TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH
Phương pháp:
Phương pháp:
- Sử dụng các định lí về tính liên tục của hàm đa thức, lương giác, phân thức hữu tỉ …
- Nếu hàm số cho dưới dạng nhiều công thức thì ta xét tính liên tục trên mỗi khoảng đã chia và tại các điểm chia của các khoảng đó.
Câu 1. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
I$f\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}$ liên tục trên $\mathbb{R}$.
II $f\left( x \right) = \frac{{\sin x}}{x}$ có giới hạn khi $x \to 0.$
$\left( {III} \right)$$f\left( x \right) = \sqrt {9 - {x^2}} $ liên tục trên đoạn $\left[ { - 3;3} \right]$.
A. Chỉ Ivà II .
B. Chỉ II và $\left( {III} \right)$.
C. Chỉ II .
D. Chỉ $\left( {III} \right)$.
Chọn
B.
Dễ thấy kđ (I) sai, Kđ (II) là lí thuyết.
Hàm số:$f\left( x \right) = \sqrt {9 - {x^2}} $ liên tục trên khoảng$\left( { - 3;3} \right)$. Liên tục phải tại $3$ và liên tục trái tại $ - 3$.
Nên $f\left( x \right) = \sqrt {9 - {x^2}} $ liên tục trên đoạn $\left[ { - 3;3} \right]$.
B.
Dễ thấy kđ (I) sai, Kđ (II) là lí thuyết.
Hàm số:$f\left( x \right) = \sqrt {9 - {x^2}} $ liên tục trên khoảng$\left( { - 3;3} \right)$. Liên tục phải tại $3$ và liên tục trái tại $ - 3$.
Nên $f\left( x \right) = \sqrt {9 - {x^2}} $ liên tục trên đoạn $\left[ { - 3;3} \right]$.
I. $f\left( x \right) = \frac{{\sqrt {x + 1} }}{{x - 1}}$ liên tục với mọi x ≠ 1.
II . $f\left( x \right) = \sin x$ liên tục trên $\mathbb{R}$.
$\left( {III} \right)$. $f\left( x \right) = \frac{{\left| x \right|}}{x}$ liên tục tại x = 1.
A. Chỉ I đúng.
B. Chỉ I và II .
C. Chỉ Ivà $\left( {III} \right)$.
D. Chỉ II và $\left( {III} \right)$.
Chọn D
Ta có II đúng vì hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định.
Ta có $\left( {III} \right)$ đúng vì $f\left( x \right) = \frac{{\left| x \right|}}{x} = \left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{x}{\rm{ , khi }}x \ge 0\\ - \frac{x}{x}{\rm{ , khi }}x < 0\end{array} \right.$.
Khi đó $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = 1$.
Vậy hàm số $y = f\left( x \right) = \frac{{\left| x \right|}}{x}$liên tục tại x = 1.
Ta có II đúng vì hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định.
Ta có $\left( {III} \right)$ đúng vì $f\left( x \right) = \frac{{\left| x \right|}}{x} = \left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{x}{\rm{ , khi }}x \ge 0\\ - \frac{x}{x}{\rm{ , khi }}x < 0\end{array} \right.$.
Khi đó $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = 1$.
Vậy hàm số $y = f\left( x \right) = \frac{{\left| x \right|}}{x}$liên tục tại x = 1.
I. f(x) liên tục tại $x = \sqrt 3 $.
II . f(x) gián đoạn tại $x = \sqrt 3 $.
$\left( {III} \right)$. f(x) liên tục trên $\mathbb{R}$.
A. Chỉ I và II .
B. Chỉ II và $\left( {III} \right)$.
C. Chỉ I và $\left( {III} \right)$.
D. Cả I,II ,$\left( {III} \right)$ đều đúng.
Chọn C
Với $x \ne \sqrt 3 $ ta có hàm số $f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 3}}{{x - \sqrt 3 }}$ liên tục trên khoảng $\left( { - \infty ;\sqrt 3 } \right)$ và $\left( {\sqrt 3 ; + \infty } \right)$, $\left( 1 \right)$.
