Phương pháp áp dụng
a. Để ba số a, b, c lập thành cấp số cộng, điều kiện là: a + c = 2b,
bài toán được chuyển về việc giải phương trình.
b. Để bốn số a, b, c, d lập thành cấp số cộng, điều kiện là: $\left\{ \begin{array}{l}a + c = 2b\\b + d = 2c\end{array} \right.$ bài toán được chuyển về việc giải hệ phương trình.
Ví dụ minh họa
Thí dụ 1. Tìm x để ba số x$^2$ + 1, x - 2, 1 - 3x lập thành một cấp số cộng.
(x$^2$ + 1) + (1 - 3x) = 2(x - 2) <=> x$^2$ - 5x + 6 = 0 <=> x = 2 ∨ x = 3.
Vậy, với x = 2 hoặc x = 3 thoả mãn điều kiện đầu bài.
* Chú ý: Một bài toán rất quen thuộc đối với phương trình trùng phương là:
" Tìm điều kiện của tham số sao cho phương trình: ax$^3$ + bx$^2$ + cx + d = 0, với a ≠ 0 (1)
có 3 nghiệm x$_1$, x$_2$, x$_3$ lập thành cấp số cộng "
Ta thực hiện như sau:
Điều kiện cần: Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt thành cấp số cộng, khi đó:
x$_1$ + x$_3$ = 2x$_2$,
x$_1$ + x$_2$ + x$_3$ = -$\frac{b}{a}$ <=> 3x$_2$ = -$\frac{b}{a}$ <=> x$_2$ = -$\frac{b}{{3a}}$.
Với x$_2$ = -$\frac{b}{{3a}}$ thay vào (1) ta được: a(-$\frac{b}{{3a}}$)$^3$ + b(-$\frac{b}{{3a}}$)$^2$ + c(-$\frac{b}{{3a}}$) + d = 0
<=> 2b$^3$ - 9abc + 27a$^2$d = 0. (2)
Đó chính là điều kiện cần để (1) có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng.
Điều kiện đủ: Từ (2) suy ra phương trình có nghiệm x$_2$ = -$\frac{b}{{3a}}$. Khi đó:
x$_1$ + x$_2$ + x$_3$ = -$\frac{b}{a}$ <=> x$_1$ + x$_3$ - $\frac{b}{{3a}}$ = -$\frac{b}{a}$
<=> x$_1$ + x$_3$ = -$\frac{{2b}}{{3a}}$ = 2x$_2$
<=> x$_1$, x$_2$, x$_3$ lập thành cấp số cộng.
Vậy, điều kiện cần và đủ để (1) có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng là: 2b$^3$ - 9abc + 27a$^2$d = 0.
Với bài toán một tham số m, trong điều kiện đủ ta có thể khẳng định bằng việc chỉ ra nghiệm cụ thể của phương trình. Hãy nhớ điều này rất quan trọng bởi khi đó ta còn phải khẳng định phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt.
Thí dụ 2. Xác định m để phương trình: x$^3$ - 3x$^2$ - 9x + m = 0 (1)
có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.
x$_1$ + x$_3$ = 2x$_2$, (*)
x$_1$ + x$_2$ + x$_3$ = 3 <=> 3x$_2$ = 3 <=> x$_2$ = 1.
Với x$^2$ = - 1 thay vào (1) ta được: 11 - m = 0 <=> m = 11.
Đó chính là điều kiện cần để (1) có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng.
Điều kiện đủ: Với m=11, ta được: x$^3$ - 3x$^2$ - 9x + 11 = 0 <=> (x - 1)(x$^2$ - 2x - 11) = 0
<=> $\left[ \begin{array}{l}{x_1} = 1 - \sqrt {12} \\{x_2} = 1\\{x_3} = 1 + \sqrt {12} \end{array} \right.$, thoả mãn (*)
Vậy, với m=11 thoả mãn điều kiện đầu bài.
* Chú ý:
1. Trong bài toán trên ở điều kiện đủ ta khẳng định được:
* Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt.
* Ta có x$_1$ + x$_3$ = 2x$_2$, tức là x$_1$, x$_2$, x$_3$ lập thành cấp số cộng.
* Do đó, có kết luận m = 11 thoả mãn điều kiện đầu bài.
Tuy nhiên, tồn lại bài toán mà các giá trị của tham số tìm được trong điều kiện cần không thoả mãn điều kiện đủ.
Bài toán trên có thể được giải bằng phương pháp hằng số bất định, như sau:
Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng
<=> (1) có ba nghiệm x$_0$ - d, x$_0$, x$_0$ + d, với d ≠ 0.
Khi đó: x$^3$ - 3x$^2$ - 9x + m = [x - (x$_0$ - d)](x - x$_0$)[x - (x$_0$ + d)]
= (x - x$_0$)[(x - x$_0$)2 - d2]= x$^3$ - 3x$_0$x$^2$ + (3$x_0^2$ - d2)x - $x_0^3$ + d2x$_0$.
