Dạng toán 4: Xét tính tăng, giảm của một dãy số

Phương pháp áp dụng
Ta có thể lựa chọn một trong các cách sau:
Cách 1: Thực hiện theo các bước:

• Bước 1: Lập hiệu H = u$_{n+1}$ - u$_n$, từ đó xác định dấu của H.
• Bước 2: Khi đó:

* Nếu H > 0 với ∀n ∈ N* thì dãy số (u$_n$) tăng.
* Nếu H < 0 với ∀n ∈ N* thì dãy số (u$_n$) giảm.

Cách 2: Nếu u$_n$ > 0 với ∀n ∈ N* ta có thể thực hiện theo các bước:

• Bước 1: Lập tỉ số P = $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}$, từ đó so sánh P với 1.
• Bước 2: Khi đó:

* Nếu P > 1 với ∀ n ∈ N* thì dãy số (u$_n$) tăng.
* Nếu P < 1 với ∀n ∈ N* thì dãy số (u$_n$) giảm.

Ví dụ vận dụng
Thí dụ 1. Xét tính tăng, giảm của dãy số (u$_n$) với u$_n$ = $\frac{n}{{{5^n}}}$.
Ta có thể trình bày theo hai cách sau:
Cách 1: Xét hiệu: H = u$_{n+1}$ - u$_n$ = $\frac{{n + 1}}{{{5^{n + 1}}}}$ - $\frac{n}{{{5^n}}}$ = $\frac{{n + 1 - 5n}}{{{5^{n + 1}}}}$ = $\frac{{1 - 4n}}{{{5^{n + 1}}}}$ < 0, ∀n ∈ N*. Vậy, dãy (u$_n$) giảm.

Cách 2: Dễ thấy u$_n$ > 0 với ∀n ∈ N*, xét tỉ số:
P = $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}$ = $\frac{{n + 1}}{{{5^{n + 1}}}}$:$\frac{n}{{{5^n}}}$ = $\frac{1}{5}\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)$ < 1. Vậy, dãy (u$_n$) giảm.

Thí dụ 2. Xét tính tăng, giảm của dãy số (u$_n$), biết: $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_n} = 2{u_{n - 1}} + 1,\,\,n \ge 2\end{array} \right.$.
Ta có thể trình bày theo hai cách sau:
Cách 1: Xét hiệu: H = u$_{n+1}$ - u$_n$ = (2u$_n$ + 1) - u$_n$ = u$_n$ + 1.
Ta sẽ đi chứng minh u$_n$ > 0, ∀n ∈ N* bằng quy nạp.
Ta có: u$_1$ = 1 > 0, tức công thức đúng với n = 1.
Giả sử công thức đúng với n = k, tức là uk > 0, ta đi chứng minh uk + 1 > 0.
Thật vậy: u$_{k+1}$ = 2u$_{k}$ + 1 > 0, đpcm.
Vậy, ta luôn có u$_n$ > 0, ∀n ∈ N*.
Do đó H > 0, từ đó suy ra dãy (u$_n$) tăng.

Cách 2: Trước tiên, ta đi chứng minh u$_n$ > 0, ∀n ∈ N* (tương tự như trong cách 1)
Xét tỉ số:
P = $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}$ = $\frac{{2{u_n} + 1}}{{{u_n}}}$ = 2 + $\frac{1}{{{u_n}}}$ > 1
Vậy, dãy (u$_n$) tăng.
* Chú ý: Đối với bất đẳng thức chứa các toán tử mang tính đặc thù trong nhiều trường hợp chúng ta sử dụng tính đơn điệu của dãy số để chứng minh, cụ thể với dãy số u$_n$ để chứng minh u$_k$ ≤ u$_0$ ta đi chứng minh dãy u$_n$ đơn điệu giảm.

Thí dụ 3. Cho dãy số (u$_n$) xác định bởi: u$_1$ = 3 và u$_n$ = 4u$_{n-1}$ - 1 với mọi n ≥ 2.
Chứng minh rằng:
a. u$_n$ = $\frac{{{2^{2n + 1}} + 1}}{3}$.
b. (u$_n$) là một dãy số tăng.
a. Ta đi chứng minh công thức trên bằng phương pháp quy nạp.
* Với n = 1, ta có: u$_1$ = $\frac{{{2^{2 + 1}} + 1}}{3}$ = $\frac{9}{3}$ = 3 đúng.
* Giả sử công thức đúng với n = k, tức là uk = $\frac{{{2^{2k + 1}} + 1}}{3}$.
* Ta đi chứng minh (2) đúng với n = k + 1, tức là chứng minh: u$_{k+1}$ = $\frac{{{2^{2k + 3}} + 1}}{3}$.
Thật vậy: u$_{k+1}$ = 4u$_k$ - 1 = $\frac{{4({2^{2k + 1}} + 1)}}{3}$ - 1 = $\frac{{{2^{2k + 1 + 2}} + 4 - 3}}{3}$ = $\frac{{{2^{2k + 3}} + 1}}{3}$.
Vậy, ta được u$_n$ = $\frac{{{2^{2n + 1}} + 1}}{3}$.
b. Xét hiệu: u$_{k+1}$ - u$_k$ = $\frac{{{2^{2k + 3}} + 1}}{3}$ - $\frac{{{2^{2k + 1}} + 1}}{3}$ = $\frac{{{2^{2k + 1}}({2^2} - 1)}}{3}$ = 22k + 1 > 0
=> u$_{k+1}$ > u$_k$
Vậy (u$_n$) là một dãy số tăng.