Với $x = \sqrt 3 $ ta có $f\left( {\sqrt 3 } \right) = 2\sqrt 3 $ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \frac{{{x^2} - 3}}{{x - \sqrt 3 }} = 2\sqrt 3 = f\left( {\sqrt 3 } \right)$nên hàm số liên tục tại $x = \sqrt 3 $, $\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$.
Với $x \ne \sqrt 3 $ ta có hàm số $f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 3}}{{x - \sqrt 3 }}$ liên tục trên khoảng $\left( { - \infty ;\sqrt 3 } \right)$ và $\left( {\sqrt 3 ; + \infty } \right)$, $\left( 1 \right)$.
Với $x = \sqrt 3 $ ta có $f\left( {\sqrt 3 } \right) = 2\sqrt 3 $ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \frac{{{x^2} - 3}}{{x - \sqrt 3 }} = 2\sqrt 3 = f\left( {\sqrt 3 } \right)$nên hàm số liên tục tại $x = \sqrt 3 $, $\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$.
I. $f\left( x \right) = {x^5}--{x^2} + 1$ liên tục trên $\mathbb{R}$.
II . $f\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}$ liên tục trên khoảng $\left( {--1;1} \right)$.
$\left( {III} \right)$. $f\left( x \right) = \sqrt {x - 2} $ liên tục trên đoạn $\left[ {2; + \infty } \right)$.
A. Chỉ I đúng.
B. Chỉ I và II .
C. Chỉ II và $\left( {III} \right)$.
D. Chỉ I và $\left( {III} \right)$.
Chọn D
Ta có I đúng vì $f\left( x \right) = {x^5} - {x^2} + 1$ là hàm đa thức nên liên tục trên $\mathbb{R}$.
Ta có $\left( {III} \right)$ đúng vì $f\left( x \right) = \sqrt {x - 2} $ liên tục trên $\left( {2; + \infty } \right)$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = 0$ nên hàm số liên tục trên $\left[ {2; + \infty } \right)$.
Ta có I đúng vì $f\left( x \right) = {x^5} - {x^2} + 1$ là hàm đa thức nên liên tục trên $\mathbb{R}$.
Ta có $\left( {III} \right)$ đúng vì $f\left( x \right) = \sqrt {x - 2} $ liên tục trên $\left( {2; + \infty } \right)$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = 0$ nên hàm số liên tục trên $\left[ {2; + \infty } \right)$.
A. $\frac{1}{3}$.
B. $\frac{1}{2}$.
C. $\frac{1}{6}$.
D. 1.
Chọn C
TXĐ: $D = \left[ {0; + \infty } \right)$.
Với $x = 0$ ta có $f\left( 0 \right) = m$.
Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{3 - \sqrt {9 - x} }}{x}$$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{3 + \sqrt {9 - x} }}$$ = \frac{1}{6}$.
Vậy để hàm số liên tục trên $\left[ {0; + \infty } \right)$ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = m$$ \Leftrightarrow m = \frac{1}{6}$.
TXĐ: $D = \left[ {0; + \infty } \right)$.
Với $x = 0$ ta có $f\left( 0 \right) = m$.
Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{3 - \sqrt {9 - x} }}{x}$$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{3 + \sqrt {9 - x} }}$$ = \frac{1}{6}$.
Vậy để hàm số liên tục trên $\left[ {0; + \infty } \right)$ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = m$$ \Leftrightarrow m = \frac{1}{6}$.
A. $\left( { - 3;2} \right)$.
B. $\left( { - 2; + \infty } \right)$.
C. $\left( { - \infty ;3} \right)$.
D. $\left( {2;3} \right)$.
Chọn B.
Hàm số có nghĩa khi ${x^2} + 5x + 6 \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne - 3\\x \ne - 2\end{array} \right.$.
Vậy theo định lí ta có hàm số $f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2} + 5x + 6}}$ liên tục trên khoảng $\left( { - \infty ; - 3} \right)$;$\left( { - 3; - 2} \right)$ và $\left( { - 2; + \infty } \right)$.