=> $\left\{ \begin{array}{l} - 3 = - 3{x_0}\\ - 9 = 3x_0^2 - {d^2}\\m = - x_0^3 + {d^2}{x_0}\end{array} \right.$<=> $\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 1\\d = \pm 2\sqrt 3 \\m = 11\end{array} \right.$.
Vậy, với m = 11 thoả mãn điều kiện đầu bài.
2. Một bài toán rất quen thuộc đối với phương trình trùng phương là:
" Tìm điều kiện của tham số để phương trình ax$^4$+ bx$^2$ + c = 0. (1)
có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng"
Khi đó, ta thực hiện như sau:
Đặt t = x$^2$, điều kiện t ≥ 0.
Khi đó, phương trình được biến đổi về dạng: at$^2$ + bt + c = 0. (2)
Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt
<=> (2) có hai nghiệm phân biệt dương 0 < t1 < t2
<=> $\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\ - b/a > 0\\c/a > 0\end{array} \right.$ (3)
và khi đó bốn nghiệm của (1) là -$\sqrt {{t_2}} $, -$\sqrt {{t_1}} $, $\sqrt {{t_1}} $, $\sqrt {{t_2}} $.
Bốn nghiệm trên lập thành cấp số cộng khi: $\left\{ \begin{array}{l} - \sqrt {{t_2}} + \sqrt {{t_1}}
= - 2\sqrt {{t_1}} \\ - \sqrt {{t_1}} + \sqrt {{t_2}}
= 2\sqrt {{t_1}} \end{array} \right.$
<=> $\sqrt {{t_2}} $=3$\sqrt {{t_1}} $
<=> t2 = 9t1. (4)
Theo định lí Viét ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{t_1} + {t_2} = - b/a\\{t_1}{t_2} = c/a\end{array} \right.$. (I)
Thay (4) vào (I) được : $\left\{ \begin{array}{l}{t_1} + 9{t_1} = - b/a\\{t_1}.(9{t_1}) = c/a\end{array} \right.$
<=> $\left\{ \begin{array}{l}{t_1} = - \frac{b}{{10a}}\\t_1^2 = \frac{c}{{9a}}\end{array} \right.$
=> ${\left( { - \frac{b}{{10a}}} \right)^2}$ = $\frac{c}{{9a}}$. (5)
Kết hợp (5) và (3) nhận được điều kiện của tham số.
* Chú ý: Các em học sinh sẽ thấy được ví dụ trong phần "Các bài tập chọn lọc".
a. Để ba số a, b, c lập thành cấp số cộng, điều kiện là: a + c = 2b,
bài toán được chuyển về việc giải phương trình.
b. Để bốn số a, b, c, d lập thành cấp số cộng, điều kiện là: $\left\{ \begin{array}{l}a + c = 2b\\b + d = 2c\end{array} \right.$ bài toán được chuyển về việc giải hệ phương trình.
Ví dụ minh họa
Thí dụ 1. Tìm x để ba số x$^2$ + 1, x - 2, 1 - 3x lập thành một cấp số cộng.
Giải
Để ba số x$^2$ + 1, x - 2, 1 - 3x lập thành một cấp số cộng, điều kiện là:(x$^2$ + 1) + (1 - 3x) = 2(x - 2) <=> x$^2$ - 5x + 6 = 0 <=> x = 2 ∨ x = 3.
Vậy, với x = 2 hoặc x = 3 thoả mãn điều kiện đầu bài.
* Chú ý: Một bài toán rất quen thuộc đối với phương trình trùng phương là:
" Tìm điều kiện của tham số sao cho phương trình: ax$^3$ + bx$^2$ + cx + d = 0, với a ≠ 0 (1)
có 3 nghiệm x$_1$, x$_2$, x$_3$ lập thành cấp số cộng "
Ta thực hiện như sau:
Điều kiện cần: Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt thành cấp số cộng, khi đó:
x$_1$ + x$_3$ = 2x$_2$,
x$_1$ + x$_2$ + x$_3$ = -$\frac{b}{a}$ <=> 3x$_2$ = -$\frac{b}{a}$ <=> x$_2$ = -$\frac{b}{{3a}}$.
Với x$_2$ = -$\frac{b}{{3a}}$ thay vào (1) ta được: a(-$\frac{b}{{3a}}$)$^3$ + b(-$\frac{b}{{3a}}$)$^2$ + c(-$\frac{b}{{3a}}$) + d = 0
<=> 2b$^3$ - 9abc + 27a$^2$d = 0. (2)
Đó chính là điều kiện cần để (1) có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng.
Điều kiện đủ: Từ (2) suy ra phương trình có nghiệm x$_2$ = -$\frac{b}{{3a}}$. Khi đó:
x$_1$ + x$_2$ + x$_3$ = -$\frac{b}{a}$ <=> x$_1$ + x$_3$ - $\frac{b}{{3a}}$ = -$\frac{b}{a}$
<=> x$_1$ + x$_3$ = -$\frac{{2b}}{{3a}}$ = 2x$_2$
<=> x$_1$, x$_2$, x$_3$ lập thành cấp số cộng.
