Dạng toán 2: Xác định công thức của dãy số

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
#1
Phương pháp áp dụng
Ta có thể lựa chọn một trong các cách sau:
Cách 1: Sử dụng biến đổi đại số để thu gọn và đơn giản biểu thức của u$_{1}$.
Cách 2: Sử dụng phương pháp quy nạp bằng việc thực hiện theo các bước:
  • Bước 1: Viết một vài số hạng đầu của dãy, từ đó dự đoán công thức cho u$_n$.
  • Bước 2: Chứng minh công thức dự đoán bằng phương pháp quy nạp.
Ví dụ vận dụng
Thí dụ 1.
Cho dãy số (u$_n$), biết: u$_1$ = -1 , u$_{n+1}$ = u$_n$ + 3 với n ≥ 1.
a. Viết năm số hạng đầu của dãy số.
b. Chứng minh bằng phương pháp quy nạp u$_n$ = 3n – 4. (*)
Giải​
a. Ta lần lượt có: u$_1$ = -1, u$_2$ = 2, u$_3$ = 5, u$_4$ = 8, u$_5$ = 11.
b. Ta lần lượt thực hiện:
* Với n = 1, ta thấy (*) do kết quả từ câu a).
* Giả sử (*) đúng với n = k, tức là uk = 3k - 4.
* Ta sẽ đi chứng minh (*) cũng đúng với n = k + 1, thật vậy: u$_{k+1}$ = u$_k$ + 3 = 3k - 4 + 3 = 3(k + 1) - 4, đpcm.
Từ các chứng minh trên suy ra (*) đúng với mọi số nguyên dương n.
* Nhận xét: Như vậy, ở thí dụ trên chúng ta không cần thực hiện việc dự đoán công thức cho u$_n$.

Thí dụ 2. Cho dãy số (u$_n$) xác định như sau: $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_n} = {u_{n - 1}} + 2,\,\,n \ge 2\end{array} \right.$. Xác định công thức tính u$_n$ theo n.
Giải​
Ta có thể trình bày theo hai cách sau:
Cách 1: Từ giả thiết ta có:
u$_1$ = 1
u$_2$ = u1 + 2
u$_3$ = u2 + 2

u$_n$ = u$_{n – 1}$ + 2
Cộng theo vế các đẳng thức trên, ta được: u$_n$ = 1 + 2(n - 1) = 2n - 1.
Vậy, ta có u$_n$ = 2n - 1.
Cách 2: Ta có:
u$_1$ = 1 = 2.1 - 1
u$_2$ = 1 + 2 = 3 = 2.2 - 1
u$_3$ = 3 + 2 = 5 = 2.3 - 1
Dự đoán u$_n$ = 2n – 1 (1)
Ta đi chứng minh dự đoán trên bằng phương pháp quy nạp, thật vậy: u$_1$ = 2.1 - 1 = 1, tức là công thức (1) đúng với n = 1.
Giả sử công thức (1) đúng với n = k, tức là u$_k$ = 2k - 1. Ta đi chứng minh nó cũng đúng với n = k + 1.
Thật vậy: u$_{k+1}$ = u$_k$ + 2 = 2k - 1 + 2 = 2(k + 1) - 1, tức là (1) đúng với n = k + 1.
Vậy, ta có u$_n$ = 2n - 1.

Thí dụ 3. Cho dãy số (u$_n$) với u$_n$ = $\frac{1}{{n(n + 1)}}$ với mọi n ∈ N* và dãy số (S$_{n}$) xác định như sau:
$\left\{ \begin{array}{l}{S_1} = {u_1}\\{S_n} = {S_{n - 1}} + {u_n},\,\,n \ge 2\end{array} \right.$.
Xác định công thức tính S$_{n}$ theo n.
Giải​
Ta có ngay: S$_{n}$ = u1 + u2 + … + u$_{1}$.
Mặt khác, ta có biểu diễn u$_n$ = $\frac{1}{{n(n + 1)}}$ = $\frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}}$.
Từ đó, ta nhận được:
u$_1$ = 1 - $\frac{1}{2}$, u$_2$ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{1}{3}$,…, u$_n$ = $\frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}}$.
Cộng theo vế các đẳng thức trên, ta được: S$_{n}$ = u1 + u2 + … + u$_n$ = 1 - $\frac{1}{{n + 1}}$ = $\frac{n}{{n + 1}}$.
Vậy, ta có S$_{n}$ = $\frac{n}{{n + 1}}$.

Nguồn: Học Lớp
 

Bài mới