Hàm số có nghĩa khi ${x^2} + 5x + 6 \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne - 3\\x \ne - 2\end{array} \right.$.
Vậy theo định lí ta có hàm số $f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2} + 5x + 6}}$ liên tục trên khoảng $\left( { - \infty ; - 3} \right)$;$\left( { - 3; - 2} \right)$ và $\left( { - 2; + \infty } \right)$.
A. Hàm số liên tục trên R
B. Hàm số liên tục tại mọi điểm
C. Hàm số không liên tục trên \(\left( {2: + \infty } \right)\)
D. Hàm số gián đoạn tại điểm \(x = 2\).
Chọn D
TXĐ : \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\)
Với \(x < 2 \Rightarrow f(x) = \frac{{{x^2} - 5x + 6}}{{2{x^3} - 16}} \Rightarrow \) hàm số liên tục
Với \(x > 2 \Rightarrow f(x) = 2 - x \Rightarrow \) hàm số liên tục
Tại \(x = 2\) ta có : \(f(2) = 0\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {2 - x} \right) = 0\) ;
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{(x - 2)(x - 3)}}{{2(x - 2)({x^2} + 2x + 4)}} = - \frac{1}{{24}} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x)\)
Hàm số không liên tục tại \(x = 2\).
TXĐ : \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\)
Với \(x < 2 \Rightarrow f(x) = \frac{{{x^2} - 5x + 6}}{{2{x^3} - 16}} \Rightarrow \) hàm số liên tục
Với \(x > 2 \Rightarrow f(x) = 2 - x \Rightarrow \) hàm số liên tục
Tại \(x = 2\) ta có : \(f(2) = 0\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {2 - x} \right) = 0\) ;
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{(x - 2)(x - 3)}}{{2(x - 2)({x^2} + 2x + 4)}} = - \frac{1}{{24}} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x)\)
Hàm số không liên tục tại \(x = 2\).
A. Hàm số liên tục trên R
B. Hàm số không liên tục trên R
C. Hàm số không liên tục trên \(\left( {1: + \infty } \right)\)
D. Hàm số gián đoạn tại các điểm x = 1.
Chọn A
Hàm số xác định với mọi x thuộc R
Với \(x < 1 \Rightarrow f(x) = \frac{{\sqrt {1 - x} + 2}}{{x + 2}} \Rightarrow \) hàm số liên tục
Với $x > 1 \Rightarrow f(x) = \frac{{\sqrt[3]{x} - 1}}{{\sqrt x - 1}} \Rightarrow $ hàm số liên tục
Tại x = 1 ta có : \(f(1) = \frac{2}{3}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\sqrt[3]{x} - 1}}{{\sqrt x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{(x - 1)(\sqrt x + 1)}}{{(x - 1)(\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{x} + 1)}} = \frac{2}{3}\) ;
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\sqrt {1 - x} + 2}}{{x + 2}} = \frac{2}{3} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = f(1)\)
Hàm số liên tục tại x = 1.
Vậy hàm số liên tục trên R.
Hàm số xác định với mọi x thuộc R
Với \(x < 1 \Rightarrow f(x) = \frac{{\sqrt {1 - x} + 2}}{{x + 2}} \Rightarrow \) hàm số liên tục
Với $x > 1 \Rightarrow f(x) = \frac{{\sqrt[3]{x} - 1}}{{\sqrt x - 1}} \Rightarrow $ hàm số liên tục
Tại x = 1 ta có : \(f(1) = \frac{2}{3}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\sqrt[3]{x} - 1}}{{\sqrt x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{(x - 1)(\sqrt x + 1)}}{{(x - 1)(\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{x} + 1)}} = \frac{2}{3}\) ;
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\sqrt {1 - x} + 2}}{{x + 2}} = \frac{2}{3} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = f(1)\)
Hàm số liên tục tại x = 1.
Vậy hàm số liên tục trên R.
A. $\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$.
B. $\left( { - \infty ;\frac{\pi }{4}} \right)$.
C. $\left( { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right)$.
D. $\left( { - \infty ; + \infty } \right)$.
Chọn A
TXĐ: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.
Với $x = 0$ ta có $f\left( 0 \right) = 0$.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\tan x}}{x}$$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x}.\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{\cos x}}$$ = 1$ hay $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) \ne f\left( 0 \right)$.
Vậy hàm số gián đoạn tại $x = 0$.
TXĐ: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.
Với $x = 0$ ta có $f\left( 0 \right) = 0$.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\tan x}}{x}$$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x}.\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{\cos x}}$$ = 1$ hay $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) \ne f\left( 0 \right)$.
Vậy hàm số gián đoạn tại $x = 0$.
A. 1 và 2.
B. 1 và - 1.
C. - 1 và 2.
D. 1 và - 2.
Chọn D
TXĐ: D = R.
Với $x > \sqrt 2 $ ta có hàm số $f\left( x \right) = {a^2}{x^2}$ liên tục trên khoảng $\left( {\sqrt 2 ; + \infty } \right)$
Với $x < \sqrt 2 $ ta có hàm số $f\left( x \right) = \left( {2 - a} \right){x^2}$ liên tục trên khoảng $\left( { - \infty ;\sqrt 2 } \right)$.
Với $x = \sqrt 2 $ ta có $f\left( {\sqrt 2 } \right) = 2{a^2}$.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\sqrt 2 }^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\sqrt 2 }^ + }} \left( {2 - a} \right){x^2} = 2\left( {2 - a} \right)$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\sqrt 2 }^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\sqrt 2 }^ - }} {a^2}{x^2} = 2{a^2}$.
Để hàm số liên tục tại $x = \sqrt 2 $$ \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\sqrt 2 }^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\sqrt 2 }^ - }} f\left( x \right) = f\left( {\sqrt 2 } \right)$$ \Leftrightarrow 2{a^2} = 2\left( {2 - a} \right)$$ \Leftrightarrow {a^2} + a - 2 = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = - 2\end{array} \right.$.
Vậy $a = 1$hoặc $a = - 2$ thì hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$.
TXĐ: D = R.
Với $x > \sqrt 2 $ ta có hàm số $f\left( x \right) = {a^2}{x^2}$ liên tục trên khoảng $\left( {\sqrt 2 ; + \infty } \right)$
Với $x < \sqrt 2 $ ta có hàm số $f\left( x \right) = \left( {2 - a} \right){x^2}$ liên tục trên khoảng $\left( { - \infty ;\sqrt 2 } \right)$.
Với $x = \sqrt 2 $ ta có $f\left( {\sqrt 2 } \right) = 2{a^2}$.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\sqrt 2 }^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\sqrt 2 }^ + }} \left( {2 - a} \right){x^2} = 2\left( {2 - a} \right)$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\sqrt 2 }^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\sqrt 2 }^ - }} {a^2}{x^2} = 2{a^2}$.
Để hàm số liên tục tại $x = \sqrt 2 $$ \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\sqrt 2 }^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\sqrt 2 }^ - }} f\left( x \right) = f\left( {\sqrt 2 } \right)$$ \Leftrightarrow 2{a^2} = 2\left( {2 - a} \right)$$ \Leftrightarrow {a^2} + a - 2 = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = - 2\end{array} \right.$.
Vậy $a = 1$hoặc $a = - 2$ thì hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$.
A. f(x) liên tục trên $\mathbb{R}$.
B. f(x) liên tục trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$.
C. f(x) liên tục trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$.
D. f(x) liên tục trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ {0;1} \right\}$.
Chọn A
TXĐ:
TXĐ: D = R.
