Dạng toán 2: Chứng minh ba số lập thành một cấp số cộng

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
#1
Phương pháp áp dụng
Để chứng minh ba số a, b, c lập thành cấp số cộng, ta đi chứng minh: a + c = 2b hoặc a - b = b - c.

Ví dụ vận dụng
Thí dụ 1.
Cho ba số a, b, c lập thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng ba số (a$^2$ + ab + b$^2$), (a$^2$ + ac + c$^2$), (b$^2$ + bc + c$^2$) cũng lập thành một cấp số cộng.
Giải​
Từ giả thiết a, b, c lập thành một cấp số cộng, ta được: a + c = 2b.
Nhận xét rằng: (a$^2$ + ab + b$^2$) + (b$^2$ + bc + c$^2$)
= a$^2$ + (ab + bc) + 2b$^2$ + c$^2$
= a$^2$ + b(a + c) + 2b$^2$ + c$^2$
= a$^2$ + 4b$^2$ + c$^2$
= a$^2$ + (a + c)$^2$ + c$^2$ = 2(a$^2$ + ac + c$^2$).
Vậy, ba số (a$^2$ + ab + b$^2$), (a$^2$ + ac + c$^2$), (b$^2$ + bc + c$^2$) cũng lập thành một cấp số cộng.

Thí dụ 2. Cho ba số dương a, b, c lập thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng ba số $\frac{1}{{\sqrt b + \sqrt c }}$, $\frac{1}{{\sqrt c + \sqrt a }}$, $\frac{1}{{\sqrt a + \sqrt b }}$ cũng lập thành một cấp số cộng.
Giải​
Từ giả thiết a, b, c lập thành một cấp số cộng, ta được: a + c = 2b <=> a - b = b - c = $\frac{1}{2}$(a - c).
Nhận xét rằng:
$\frac{1}{{\sqrt b + \sqrt c }}$ + $\frac{1}{{\sqrt a + \sqrt b }}$ = $\frac{{\sqrt b - \sqrt c }}{{b - c}}$ + $\frac{{\sqrt a - \sqrt b }}{{a - b}}$
= $\frac{{\sqrt b - \sqrt c }}{{a - b}}$ + $\frac{{\sqrt a - \sqrt b }}{{a - b}}$ = $\frac{{\sqrt b - \sqrt c + \sqrt a - \sqrt b }}{{a - b}}$
= $\frac{{\sqrt a - \sqrt c }}{{\frac{1}{2}(a - c)}}$ = $\frac{2}{{\sqrt c + \sqrt a }}$.
Vậy, ba số $\frac{1}{{\sqrt b + \sqrt c }}$, $\frac{1}{{\sqrt c + \sqrt a }}$, $\frac{1}{{\sqrt a + \sqrt b }}$ cũng lập thành một cấp số cộng.

Nguồn: Học Lớp
 

Bình luận bằng Facebook