Dạng toán 10: Sử dụng đạo hàm chứng minh đẳng thức

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Phương pháp áp dụng
Ta đã biết nếu một hàm số không đổi trong khoảng (a, b) thì đạo hàm luôn triệt tiêu trong khoảng đó. Đảo lại ta có định lí sau:
Định lí 1. Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm trong khoảng (a, b) và f'(x) = 0, ∀x ∈ (a, b) thì hàm số y = f(x) không đổi trong khoảng (a, b).
Từ đó, để thực hiện các dạng toán:
Dạng 1: Chứng minh rằng A(x) = c, ∀x ∈ D​
Ta thực hiện theo các bước sau:​
Bước 1: Tính A'(x), rồi khẳng định A'(x) = 0, ∀x ∈ D.​
Bước 2: Chọn x$_0$ ∈ D => A(x$_0$) = c.​
Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để biểu thức A(x) không phụ thuộc vào x.​
Ta thực hiện theo các bước sau​
Bước 1: Tính A'(x), rồi tìm điều kiện để A'(x) = 0, ∀x.​
Bước 2: Kết luận.​

Thí dụ 1: Chứng minh rằng với mọi x ta đều có: cos$^2$(x - a) + sin$^2$(x - b) - 2cos(x - a).sin(x - b).sin(a - b) = cos$^2$(a - b).
Giải​
Xét hàm số y = cos$^2$(x - a) + sin$^2$(x - b) - 2cos(x - a).sin(x - b).sin(a - b).
Ta có:
y' = - 2sin(x - a)cos(x - a) + 2sin(x - b)cos(x - b) +
+ 2sin(a - b)[sin(x - a).sin(x - b) - cos(x - a).cos(x - b)]
= - sin2(x - a) + sin2(x - b) - 2sin(a - b).cos(2x - a - b)
= 2cos(2x - a - b).sin(a - b) - 2sin(a - b).cos(2x - a - b) = 0
<=> Hàm số không đổi.
Ngoài ra ta còn có y = y(b) = cos$^2$(a - b).
Vậy y = cos$^2$(a - b).

Thí dụ 2: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x: A = sin$^2$(x - $\frac{{2\pi }}{3}$) + sin2x + sin$^2$(x + $\frac{{2\pi }}{3}$).
Giải​
Xét hàm số
A = sin$^2$(x - $\frac{{2\pi }}{3}$) + sin2x + sin$^2$(x + $\frac{{2\pi }}{3}$).
Ta có: $A_x^'$= 2sin(x -$\frac{{2\pi }}{3}$).cos(x -$\frac{{2\pi }}{3}$) + 2sinx.cosx + 2sin(x +$\frac{{2\pi }}{3}$).cos(x +$\frac{{2\pi }}{3}$)
= sin(2x - $\frac{{4\pi }}{3}$) + sin2x + sin(2x + $\frac{{4\pi }}{3}$)
= 2sin2x.cos$\frac{{4\pi }}{3}$ + sin2x = - sin2x + sin2x = 0
<=> Hàm số không đổi.
Ngoài ra ta còn có A = A(0) = $\frac{3}{2}$.
Vậy A = $\frac{3}{2}$ không phụ thuộc vào x.

Nguồn: Học Lớp