Với $x > 1$ ta có hàm số $f\left( x \right) = {x^2}$ liên tục trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$.$\left( 1 \right)$
Với $0 < x < 1$ ta có hàm số $f\left( x \right) = \frac{{2{x^3}}}{{1 + x}}$ liên tục trên khoảng $\left( {0;1} \right)$. $\left( 2 \right)$
Với $x < 0$ ta có $f\left( x \right) = x\sin x$ liên tục trên khoảng $\left( { - \infty ;0} \right)$. $\left( 3 \right)$
Với x = 1 ta có $f\left( 1 \right) = 1$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {x^2} = 1$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{2{x^3}}}{{1 + x}} = 1$
Suy ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = 1 = f\left( 1 \right)$.
Vậy hàm số liên tục tại x = 1.
Với $x = 0$ ta có $f\left( 0 \right) = 0$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{2{x^3}}}{{1 + x}} = 0$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {x.\sin x} \right)$$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {x^2}.\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\sin x}}{x} = 0$ suy ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = 0 = f\left( 0 \right)$.
Vậy hàm số liên tục tại $x = 0$. $\left( 4 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$, $\left( 2 \right)$, $\left( 3 \right)$ và $\left( 4 \right)$ suy ra hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$.
TXĐ:
TXĐ: D = R.
Với $x > 1$ ta có hàm số $f\left( x \right) = {x^2}$ liên tục trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$.$\left( 1 \right)$
Với $0 < x < 1$ ta có hàm số $f\left( x \right) = \frac{{2{x^3}}}{{1 + x}}$ liên tục trên khoảng $\left( {0;1} \right)$. $\left( 2 \right)$
Với $x < 0$ ta có $f\left( x \right) = x\sin x$ liên tục trên khoảng $\left( { - \infty ;0} \right)$. $\left( 3 \right)$
Với x = 1 ta có $f\left( 1 \right) = 1$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {x^2} = 1$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{2{x^3}}}{{1 + x}} = 1$
Suy ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = 1 = f\left( 1 \right)$.
Vậy hàm số liên tục tại x = 1.
Với $x = 0$ ta có $f\left( 0 \right) = 0$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{2{x^3}}}{{1 + x}} = 0$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {x.\sin x} \right)$$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {x^2}.\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\sin x}}{x} = 0$ suy ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = 0 = f\left( 0 \right)$.
Vậy hàm số liên tục tại $x = 0$. $\left( 4 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$, $\left( 2 \right)$, $\left( 3 \right)$ và $\left( 4 \right)$ suy ra hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$.
A. Hàm số liên tục trên R
B. TXĐ : \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {3; - 2} \right\}\).Ta có hàm số liên tục tại mọi x ∈ D và hàm số gián đoạn tại x = - 2; x = 3
C. Hàm số liên tục tại x = - 2; x = 3
D. Tất cả đều sai
Chọn B.
TXĐ : D = R\{3; - 2}
Ta có hàm số liên tục tại mọi x ∈ D và hàm số gián đoạn tại x = - 2; x = 3
TXĐ : D = R\{3; - 2}
Ta có hàm số liên tục tại mọi x ∈ D và hàm số gián đoạn tại x = - 2; x = 3
A. Hàm số liên tục trên R
B. Hàm số liên tục tại mọi điểm \(x \in \left( { - \infty ; - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) \cup \left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}; + \infty } \right)\)
C. TXĐ : \(D = \left( { - \infty ;\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right] \cup \left[ {\frac{1}{{\sqrt 2 }}; + \infty } \right)\)
D. Hàm số liên tục tại mọi điểm \(x \in \left( { - \frac{1}{{\sqrt 3 }};\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)\).
Chọn B.
TXĐ: \(D = \left( { - \infty ; - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right] \cup \left[ {\frac{1}{{\sqrt 3 }}; + \infty } \right)\)
Ta có hàm số liên tục tại mọi điểm \(x \in \left( { - \infty ; - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) \cup \left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}; + \infty } \right)\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)}^ - }} f(x) = 0 = f\left( { - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) \Rightarrow \)hàm số liên tục trái tại \(x = - \frac{1}{{\sqrt 3 }}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)}^ + }} f(x) = 0 = f\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) \Rightarrow \) hàm số liên tục phải tại \(x = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\)
Hàm số gián đoạn tại mọi điểm \(x \in \left( { - \frac{1}{{\sqrt 3 }};\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)\).
