Phương pháp áp dụng
Để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn ta có thể dùng:
$\sqrt {f(x,m)} $=$\sqrt {g(x,m)} $<=> f(x, m) = g(x, m) ≥ 0 <=>$\left\{ \begin{array}{l}x \in D\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(*)\\f(x,m) = g(x,m)\end{array} \right.$.
$\sqrt {f(x,m)} $ = g(x,m) <=>$\left\{ \begin{array}{l} g(x,m)\,co\,nghia\,va\,\,g(x,m) \ge 0\\ f(x,m) = {g^2}(x,m) \end{array} \right.$
Lưu ý rằng: Điều kiện (*) được lựa chọn tuỳ theo độ phức tạp của f(x, m) ≥ 0 và g(x, m) ≥ 0, thí dụ với phương trình:
$\sqrt {x - m} $ = $\sqrt {{x^2} - 2mx + 3} $
Ta lựa chọn phép biến đổi: $\left\{ \begin{array}{l}x - m \ge 0\\x - m = {x^2} - 2mx + 3\end{array} \right.$ <=> $\left\{ \begin{array}{l}x \ge m\\{x^2} - (2m + 1)x + 3 + m = 0\end{array} \right.$.
Để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn ta có thể dùng:
- a. Định nghĩa của giá trị tuyệt đối.
- b. Bình phương hai vế để khử dấu giá trị tuyệt đối.
- c. Tính chất của giá trị tuyệt đối.
- d. Ẩn phụ.
$\sqrt {f(x,m)} $=$\sqrt {g(x,m)} $<=> f(x, m) = g(x, m) ≥ 0 <=>$\left\{ \begin{array}{l}x \in D\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(*)\\f(x,m) = g(x,m)\end{array} \right.$.
$\sqrt {f(x,m)} $ = g(x,m) <=>$\left\{ \begin{array}{l} g(x,m)\,co\,nghia\,va\,\,g(x,m) \ge 0\\ f(x,m) = {g^2}(x,m) \end{array} \right.$
Lưu ý rằng: Điều kiện (*) được lựa chọn tuỳ theo độ phức tạp của f(x, m) ≥ 0 và g(x, m) ≥ 0, thí dụ với phương trình:
$\sqrt {x - m} $ = $\sqrt {{x^2} - 2mx + 3} $
Ta lựa chọn phép biến đổi: $\left\{ \begin{array}{l}x - m \ge 0\\x - m = {x^2} - 2mx + 3\end{array} \right.$ <=> $\left\{ \begin{array}{l}x \ge m\\{x^2} - (2m + 1)x + 3 + m = 0\end{array} \right.$.
Thí dụ 1. Giải và biện luận các phương trình:
a. $\frac{x}{{\sqrt {x - 2} }}$ = $\frac{m}{{\sqrt {x - 2} }}$.
b. $\frac{x}{{\sqrt {x + m} }}$ = $\frac{x}{{\sqrt {x + 1} }}$.
Giải
a. Ta biến đổi phương trình về dạng:$\frac{x}{{\sqrt {x - 2} }}$ = $\frac{m}{{\sqrt {x - 2} }}$ <=> $\left\{ \begin{array}{l}x > 2\\x = m\end{array} \right.$.Kết luận:
- Với m ≤ 2, phương trình vô nghiệm.
- Với m > 2, phương trình có nghiệm x = m.
$\left[ \begin{array}{l} x = 0\,\,v{\rm{a }}\,{\rm{m > 0}}\\ \sqrt {{\rm{x + m}}} = \sqrt {{\rm{x + 1}}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\,\,v{\rm{a}}\,\,{\rm{m > 0}}\\ {\rm{x + m}} = {\rm{x + 1 > 0}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\,\,v{\rm{a}}\,\,{\rm{m > 0}}\\ {\rm{x > - 1}}\,\,{\rm{va}}\,\,{\rm{m}} = {\rm{1}} \end{array} \right.$
Kết luận:
- Với 0 < m ≠ 1, phương trình có nghiệm x = 0.
- Với m = 1, phương trình có nghiệm x = 0 hoặc x > -1.
- Ngoài ra vô nghiệm.
a. $\sqrt {5x + 6} $ = x - 6.
b. $\sqrt {x + 1} $ = 1- x2
Giải
a. Biến đổi phương trình tương đương với:$\left\{ \begin{array}{l}x - 6 \ge 0\\5x + 6 = {(x - 6)^2}\end{array} \right.$ <=> $\left\{ \begin{array}{l}x \ge 6\\{x^2} - 17x + 30 = 0\end{array} \right.$ <=> $\[\left[ \begin{array}{l} x = 15\\ x = 2\,\,\left( {loai} \right) \end{array} \right.$
Vậy, phương trình có nghiệm x = 15.
b. Biến đổi phương trình tương đương với:
$\left\{ \begin{array}{l}1 - {x^2} \ge 0\\x + 1 = {(1 - {x^2})^2}\end{array} \right.$<=> $\left\{ \begin{array}{l}|x| \le 1\\x(x + 1)({\rm{ }}{{\rm{x}}^2} - x - 1) = 0\end{array} \right.$<=> $\left[ \begin{array}{l}x = 0,\,\,x = - 1\\x = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.$.
Vậy, phương trình có nghiệm x = 0, x = -1, x = $\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}$.
