Dạng toán 4: Tìm các phần tử của một cấp số nhân

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
#1
Phương pháp áp dụng
Thông thường bài toán được chuyển về xác định u$_{1}$ và công bội q.

Ví dụ vận dụng
Thí dụ 1
. Tìm số hạng đầu u$_{1}$ và công bội q của các cấp số nhân (u$_n$), biết: $\left\{ \begin{array}{l}{u_4} - {u_2} = 72\\{u_5} - {u_3} = 144\end{array} \right.$.
Giải​
Ta biến đổi: $\left\{ \begin{array}{l}{u_1}.{q^3} - {u_1}.q = 72\\{u_1}.{q^4} - {u_1}.{q^2} = 144\end{array} \right.$
<=> $\left\{ \begin{array}{l}{u_1}.q({q^2} - 1) = 72\\{u_1}.{q^2}({q^2} - 1) = 144\end{array} \right.$
=> q = $\frac{{144}}{{72}}$ = 2
=> u$_1$ = 12.
Vậy, cấp số nhân (u$_n$) có u$_1$ = 12 và q = 2.

Thí dụ 2. Cho cấp số nhân (u$_n$) thoả mãn u$_4$ - u$_2$ = 72 và u$_{5}$ - u$_3$ = 144.
a. Tìm số hạng đầu tiên và công bội.
b. Tính tổng số của 10 số hạng đầu tiên.
c. Tính tổng S’ = u$_{3}$ + u$_{6}$ + … + u$_{12}$.
Giải​
a. Gọi q là công bội của cấp số nhân (u$_n$), ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}{u_4} - {u_2} = 72\\{u_5} - {u_3} = 144\end{array} \right.$
<=> $\left\{ \begin{array}{l}{u_1}.{q^3} - {u_1}.q = 72\\{u_1}.{q^4} - {u_1}.{q^2} = 144\end{array} \right.$
<=> $\left\{ \begin{array}{l}{u_1}.({q^3} - q) = 72\\{u_1}.({q^4} - {q^2}) = 144\end{array} \right.$
=> $\frac{{{q^3} - q}}{{{q^4} - {q^2}}}$ = $\frac{1}{2}$
<=> q = 2 => u$_1$ = 12.
Vậy, cấp số nhân (u$_n$) có u$_1$ = 12 và q = 2.

b. Ta có: S$_{20}$ = u$_{1}$ + u$_{2}$ + … + u$_{10}$
= u$_{1}$.$\frac{{{q^{10}} - 1}}{{q - 1}}$
= 12.$\frac{{{2^{10}} - 1}}{{2 - 1}}$ = 12276.

c. Ta có: S’ = u$_{3}$ + u$_{6}$ + … + u$_{12}$
= u$_{3}$.$\frac{{{q^{10}} - 1}}{{q - 1}}$
= 12.22.$\frac{{{2^{10}} - 1}}{{2 - 1}}$ = 49104.

Thí dụ 3. Cho ba số a, b, c lập thành một cấp số nhân. Chứng minh rằng: (a + b + c)(a - b + c) = a$^2$ + b$^2$ + c$^2$. Áp dụng: Tìm ba số liên tiếp của một cấp số nhân biết tổng của chúng bằng 21 và tổng bình phương của chúng bằng 189.
Giải​
Từ giả thiết ba số a, b, c lập thành một cấp số nhân, ta được: ac = b$^2$.
Khi đó: (a + b + c)(a - b + c)
= (a + c)$^2$ - b$^2$
= a$^2$ + 2ac + c$^2$ - b$^2$
= a$^2$ + 2b$^2$ + c$^2$ - b$^2$
= a$^2$ + b$^2$ + c$^2$, đpcm.
Áp dụng: Với ba số a, b, c thoả mãn điều kiện đầu bài ta được: a + b + c = 21 và a$^2$ + b$^2$ + c$^2$ = 189
Suy ra: a - b + c = $\frac{{189}}{{21}}$ = 9
=> $\left\{ \begin{array}{l}b = 6\\a + c = 15\end{array} \right.$
=>$\left\{ \begin{array}{l}b = 6\\a + c = 15\\{a^2} + {c^2} = 153\end{array} \right.$
<=> $\left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 6\\c = 12\end{array} \right.$.
Vậy, ba số cần tìm là 3, 6, 12.

Thí dụ 4. Biết rằng ba số x, y, z lập thành một cấp số nhân và ba số x, 2y, 3z lập thành một cấp số cộng. Tìm công bội của cấp số nhân.
Giải​
Gọi q là công bội của cấp số nhân.
Các số x, 2y, 3z lập thành một cấp số cộng, suy ra: x + 3z = 4y
<=> x + 3xq$^2$ = 4xq
<=> $\left[ \begin{array}{l} x = 0\,\left( {loai} \right)\\ 3{q^2} - 4q + 1 = 0 \end{array} \right.$
<=> $\left[ \begin{array}{l}q = 1\\q = \frac{1}{3}\end{array} \right.$
Vậy, cấp số nhân có công bội q = 1 hoặc q = $\frac{1}{3}$.

Nguồn: 7scv
 
Sửa lần cuối:

Bình luận bằng Facebook