TXĐ: \(D = \left( { - \infty ; - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right] \cup \left[ {\frac{1}{{\sqrt 3 }}; + \infty } \right)\)
Ta có hàm số liên tục tại mọi điểm \(x \in \left( { - \infty ; - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) \cup \left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}; + \infty } \right)\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)}^ - }} f(x) = 0 = f\left( { - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) \Rightarrow \)hàm số liên tục trái tại \(x = - \frac{1}{{\sqrt 3 }}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)}^ + }} f(x) = 0 = f\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) \Rightarrow \) hàm số liên tục phải tại \(x = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\)
Hàm số gián đoạn tại mọi điểm \(x \in \left( { - \frac{1}{{\sqrt 3 }};\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)\).
A. Hàm số liên tục trên R
B. Hàm số liên tục tại mọi điểm
C. TXĐ:\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
D. Hàm số gián đoạn tại các điểm \(x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}\)
Chọn D
TXĐ :\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
Ta có hàm số liên tục tại mọi điểm thuộc D và gián đoạn tại các điểm
\(x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}\).
TXĐ :\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
Ta có hàm số liên tục tại mọi điểm thuộc D và gián đoạn tại các điểm
\(x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}\).
A. Hàm số liên tục trên R
B. Hàm số không liên tục trên R
C. Hàm số không liên tục trên \(\left( {1: + \infty } \right)\)
D. Hàm số gián đoạn tại các điểm x = 1.
Chọn D
Hàm số liên tục tại mọi điểm \(x \ne 1\) và gián đoạn tại x = 1
Hàm số liên tục tại mọi điểm \(x \ne 1\) và gián đoạn tại x = 1
A. Hàm số liên tục trên R
B. Hàm số không liên tục trên R
C. Hàm số không liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)
D. Hàm số gián đoạn tại các điểm \(x = 0\).
Chọn D
Hàm số liên tục tại mọi điểm \(x \ne 0\) và gián đoạn tại \(x = 0\)
Hàm số liên tục tại mọi điểm \(x \ne 0\) và gián đoạn tại \(x = 0\)
A. Hàm số liên tục trên R
B. Hàm số không liên tục trên R
C. Hàm số không liên tục trên \(\left( {2; + \infty } \right)\)
D. Hàm số gián đoạn tại các điểm \(x = 2\).
Chọn D
Hàm số liên tục tại mọi điểm \(x \ne 2\)và gián đoạn tại \(x = 2\)
Hàm số liên tục tại mọi điểm \(x \ne 2\)và gián đoạn tại \(x = 2\)
A. Hàm số liên tục trên R
B. Hàm số không liên tục trên R
C. Hàm số không liên tục trên \(\left( {2; + \infty } \right)\)
D. Hàm số gián đoạn tại các điểm \(x = \pm 1\).
Chọn D
Hàm số liên tục tại mọi điểm \(x \ne \pm 1\)và gián đoạn tại \(x = \pm 1\).
Hàm số liên tục tại mọi điểm \(x \ne \pm 1\)và gián đoạn tại \(x = \pm 1\).
A. \(\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{2}{\pi }\\b = 1\end{array} \right.\)
B. \(\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{2}{\pi }\\b = 2\end{array} \right.\)
C. \(\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{\pi }\\b = 0\end{array} \right.\)
D. \(\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{2}{\pi }\\b = 0\end{array} \right.\)
Chọn D
Hàm số liên tục trên \(\mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{\pi }{2}a + b = 1\\ - \frac{\pi }{2}a + b = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{2}{\pi }\\b = 0\end{array} \right.\)
Hàm số liên tục trên \(\mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{\pi }{2}a + b = 1\\ - \frac{\pi }{2}a + b = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{2}{\pi }\\b = 0\end{array} \right.\)
A. \(\left\{ \begin{array}{l}a = 10\\b = - 1\end{array} \right.\)
B. \(\left\{ \begin{array}{l}a = 11\\b = - 1\end{array} \right.\)
C. \(\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 1\end{array} \right.\)
D. \(\left\{ \begin{array}{l}a = 12\\b = - 1\end{array} \right.\)
Chọn C
Hàm số liên tục trên \(\mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 1\end{array} \right.\).
