Dạng toán 4: Tìm các phần tử của một cấp số cộng

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
#1
Phương pháp áp dụng
Thông thường bài toán được chuyển về xác định u$_1$ và công sai d.

Ví dụ vận dụng
Thí dụ 1.
Cho cấp số cộng (un) thoả mãn u$_{2}$ - u$_{3}$ + u$_5$ = 10 và u$_1$ + u$_{6}$ = 17.
a. Tìm số hạng đầu tiên và công sai.
b. Tính tổng số của 20 số hạng đầu tiên.
c. Tính tổng S’ = u$_5$ + u$_{6}$ + … + u$_{24}$.
Giải​
a. Gọi d là công sai của cấp số cộng (un), ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}{u_2} - {u_3} + {u_5} = 10\\{u_1} + {u_6} = 17\end{array} \right.$
<=> $\left\{ \begin{array}{l}({u_1} + d) - ({u_1} + 2d) + ({u_1} + 4d) = 10\\{u_1} + ({u_1} + 5d) = 17\end{array} \right.$
<=> $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 3d = 10\\2{u_1} + 5d = 17\end{array} \right.$
<=> $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d = 3\end{array} \right.$.
Vậy, cấp số cộng (un) có u$_1$ = 1 và d = 3.
b. Ta có: S$_{20}$ = $\frac{{20}}{2}$[2u$_1$ + (20 - 1)d] = $\frac{{20}}{2}$[2.1 + (20 - 1).3] = 590.
c. Ta có: S’ = $\frac{{20}}{2}$[2u$_5$ + (20 - 1)d] = $\frac{{20}}{2}$[2(1 + 4.3) + (20 - 1).3] = 830.

Thí dụ 2. Tìm số hạng đầu u$_1$¬ và công sai d của các cấp số cộng (un), biết: $\left\{ \begin{array}{l}{u_7} + {u_{15}} = 60\\u_4^2 + u_{12}^2 = 1170\end{array} \right.$.
Giải​
Ta biến đổi: $\left\{ \begin{array}{l}({u_1} + 6d) + ({u_1} + 14d) = 60\\{({u_1} + 3d)^2} + {({u_1} + 11d)^2} = 1170\end{array} \right.$
<=> $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 10d = 30\\u_1^2 + 14d{u_1} + 65{d^2} = 585\end{array} \right.$
<=> $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 30 - 10d\\{(30 - 10d)^2} + 14d30 - 10d + 65{d^2} = 585\end{array} \right.$
<=> $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 30 - 10d\\5{d^2} - 36d + 63 = 0\end{array} \right.$
<=> $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 30 - 10d\\d = 3\,\, hoac \,\,d = 21/5\end{array} \right.$
<=> $\left[ \begin{array}{l}d = 3\,\,va \,\,{u_1} = 0\\d = 21/5\,\,va \,\,{u_1} = - 12\end{array} \right.$.
Vậy, tồn tại hai cấp số cộng (un) có u$_1$ = 0 và d = 3 hoặc u$_1$ = -12 và d =$\frac{{21}}{5}$ thoả mãn điều kiện đầu bài.

Thí dụ 3. Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, biết tổng của chúng bằng 16 và tổng bình phương của chúng bằng 84.
Giải​
Gọi d = 2x là công sai, ta có bốn số là a - 3x, a - x, a + x, a + 3x.
Khi đó, từ giả thiết ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}(a - 3x) + (a - x) + (a + x) + (a + 3x) = 16\\{(a - 3x)^2} + {(a - x)^2} + {(a + x)^2} + {(a + 3x)^2} = 84\end{array} \right.$
<=> $\left\{ \begin{array}{l}4a = 16\\4{a^2} + 20{x^2} = 84\end{array} \right.$ <=> $\left\{ \begin{array}{l}a = 4\\x = \pm 1\end{array} \right.$
<=> $\left[ \begin{array}{l}1,\,\,3,\,\,5,\,\,7\\7,\,\,5,\,\,3,\,\,1\end{array} \right.$.
Vậy, bốn số cần tìm là 1, 3, 5, 7.
* Chú ý: Nếu không biết biểu diễn bốn số dưới dạng đối xứng như trên thì sẽ phải giải một hệ bậc hai khá phức tạp, cụ thể:
Gọi d là công sai của cấp số cộng x, y, z, t thoả mãn điều kiện đầu bài, ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}x + y + z + t = 14\\{x^2} + {y^2} + {z^2} + {t^2} = 94\end{array} \right.$
<=> $\left\{ \begin{array}{l}x + (x + d) + (x + 2d) + (x + 3d) = 14\\{x^2} + {(x + d)^2} + {(x + 2d)^2} + {(x + 3d)^2} = 94\end{array} \right.$
<=> $\left\{ \begin{array}{l}2x + 3d = 7\\2{x^2} + 6xd + 7{d^2} = 47\end{array} \right.$.
Như vậy:
* Với ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, ta đặt: a - x, a, a + x, trong đó x là công sai.
* Với bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, ta đặt: a - 3x, a - x, a + x, a + 3x, trong đó x là công sai.
* Với năm số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, ta đặt: a - 2x, a - x, a, a + x, a + 2x, trong đó x là công sai.
 

Bình luận bằng Facebook