Vậy, điều kiện cần và đủ để (1) có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng là: 2b$^3$ - 9abc + 27a$^2$d = 0.
Với bài toán một tham số m, trong điều kiện đủ ta có thể khẳng định bằng việc chỉ ra nghiệm cụ thể của phương trình. Hãy nhớ điều này rất quan trọng bởi khi đó ta còn phải khẳng định phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt.
Thí dụ 2. Xác định m để phương trình: x$^3$ - 3x$^2$ - 9x + m = 0 (1)
có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.
Giải
Điều kiện cần: Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt thành cấp số cộng, khi đó:x$_1$ + x$_3$ = 2x$_2$, (*)
x$_1$ + x$_2$ + x$_3$ = 3 <=> 3x$_2$ = 3 <=> x$_2$ = 1.
Với x$^2$ = - 1 thay vào (1) ta được: 11 - m = 0 <=> m = 11.
Đó chính là điều kiện cần để (1) có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng.
Điều kiện đủ: Với m=11, ta được: x$^3$ - 3x$^2$ - 9x + 11 = 0 <=> (x - 1)(x$^2$ - 2x - 11) = 0
<=> $\left[ \begin{array}{l}{x_1} = 1 - \sqrt {12} \\{x_2} = 1\\{x_3} = 1 + \sqrt {12} \end{array} \right.$, thoả mãn (*)
Vậy, với m=11 thoả mãn điều kiện đầu bài.
* Chú ý:
1. Trong bài toán trên ở điều kiện đủ ta khẳng định được:
* Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt.
* Ta có x$_1$ + x$_3$ = 2x$_2$, tức là x$_1$, x$_2$, x$_3$ lập thành cấp số cộng.
* Do đó, có kết luận m = 11 thoả mãn điều kiện đầu bài.
Tuy nhiên, tồn lại bài toán mà các giá trị của tham số tìm được trong điều kiện cần không thoả mãn điều kiện đủ.
Bài toán trên có thể được giải bằng phương pháp hằng số bất định, như sau:
Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng
<=> (1) có ba nghiệm x$_0$ - d, x$_0$, x$_0$ + d, với d ≠ 0.
Khi đó: x$^3$ - 3x$^2$ - 9x + m = [x - (x$_0$ - d)](x - x$_0$)[x - (x$_0$ + d)]
= (x - x$_0$)[(x - x$_0$)2 - d2]= x$^3$ - 3x$_0$x$^2$ + (3$x_0^2$ - d2)x - $x_0^3$ + d2x$_0$.
=> $\left\{ \begin{array}{l} - 3 = - 3{x_0}\\ - 9 = 3x_0^2 - {d^2}\\m = - x_0^3 + {d^2}{x_0}\end{array} \right.$<=> $\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 1\\d = \pm 2\sqrt 3 \\m = 11\end{array} \right.$.
Vậy, với m = 11 thoả mãn điều kiện đầu bài.
2. Một bài toán rất quen thuộc đối với phương trình trùng phương là:
" Tìm điều kiện của tham số để phương trình ax$^4$+ bx$^2$ + c = 0. (1)
có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng"
Khi đó, ta thực hiện như sau:
Đặt t = x$^2$, điều kiện t ≥ 0.
Khi đó, phương trình được biến đổi về dạng: at$^2$ + bt + c = 0. (2)
Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt
<=> (2) có hai nghiệm phân biệt dương 0 < t1 < t2
<=> $\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\ - b/a > 0\\c/a > 0\end{array} \right.$ (3)
và khi đó bốn nghiệm của (1) là -$\sqrt {{t_2}} $, -$\sqrt {{t_1}} $, $\sqrt {{t_1}} $, $\sqrt {{t_2}} $.
Bốn nghiệm trên lập thành cấp số cộng khi: $\left\{ \begin{array}{l} - \sqrt {{t_2}} + \sqrt {{t_1}}
= - 2\sqrt {{t_1}} \\ - \sqrt {{t_1}} + \sqrt {{t_2}}
= 2\sqrt {{t_1}} \end{array} \right.$
<=> $\sqrt {{t_2}} $=3$\sqrt {{t_1}} $
<=> t2 = 9t1. (4)
Theo định lí Viét ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{t_1} + {t_2} = - b/a\\{t_1}{t_2} = c/a\end{array} \right.$. (I)
Thay (4) vào (I) được : $\left\{ \begin{array}{l}{t_1} + 9{t_1} = - b/a\\{t_1}.(9{t_1}) = c/a\end{array} \right.$
<=> $\left\{ \begin{array}{l}{t_1} = - \frac{b}{{10a}}\\t_1^2 = \frac{c}{{9a}}\end{array} \right.$
=> ${\left( { - \frac{b}{{10a}}} \right)^2}$ = $\frac{c}{{9a}}$. (5)
Kết hợp (5) và (3) nhận được điều kiện của tham số.
* Chú ý: Các em học sinh sẽ thấy được ví dụ trong phần "Các bài tập chọn lọc".
Nguồn: Học Lớp