Hàm số liên tục trên \(\mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 1\end{array} \right.\).
A. m = 1
B. \(m = \frac{4}{3}\)
C. \(m = 2\)
D. m = 0
Chọn
B.
Với \(x \ne 1\) ta có \(f(x) = \frac{{\sqrt[3]{{x - 2}} + 2x - 1}}{{x - 1}}\) nên hàm số liên tục trên khoảng \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\)
Do đó hàm số liên tục trên R khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x = 1
Ta có: \(f(1) = 3m - 2\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt[3]{{x - 2}} + 2x - 1}}{{x - 1}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {1 + \frac{{{x^3} + x - 2}}{{(x - 1)\left( {{x^2} - x\sqrt[3]{{x - 2}} + \sqrt[3]{{{{(x - 2)}^2}}}} \right)}}} \right]\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {1 + \frac{{{x^2} + x + 2}}{{{x^2} - x\sqrt[3]{{x - 2}} + \sqrt[3]{{{{(x - 2)}^2}}}}}} \right] = 2\)
Nên hàm số liên tục tại \(x = 1 \Leftrightarrow 3m - 2 = 2 \Leftrightarrow m = \frac{4}{3}\)
Vậy \(m = \frac{4}{3}\) là những giá trị cần tìm.
B.
Với \(x \ne 1\) ta có \(f(x) = \frac{{\sqrt[3]{{x - 2}} + 2x - 1}}{{x - 1}}\) nên hàm số liên tục trên khoảng \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\)
Do đó hàm số liên tục trên R khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x = 1
Ta có: \(f(1) = 3m - 2\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt[3]{{x - 2}} + 2x - 1}}{{x - 1}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {1 + \frac{{{x^3} + x - 2}}{{(x - 1)\left( {{x^2} - x\sqrt[3]{{x - 2}} + \sqrt[3]{{{{(x - 2)}^2}}}} \right)}}} \right]\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {1 + \frac{{{x^2} + x + 2}}{{{x^2} - x\sqrt[3]{{x - 2}} + \sqrt[3]{{{{(x - 2)}^2}}}}}} \right] = 2\)
Nên hàm số liên tục tại \(x = 1 \Leftrightarrow 3m - 2 = 2 \Leftrightarrow m = \frac{4}{3}\)
Vậy \(m = \frac{4}{3}\) là những giá trị cần tìm.
A. m = 1
B. \(m = - \frac{1}{6}\)
C. \(m = 2\)
D. m = 0
Chọn
B.
Với \(x > 0\) ta có \(f(x) = \frac{{\sqrt {x + 1} - 1}}{x}\) nên hàm số liên tục trên
\(\left( {0; + \infty } \right)\)
Với \(x < 0\) ta có \(f(x) = 2{x^2} + 3m + 1\) nên hàm số liên tục trên \(( - \infty ;0)\).
Do đó hàm số liên tục trên R khi và chỉ khi hàm số liên tục tại \(x = 0\)
Ta có: \(f(0) = 3m + 1\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt {x + 1} - 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{\sqrt {x + 1} + 1}} = \frac{1}{2}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {2{x^2} + 3m + 1} \right) = 3m + 1\)
Do đó hàm số liên tục tại \(x = 0 \Leftrightarrow 3m + 1 = \frac{1}{2} \Leftrightarrow m = - \frac{1}{6}\)
Vậy \(m = - \frac{1}{6}\) thì hàm số liên tục trên R.
B.