Dạng 2: Với phương trình:
$\sqrt {f(x,m)} $ + $\sqrt {g(x,m)} $ = $\sqrt {h(x,m)} $
<=> $\left\{ \begin{array}{l} f(x,m)\,\,co\,nghia\,va\,\,f(x,m) \ge 0\\ g(x,m)\,\,\,co\,nghia\,va\,\,\,g(x,m) \ge 0\\ f(x,m) + g(x,m) + 2\sqrt {f(x,m)g(x,m)} = h(x,m) \end{array} \right.$
Lưu ý rằng: Không cần h(x, m) ≥ 0.
Thí dụ 1. Giải phương các trình sau:
a. $\sqrt {3 - x} = \sqrt {x + 2} + 1$.
b. $\sqrt {x + 4} $-$\sqrt {1 - x} $ = $\sqrt {1 - 2x} $.
Giải
a. Điều kiện:$\left\{ \begin{array}{l}3 - x \ge 0\\x + 2 \ge 0\end{array} \right.$ <=> -2 ≤ x ≤ 3.
Biến đổi phương trình: 3 - x = x + 2 + $2\sqrt {x + 2} $ + 1 <=> $\sqrt {x + 2} = - x$
$ \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l} - x \ge 0\\x + 2 = {x^2}\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}x \le 0\\{x^2} - x - 2 = 0\end{array} \right.$ <=> x = -1.
Vậy, phương trình có 1 nghiệm x = -1.
b. Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}x + 4 \ge 0\\1 - x \ge 0\\1 - 2x \ge 0\end{array} \right.$<=> -4 ≤ x ≤ $\frac{1}{2}$.
Phương trình viết lại dưới dạng:
$\sqrt {1 - x} $ + $\sqrt {1 - 2x} $ = $\sqrt {x + 4} $ <=> $\sqrt {(1 - x)(1 - 2x)} $ = 2x + 1
<=> $\left\{ \begin{array}{l}2x + 1 \ge 0\$1 - x)(1 - 2x) = {(2x + 1)^2}\end{array} \right.$<=> $\left\{ \begin{array}{l}x \ge - \frac{1}{2}\\2{x^2} + 7x = 0\end{array} \right.$<=> $\left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1/2\\\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 7/2\end{array} \right.\end{array} \right.$ <=> x = 0.
Vậy, phương trình có nghiệm x = 0.
Thí dụ 2. Giải phương trình $\sqrt {x - 1 + 2\sqrt {x - 2} } $-$\sqrt {x - 1 - 2\sqrt {x - 2} } $ = 2.
Giải
Ta biến đổi phương trình về dạng:$\sqrt {{{(\sqrt {x - 2} + 1)}^2}} $-$\sqrt {{{(\sqrt {x - 2} - 1)}^2}} $ = 1
<=> |$\sqrt {x - 2} $ + 1|-|$\sqrt {x - 2} $-1| = |($\sqrt {x - 2} $ + 1)-( $\sqrt {x - 2} $-1)|
<=> ($\sqrt {x - 2} $-1).2 ≥ 0 <=> $\sqrt {x - 2} $ ≥ 1 <=> x ≥ 3.
Vậy, phương trình có nghiệm là x ≥ 3.
* Chú ý: Rất nhiều học sinh giải bài này chỉ thu được nghiệm x = 3.
Dạng 3: Sử dụng ẩn phụ
Thí dụ 3. Giải phương các trình sau:
a. $\sqrt {{x^2} - 3x + 3} $ + $\sqrt {{x^2} - 3x + 6} $ = 3.
b. (x + 5)(2-x) = 3$\sqrt {{x^2} + 3x} $.
Giải
a. Đặt t = x$^2$-3x + 3, ta có:t = (x-$\frac{3}{2}$)2 + $\frac{3}{4}$ ≥ $\frac{3}{4}$
do đó điều kiện cho ẩn phụ t là t ≥ $\frac{3}{4}$
Khi đó phương trình có dạng:
$\sqrt t $ + $\sqrt {t + 3} $ = 3 <=> t + t + 3 + 2$\sqrt {t(t + 3)} $ = 9 <=> $\sqrt {t(t + 3)} $ = 3-t
<=> $\left\{ \begin{array}{l}3 - t \ge 0\\t(t + 3) = {(3 - t)^2}\end{array} \right.$
<=> $\left\{ \begin{array}{l}t \le 3\\t = 1\end{array} \right.$ <=> t = 1 <=> x$^2$-3x + 3 = 1 <=> $\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.$.
Vậy, phương trình có hai nghiệm x = 1, x = 2.
b. Điều kiện: x$^2$ + 3x ≥ 0 <=> $\left[ \begin{array}{l}x \le - 3\\x \ge 0\end{array} \right.$, (1)
Viết lại phương trình dưới dạng: x$^2$ + 3x + 3$\sqrt {{x^2} + 3x} $-10 = 0.
Đặt t = $\sqrt {{x^2} + 3x} $, điều kiện t ≥ 0. (2)
Khi đó, phương trình có dạng: t$^2$ + 3t-10 = 0
<=> $\left[ \begin{array}{l}t = 2\\t = - 5\end{array} \right.$ $\mathop \Leftrightarrow \limits^{(2)} $ t = 2
<=> $\sqrt {{x^2} + 3x} $ = 2 <=> x$^2$ + 3x = 4 <=> $\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 4\end{array} \right.$, thoả mãn (1).
Vậy, phương trình có hai nghiệm x = 1 và x = -4.
* Nhận xét: Như vậy, trong thí dụ trên:
- Ở câu a), ẩn phụ được sử dụng với mục đích hạ bậc cho phương trình.
- Ở câu b), ẩn phụ được sử dụng với mục đích chuyển phương trình ban đầu về phương trình bậc hai.[/khung]
Sửa lần cuối: