Dạng toán 3: Sử dụng phương pháp quy nạp chứng minh dãy số thoả mãn tính chất K

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
#1
Phương pháp áp dụng
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: (Bước cơ sở): Chứng minh rằng số hạng u1 thoả mãn tính chất K.
Bước 2: (Bước quy nạp): Giả sử số hạng u$_k$ thoả mãn tính chất K. Ta đi chứng minh số hạng u$_{k+1}$ cũng thoả mãn tính chất K.
Bước 3: Kết luận dãy số (u$_n$) thoả mãn tính chất K.

Ví dụ vận dụng
Thí dụ 1.
Cho dãy số (u$_n$) với u$_n$ = n$^3$ + 11n. Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy số này đều chia hết cho 6.
Giải​
Ta có: u$_1$ = 1$^3$ + 11 = 12 => u1 ⋮ 6.
Giả sử uk ⋮ 6, tức là (k$^3$ + 11k) ⋮ 6. Ta đi chứng minh uk + 1 ⋮ 6.
Thật vậy: u$_{k + 1}$ = (k + 1)$^3$ + 11(k + 1) = k$^3$ + 3k$^2$ + 3k + 1 + 11k + 11 = (k$^3$ + 11k) + 3k(k + 1) + 12
suy ra u$_{k + 1}$ ⋮ 6 bởi (k$^3$ + 11k) ⋮ 6, 3k(k + 1) ⋮ 6 và 12 ⋮ 6.
Vậy, mọi số hạng của dãy số (u$_n$) đều chia hết cho 6.

Thí dụ 2. Cho dãy số (u$_n$) xác định như sau: $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1,\,\,{u_2} = 2\\{u_n} = {u_{n - 2}} + 2{u_{n - 1}},\,\,n \ge 3\end{array} \right.$.
Chứng minh rằng u$_n$ ≤ ${\left( {\frac{5}{2}} \right)^n}$, ∀n ∈ N*.
Giải​
Ta đi chứng minh bằng phương pháp quy nạp, thật vậy:
* Ta có u$_3$ = 5 ≤ ${\left( {\frac{5}{2}} \right)^3}$ => đúng với n = 1, 2, 3.
* Giả sử công thức đúng với n = k, tức là: u$_{k – 1}$ ≤ ${\left( {\frac{5}{2}} \right)^{k - 1}}$ và uk ≤ ${\left( {\frac{5}{2}} \right)^k}$
* Ta đi chứng minh u$_{k + 1}$ < ${\left( {\frac{5}{2}} \right)^{k + 1}}$, thật vậy:
u$_{k + 1}$ = u$_{k – 1}$ + 2u$_k$ ≤ ${\left( {\frac{5}{2}} \right)^{k - 1}}$ + 2${\left( {\frac{5}{2}} \right)^k}$ = ${\left( {\frac{5}{2}} \right)^{k + 1}}$.$\left[ {{{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^{ - 2}} + 2{{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^{ - 1}}} \right]$ = ${\left( {\frac{5}{2}} \right)^{k + 1}}$.$\left( {\frac{4}{{25}} + \frac{4}{5}} \right)$ = ${\left( {\frac{5}{2}} \right)^{k + 1}}$.$\frac{{24}}{{25}}$ < ${\left( {\frac{5}{2}} \right)^{k + 1}}$, đpcm.
Vậy, ta luôn có u$_n$ ≤ ${\left( {\frac{5}{2}} \right)^n}$, ∀n ∈ N*.

Thí dụ 3. *Cho dãy số nguyên (a$_{n}$) thoả mãn a$_{n+2}$ + a$_{n-1}$ = 2(a$_{n+1}$ + a$_{n}$). Chứng tỏ rằng tồn tại số nguyên M không phụ thuộc vào n sao cho M + 4a$_{n+1}$.a$_{n}$ là số chính phương với mọi n ≥ 0.
Giải​
Đặt u$_n$ = a$_{n+2}$ - a$_{n+1}$ - a$_{n}$, khi đó với giả thiết ta có ngay: u$_n$ = 2(a$_{n+1}$ + a$_{n}$) - a$_{n-1}$ - a$_{n+1}$ - a$_{n}$ = (a$_{n+1}$ - a$_{n}$ - a$_{n-1}$) + 2a$_{n}$ = a$_{n-1}$ + 2a$_{n}$.
Nhận xét rằng: $u_n^2$ = (a$_{n-1}$ + 2a$_{n}$)2 = $u_{n - 1}^2$ + 4a$_{n-1}$.a$_{n}$ + 4$a_n^2$ = $u_{n - 1}^2$ + 4(a$_{n+1}$ - a$_{n}$ - a$_{n-1}$).a$_{n}$ + 4$a_n^2$ = $u_{n - 1}^2$ + 4a$_{n+1}$.a$_{n}$ - 4a$_{n-1}$.a$_{n}$
<=> $u_n^2$ - 4a$_{n+1}$.a$_{n}$ = $u_{n - 1}^2$ - 4a$_{n-1}$.a$_{n}$.
Vậy $u_n^2$ - 4a$_{n+1}$.a$_{n}$ là hằng số không phụ thuộc vào n. Khi đó ta gọi hằng số đó là M thì: M + 4a$_{n+1}$.a$_{n}$ = $u_n^2$ là số chính phương với mọi n ≥ 0, đpcm.
* Nhận xét: Cách giải trên được trình bày sau khi đã thực hiện phép nháp để dẫn xuất được tới dãy số u$_{n}$. Các em học sinh có thể nhận thấy được dãy u$_{n}$ theo kiểu đặt vấn đề như sau:
Giả sử tồn tại số nguyên M không phụ thuộc vào n sao cho M + 4a$_{n+1}$.a$_{n}$ là số chính phương với mọi n ≥ 0, tức là: M + 4a$_{n+1}$.a$_{n}$ = $u_n^2$, ∀n ≥ 0 <=> M = $u_n^2$ - 4a$_{n+1}$.a$_{n}$, ∀n ≥ 0 (1)
Từ (1) bằng việc sử dụng n và n - 1, ta được: $u_n^2$ - 4a$_{n+1}$.a$_{n}$ = $u_{n - 1}^2$ - 4a$_{n}$.a$_{n-1}$
<=> $u_n^2$ = $u_{n - 1}^2$ + 4a$_{n+1}$.a$_{n}$ - 4a$_{n}$.a$_{n-1}$
$\mathop \Leftrightarrow \limits^{gt} $ $u_n^2$ = $u_{n - 1}^2$ + 4(a$_{n+1}$ - a$_{n}$ - a$_{n-1}$)a$_{n}$ + 4$a_n^2$ (2)
Tới đây, đặt a$_{n-1}$ = a$_{n+1}$ - a$_{n}$ - a$_{n-1}$ thì ta được: $u_n^2$ = (a$_{n-1}$ + 2a$_{n}$)$^2$
<=> u$_n$ = a$_{n-1}$ + 2a$_{n}$<=> a$_{n+2}$ - a$_{n}$ + 1 - a$_{n}$ = a$_{n+1}$ - a$_{n}$ - a$_{n-1}$ + 2a$_{n}$
<=> a$_{n+2}$ + a$_{n-1}$ = 2(a$_{n+1}$ + a$_{n}$), đó chính là giả thiết của bài toán.
Như vậy, với phép nháp trên, chúng ta đã chỉ được ra dãy u$_{n}$ thoả mãn điều kiện đầu bài.

Nguồn: Học Lớp
 

Bình luận bằng Facebook