Phương pháp áp dụng
Câu hỏi thường được đặt ra là: " Cho ba số a, b, c lập thành cấp số cộng, chứng minh tính chất K " khi đó, ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Từ giả thiết a, b, c lập thành một cấp số cộng, ta được: a + c = 2b
hoặc biểu thức tương đương a - b = b - c = $\frac{1}{2}$(a - c).
Bước 2: Chứng minh tính chất K.
Ví dụ vận dụng
Thí dụ 1. Cho ba số a, b, c lập thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng: a$^2$ + 2bc = c$^2$ + 2ab.
Khi đó: a$^2$ + 2bc = a$^2$ + (a + c)c = a$^2$ + ac + c$^2$ = a(a + c) + c$^2$ = 2ab + c$^2$, đpcm.
Thí dụ 2. Cho (a$_n$) là một cấp số cộng. Chứng minh rằng: a$_n$ = $\frac{1}{2}$(a$_{n-k}$ + a$_{n+k}$), với mọi n > k.
a$_{n+k}$ = a$_{n-k}$ + (n + k - n + k)d = a$_{n-k}$ + 2kd
suy ra: $\frac{1}{2}$(a$_{n-k}$ + a$_{n+k}$) = $\frac{1}{2}$(a$_{n-k}$ + a$_{n-k}$ + 2kd) = a$_{n-k}$ + kd = a$_n$, đpcm.
Câu hỏi thường được đặt ra là: " Cho ba số a, b, c lập thành cấp số cộng, chứng minh tính chất K " khi đó, ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Từ giả thiết a, b, c lập thành một cấp số cộng, ta được: a + c = 2b
hoặc biểu thức tương đương a - b = b - c = $\frac{1}{2}$(a - c).
Bước 2: Chứng minh tính chất K.
Ví dụ vận dụng
Thí dụ 1. Cho ba số a, b, c lập thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng: a$^2$ + 2bc = c$^2$ + 2ab.
Giải
Từ giả thiết a, b, c lập thành một cấp số cộng, ta được: a + c = 2b.Khi đó: a$^2$ + 2bc = a$^2$ + (a + c)c = a$^2$ + ac + c$^2$ = a(a + c) + c$^2$ = 2ab + c$^2$, đpcm.
Thí dụ 2. Cho (a$_n$) là một cấp số cộng. Chứng minh rằng: a$_n$ = $\frac{1}{2}$(a$_{n-k}$ + a$_{n+k}$), với mọi n > k.
Giải
Ta có ngay: a$_n$ = a$_{n-k}$ + (n - n + k)d = a$_{n-k}$ + kda$_{n+k}$ = a$_{n-k}$ + (n + k - n + k)d = a$_{n-k}$ + 2kd
suy ra: $\frac{1}{2}$(a$_{n-k}$ + a$_{n+k}$) = $\frac{1}{2}$(a$_{n-k}$ + a$_{n-k}$ + 2kd) = a$_{n-k}$ + kd = a$_n$, đpcm.
Nguồn: Học Lớp