}^n {{s_k}} $
= $\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{9}({{10}^k} - 1)} $
= $\frac{1}{9}$$\sum\limits_{k = 1}^n {{{10}^k}} $ - $\frac{n}{9}$
= $\frac{1}{9}$.10.$\frac{{{{10}^n} - 1}}{{10 - 1}}$ - $\frac{n}{9}$
$ = \frac{1}{{81}}\left( {{{10}^{n + 1}} - 10 - 9n} \right)$

Nguồn: Học Lớp
 

Bình luận bằng Facebook