Dạng toán 3: Tìm điều kiện của tham số để ba số lập thành một cấp số nhân

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
#1
Phương pháp áp dụng
a. Để ba số a, b, c lập thành cấp số nhân, điều kiện là: ac = b$^2$ bài toán được chuyển về việc giải phương trình.
b. Để bốn số a, b, c, d lập thành cấp số nhân, điều kiện là: $\left\{ \begin{array}{l}ac = {b^2}\\bd = {c^2}\end{array} \right.$, bài toán được chuyển về việc giải hệ phương trình.

Ví dụ vận dụng
Thí dụ 1.
Tìm x để ba số x - 2, x - 4, x + 2 lập thành một cấp số nhân.
Giải​
Ba số x - 2, x - 4, x + 2 lập thành một cấp số nhân, điều kiện là:
(x - 4)$^2$ = (x - 2)(x + 2)
<=> 8x = 20
<=> x = $\frac{5}{2}$.
Vậy, với x = $\frac{5}{2}$ thoả mãn điều kiện đầu bài.
* Chú ý: Một bài toán rất quen thuộc đối với phương trình bậc ba là:
" Tìm điều kiện của tham số sao cho phương trình: ax$^2$+ bx$^2$ + cx + d = 0, với a ≠ 0 (1) có 3 nghiệm x$_1$, x$_2$, x$_3$ lập thành cấp số nhân "
Ta thực hiện như sau:
Điều kiện cần: Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân, khi đó: x$_1$x$_3$ = $x_2^2$,
x$_1$ + x$_2$ + x$_3$ = - $\frac{b}{a}$,
x$_1$x$_2$ + x$_2$x$_3$ + x$_3$x$_1$ = $\frac{c}{a}$
<=> x$_1$x$_2$ + x$_2$x$_3$ + $x_2^2$ = $\frac{c}{a}$
<=> x$_2$(x$_1$ + x$_2$ + x$_3$) = $\frac{c}{a}$
<=> x$_2$ = - $\frac{c}{b}$.
Với x$_2$ = - $\frac{c}{b}$ thay vào (1) ta được: a(-$\frac{c}{b}$)$^3$ + b(-$\frac{c}{b}$)$^2$ + c(-$\frac{c}{b}$) + d = 0 <=> ac$^3$ = b$^3$d. (2)
Đó chính là điều kiện cần để (1) có 3 nghiệm lập thành cấp số nhân.
Điều kiện đủ: Từ (2) suy ra phương trình có nghiệm x$_2$ = -$\frac{c}{b}$. Khi đó:
x$_2$(x$_1$ + x$_2$ + x$_3$) = (-$\frac{c}{b}$)(-$\frac{b}{a}$) = $\frac{c}{a}$ = x$_1$x$_2$ + x$_2$x$_3$ + x$_3$x$_1$
<=> x$_1$x$_3$ = $x_2^2$ <=> x$_1$, x$_2$, x$_3$ lập thành cấp số nhân.
Vậy, điều kiện cần và đủ để (1) có 3 nghiệm lập thành cấp số nhân là ac$^3$ = b$^3$d.
Với bài toán một tham số m, trong điều kiện đủ ta có thể khẳng định bằng việc chỉ ra nghiệm cụ thể của phương trình. Hãy nhớ điều này rất quan trọng bởi khi đó ta còn phải khẳng định phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt.

Thí dụ 2. Xác định m để phương trình: x$^3$ + 2x$^2$ + (m + 1)x + 2(m + 1) = 0 (1) có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân.
Giải​
Điều kiện cần: Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân, khi đó:
x$_1$x$_3$ = $x_2^2$, x$_1$ + x$_2$ + x$_3$ = - 2,
x$_1$x$_2$ + x$_2$x$_3$ + x$_3$x$_1$ = m + 1
<=> x$_1$x$_2$ + x$_2$x$_3$ + $x_2^2$ = m + 1
<=> x$_2$(x$_1$ + x$_2$ + x$_3$) = m + 1
<=> x$_2$ = - $\frac{{m + 1}}{2}$.
Với x$_2$ = - $\frac{{m + 1}}{2}$ thay vào (1) ta được:
( - $\frac{{m + 1}}{2}$)$^3$ + 2( - $\frac{{m + 1}}{2}$)$^2$ + (m + 1)( - $\frac{{m + 1}}{2}$) + 2(m + 1) = 0
<=> (m + 1)(m$^2$ + 2m - 15) = 0
<=> $\left[ \begin{array}{l}m = - 1\\m = 3\\m = - 4\end{array} \right.$.
Đó chính là điều kiện cần để (1) có 3 nghiệm lập thành cấp số nhân.
Điều kiện đủ: Ta lần lượt:
* Với m = -1, ta được: (1)
<=> x$^3$ + 2x$^2$ = 0
<=> $\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 2\end{array} \right.$ không thoả mãn.
* Với m = 3, ta được: (1)
<=> x$^3$ + 2x$^2$ + 4x + 8 = 0
<=> (x + 2)(x$^2$ + 4) = 0
<=> x = - 2, không thoả mãn.
* Với m = -5, ta được:
(1) <=> x$^3$ + 2x$^2$ - 4x - 8 = 0
<=> (x - 2)(x$^2$ + 4) = 0
<=> x = 0, không thoả mãn.
Vậy, không tồn tại m thoả mãn điều kiện đầu bài.

Nguồn: 7scv
 
Sửa lần cuối:

Bài mới