Với \(x > 0\) ta có \(f(x) = \frac{{\sqrt {x + 1} - 1}}{x}\) nên hàm số liên tục trên
\(\left( {0; + \infty } \right)\)
Với \(x < 0\) ta có \(f(x) = 2{x^2} + 3m + 1\) nên hàm số liên tục trên \(( - \infty ;0)\).
Do đó hàm số liên tục trên R khi và chỉ khi hàm số liên tục tại \(x = 0\)
Ta có: \(f(0) = 3m + 1\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt {x + 1} - 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{\sqrt {x + 1} + 1}} = \frac{1}{2}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {2{x^2} + 3m + 1} \right) = 3m + 1\)
Do đó hàm số liên tục tại \(x = 0 \Leftrightarrow 3m + 1 = \frac{1}{2} \Leftrightarrow m = - \frac{1}{6}\)
Vậy \(m = - \frac{1}{6}\) thì hàm số liên tục trên R.
A. m = 1
B. \(m = - \frac{1}{6}\)
C. \(m = 5\)
D. m = 0
Chọn C
Với x > 2 ta có hàm số liên tục
Để hàm số liên tục trên R thì hàm số phải liên tục trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\) và liên tục tại \(x = 2\).
Hàm số liên tục trên \(\left( { - \infty ;2} \right)\) khi và chỉ khi tam thức
\(g(x) = {x^2} - 2mx + 3m + 2 \ne 0,{\rm{ }}\forall x \le 2\)
TH 1: $\left\{ \begin{array}{l} \Delta ' = {m^2} - 3m - 2 \le 0\\ g(2) = - m + 6 \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{{3 - \sqrt {17} }}{2} \le m \le \frac{{3 + \sqrt {17} }}{2}$
TH 2: \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {m^2} - 3m - 2 > 0\\{x_1} = m - \sqrt {\Delta '} > 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 3m - 2 > 0\\m > 2\\\Delta ' < {(m - 2)^2}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > \frac{{3 + \sqrt {17} }}{2}\\m < 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{{3 + \sqrt {17} }}{2} < m < 6\)
Nên \(\frac{{3 - \sqrt {17} }}{2} \le m < 6\) (*) thì g(x) ≠ 0; ∀x ≤ 2
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {\sqrt {2x - 4} + 3} \right) = 3\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{x + 1}}{{{x^2} - 2mx + 3m + 2}} = \frac{3}{{6 - m}}\)
Hàm số liên tục tại \(x = 2 \Leftrightarrow \frac{3}{{6 - m}} = 3 \Leftrightarrow m = 5\) (thỏa (*))
Với x > 2 ta có hàm số liên tục
Để hàm số liên tục trên R thì hàm số phải liên tục trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\) và liên tục tại \(x = 2\).
Hàm số liên tục trên \(\left( { - \infty ;2} \right)\) khi và chỉ khi tam thức
\(g(x) = {x^2} - 2mx + 3m + 2 \ne 0,{\rm{ }}\forall x \le 2\)
TH 1: $\left\{ \begin{array}{l} \Delta ' = {m^2} - 3m - 2 \le 0\\ g(2) = - m + 6 \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{{3 - \sqrt {17} }}{2} \le m \le \frac{{3 + \sqrt {17} }}{2}$
TH 2: \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {m^2} - 3m - 2 > 0\\{x_1} = m - \sqrt {\Delta '} > 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 3m - 2 > 0\\m > 2\\\Delta ' < {(m - 2)^2}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > \frac{{3 + \sqrt {17} }}{2}\\m < 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{{3 + \sqrt {17} }}{2} < m < 6\)
Nên \(\frac{{3 - \sqrt {17} }}{2} \le m < 6\) (*) thì g(x) ≠ 0; ∀x ≤ 2
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {\sqrt {2x - 4} + 3} \right) = 3\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{x + 1}}{{{x^2} - 2mx + 3m + 2}} = \frac{3}{{6 - m}}\)
Hàm số liên tục tại \(x = 2 \Leftrightarrow \frac{3}{{6 - m}} = 3 \Leftrightarrow m = 5\) (thỏa (*))
Sửa lần cuối: