Dạng 8: Tính liên tục của hàm số tại một điểm

Học Lớp · 10/6/18

TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM
I. Phương pháp:
Tìm giới hạn của hàm số y = f(x) khi $x \to {x_0}$ và tính $f({x_0})$
Nếu tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)$ thì ta so sánh $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)$ với $f({x_0})$.
Chú ý:

Nếu hàm số liên tục tại ${x_0}$ thì trước hết hàm số phải xác định tại điểm đó
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = l \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f(x) = l$.
Hàm số $y = \left\{ \begin{array}{l}f(x){\rm{ khi }}x \ne {x_0}\\k{\rm{ khi }}x = {x_0}\end{array} \right.$ liên tục tại $x = {x_0} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = k$.
Hàm số $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}{f_1}(x){\rm{ khi }}x \ge {x_0}\\{f_2}(x){\rm{ khi }}x < {x_0}\end{array} \right.$ liên tục tại điểm $x = {x_0}$ khi và chỉ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } {f_1}(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } {f_2}(x) = {f_1}({x_0})$.

Chú ý:

Hàm số $y = \left\{ \begin{array}{l}f(x){\rm{ khi }}x \ne {x_0}\\k{\rm{ khi }}x = {x_0}\end{array} \right.$ liên tục tại $x = {x_0}$ khi và chỉ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = k$.
Hàm số $y = \left\{ \begin{array}{l}f(x){\rm{ khi }}x > {x_0}\\g(x){\rm{ khi }}x \le {x_0}\end{array} \right.$ liên tục tại $x = {x_0}$ khi và chỉ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } g(x)$.

II. Ví dụ vận dụng
Câu 1. Cho hàm số $f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 1}}{{x + 1}}$ và $f\left( 2 \right) = {m^2} - 2$với $x \ne 2$. Giá trị của m để f(x) liên tục tại x = 2 là:
A. $\sqrt 3 $.
B. $ - \sqrt 3 $.
C. $ \pm \sqrt 3 $.
D. $ \pm 3$

Chọn C
Hàm số liên tục tại x = 2 $ \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)$.
Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 1}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x - 1} \right) = 1$.
Vậy ${m^2} - 2 = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \sqrt 3 \\m = - \sqrt 3 \end{array} \right.$.

Câu 2. Cho hàm số $f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} - 4} $. Chọn câu đúng trong các câu sau:
(I) f(x)liên tục tại x = 2 .
(II) f(x)gián đoạn tại x = 2.
(III) f(x)liên tục trên đoạn $\left[ { - 2;\,2} \right]$.
A. Chỉ Ivà $\left( {III} \right)$.
B. Chỉ I.
C. Chỉ II .
D. Chỉ II và $\left( {III} \right)$

Chọn B.
Ta có: $D = \left( { - \infty ; - 2} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)$.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \sqrt {{x^2} - 4} = 0$.
$f\left( 2 \right) = 0$.
Vậy hàm số liên tục tại x = 2 .

Câu 3. Cho hàm số$f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {\frac{{{x^2} + 1}}{{{x^3} - x + 6}}} \,\,\,\,\,\,\,x \ne 3;\,\,x \ne 2\\b + \sqrt 3 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 3;\,\,b \in \mathbb{R}\end{array} \right.$. Tìm $b$ để f(x)liên tục tại $x = 3$.
A. $\sqrt 3 $.
B. $ - \sqrt 3 $.
C. $\frac{{2\sqrt 3 }}{3}$.
D. $ - \frac{{2\sqrt 3 }}{3}.$

Chọn D
Hàm số liên tục tại $x = 3 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = f\left( 3 \right)$.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \sqrt {\frac{{{x^2} + 1}}{{{x^3} - x + 6}}} = \sqrt {\frac{1}{3}} $.
$f\left( 3 \right) = b + \sqrt 3 $.
Vậy: $b + \sqrt 3 = \sqrt {\frac{1}{3}} \Leftrightarrow b = - \sqrt 3 + \frac{1}{{\sqrt 3 }} = \frac{{ - 2}}{{\sqrt 3 }}$.

Câu 4. Cho hàm số$f\left( x \right) = \frac{{\sqrt x - 1}}{{x - 1}}$. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
If(x)gián đoạn tại $x = 1.$
II f(x)liên tục tại $x = 1.$
$\left( {III} \right)$$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \frac{1}{2}$
A. Chỉ I.
B. ChỉI.
C. Chỉ Ivà $\left( {III} \right)$.
D. Chỉ II và $\left( {III} \right).$

Chọn C
$D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt x - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{\sqrt x + 1}} = \frac{1}{2}$
Hàm số không xác định tại $x = 1.$ Nên hàm số gián đoạn tại $x = 1.$

Câu 5. Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt {2x + 8} - 2}}{{\sqrt {x + 2} }}\,\,\,\,\,\,x > - 2\\0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = - 2\end{array} \right.$. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
I$\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f\left( x \right) = 0$.
II f(x)liên tục tại $x = - 2.$
$\left( {III} \right)$f(x)gián đoạn tại $x = - 2.$
A. Chỉ Ivà $\left( {III} \right)$.
B. Chỉ Ivà II .
C. Chỉ I.
D. Chỉ I

Chọn B.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{\sqrt {2x + 8} - 2}}{{\sqrt {x + 2} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{2x + 8 - 4}}{{\left( {\sqrt {2x + 8} + 2} \right)\sqrt {x + 2} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{2\sqrt {x + 2} }}{{\left( {\sqrt {2x + 8} + 2} \right)}} = 0$.
Vậy $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f\left( x \right) = f\left( { - 2} \right)$nên hàm số liên tục tại $x = - 2.$.

Câu 6. Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {4 - {x^2}} \,\,\,\,\,\, - 2 \le x \le 2\\1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x > 2\end{array} \right.$. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:.
If(x)không xác định tại $x = 3.$
II f(x)liên tục tại $x = - 2.$
$\left( {III} \right)$$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = 2$
A. Chỉ I.
B. Chỉ Ivà II .
C. Chỉ Ivà $\left( {III} \right)$.
D. Cả $\left( I \right);\,\,\left( {II} \right);\,\,\left( {III} \right)$ đều sai.

Chọn B.
$D = \left[ { - 2;\,\,2} \right]$
f(x)không xác định tại $x = 3.$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \sqrt {4 - {x^2}} = 0$; $f\left( { - 2} \right) = 0$. Vậy hàm số liên tục tại $x = - 2.$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \sqrt {4 - {x^2}} = 0$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = 1$. Vậy không tồn tại giới hạn của hàm số khi $x \to 2.$.

Câu 7. Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sin 5x}}{{5x}}\,\,\,\,\,\,x \ne 0\\a + 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 0\end{array} \right.$. Tìm a để f(x)liên tục tại x = 0
A. 1.
B. $ - 1$.
C. $ - 2$.
D. $2.$

Chọn B.
Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 5x}}{{5x}}\, = 1$; f(0) = a + 2..
Vậy để hàm số liên tục tại $x = 0$thì $a + 2 = 1 \Leftrightarrow a = - 1$.

Câu 8.Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + 1} \right)^2}{\rm{ }},x > 1\\{x^2} + 3{\rm{ }},x < 1\\{k^2}{\rm{ , }}x = 1\end{array} \right.$. Tìm $k$ để f(x) gián đoạn tại x = 1.
A. $k \ne \pm 2$.
B. $k \ne 2$.
C. $k \ne - 2$.
D. $k \ne \pm 1$.

Chọn A
TXĐ: D = R.
Với x = 1 ta có $f\left( 1 \right) = {k^2}$
Với x ≠ 1 ta có
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {{x^2} + 3} \right) = 4$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {\left( {x + 1} \right)^2} = 4$ suy ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = 4$.
Vậy để hàm số gián đoạn tại x = 1khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) \ne {k^2}$$ \Leftrightarrow {k^2} \ne 4$$ \Leftrightarrow k \ne \pm 2$.

Câu 9.Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt x - 2}}{{x - 4}}{\rm{ khi }}x \ne 4\\\frac{1}{4}{\rm{ khi }}x = 4\end{array} \right.$. Khẳng định nào sau đây đúng nhất
A. Hàm số liên tục tại $x = 4$
B. Hàm số liên tục tại mọi điểm trên tập xác định nhưng gián đoạn tại $x = 4$
C. Hàm số không liên tục tại $x = 4$
D. Tất cả đều sai

Chọn C
Ta có : $\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{\sqrt x - 2}}{{x - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{1}{{\sqrt x + 2}} = \frac{1}{4} = f(4)$
Hàm số liên tục tại điểm $x = 4$.

Câu 10. Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{\sqrt {x - 1} }} + 2{\rm{ khi }}x > 1\\3{x^2} + x - 1{\rm{ khi }}x \le 1\end{array} \right.$. Khẳng định nào sau đây đúng nhất
A. Hàm số liên tục tại x = 1
B. Hàm số liên tục tại mọi điểm
C. Hàm số không liên tục tại x = 1
D. Tất cả đều sai

Chọn C
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left[ {\frac{{(x - 1)(x - 2)}}{{\sqrt {x - 1} }} + 2} \right] = 2$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {3{x^2} + x - 1} \right) = 3 \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x)$
Hàm số không liên tục tại x = 1.

Câu 11. Cho hàm số 3. $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\,\cos \frac{{\pi x}}{2}\,{\rm{ }}\,{\rm{khi }}\,\left| x \right| \le 1}\\{\left| {x - 1} \right|\,\,{\rm{ }}\,{\rm{khi }}\left| x \right| > 1}\end{array}} \right.$. Khẳng định nào sau đây đúng nhất
A. Hàm số liên tục tại tại x = 1và $x = - 1$.
B. Hàm số liên tục tại x = 1, không liên tục tại điểm $x = - 1$.
C. Hàm số không liên tục tại tại x = 1và $x = - 1$.
D. Tất cả đều sai

Chọn B.
Hàm số liên tục tại x = 1, không liên tục tại điểm $x = - 1$.

Câu 12. Chọn giá trị $f(0)$ để các hàm số $f(x) = \frac{{\sqrt {2x + 1} - 1}}{{x(x + 1)}}$ liên tục tại điểm $x = 0$.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

Chọn A
Ta có : $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {2x + 1} - 1}}{{x(x + 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2x}}{{x(x + 1)\left( {\sqrt {2x + 1} + 1} \right)}} = 1$
Vậy ta chọn $f(0) = 1$

Câu 13. Chọn giá trị $f(0)$ để các hàm số $f(x) = \frac{{\sqrt[3]{{2x + 8}} - 2}}{{\sqrt {3x + 4} - 2}}$liên tục tại điểm $x = 0$.
A. 1
B. 2
C. 2/9
D. 1/9

Chọn C
Ta có : $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2\left( {\sqrt {3x + 4} + 2} \right)}}{{3\left( {\sqrt[3]{{{{(2x + 8)}^2}}} + 2.\sqrt[3]{{2x + 8}} + 4} \right)}} = \frac{2}{9}$
Vậy ta chọn $f(0) = \frac{2}{9}$.

Câu 14. Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{x + \sqrt {x + 2} }}{{x + 1}}{\rm{ khi }}x > - 1\\2x + 3{\rm{ khi }}x \le - 1\end{array} \right.$. Khẳng định nào sau đây đúng nhất
A. Hàm số liên tục tại tại tại ${x_0} = - 1$
B. Hàm số liên tục tại mọi điểm
C. Hàm số không liên tục tại tại ${x_0} = - 1$.
D. Tất cả đều sai

Chọn C
Ta có: $f( - 1) = 1$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left( {2x + 3} \right) = 1$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{x + \sqrt {x + 2} }}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{{x^2} - x - 2}}{{(x + 1)(x - \sqrt {x + 2} )}}$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{x - 2}}{{x - \sqrt {x + 2} }} = \frac{3}{2}$
Suy ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f(x) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f(x)$
Vậy hàm số không liên tục tại ${x_0} = - 1$.

Câu 15. Cho hàm số 3. $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{x + 1 + \sqrt[3]{{x - 1}}}}{x}{\rm{ khi }}x \ne 0\\2{\rm{ khi }}x = 0\end{array} \right.$. Khẳng định nào sau đây đúng nhất
A. Hàm số liên tục tại ${x_0} = 0$
B. Hàm số liên tục tại mọi điểm như gián đoạn tại ${x_0} = 0$
C. Hàm số không liên tục tại ${x_0} = 0$
D. Tất cả đều sai

Chọn C
Ta có: f(0) = 2
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x + 1 + \sqrt[3]{{x - 1}}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {1 + \frac{{1 + \sqrt[3]{{x - 1}}}}{x}} \right)$
$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {1 + \frac{1}{{1 - \sqrt[3]{{x - 1}} + x - 1}}} \right) = 2 = f(0)$
Vậy hàm số liên tục tại $x = 0$.

Câu 16. Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt[3]{x} - 1}}{{x - 1}}{\rm{ khi }}x \ne 1\\\frac{1}{3}{\rm{ khi }}x = 1\end{array} \right.$ . Khẳng định nào sau đây đúng nhất
A. Hàm số liên tục tại x = 1
B. Hàm số liên tục tại mọi điểm
C. Hàm số không liên tục tại tại x = 1
D. Tất cả đều sai

Chọn C
Ta có : $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{\sqrt[3]{x} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{1}{{\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{x} + 1}} = \frac{1}{3} = f(1)$
Hàm số liên tục tại điểm x = 1.

Câu 17. Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - x - 2}}{{\sqrt {x - 2} }} + 2x{\rm{ khi }}x > 2\\{x^2} - x + 3{\rm{ khi }}x \le 2\end{array} \right.$
. Khẳng định nào sau đây đúng nhất
A. Hàm số liên tục tại ${x_0} = 2$
B. Hàm số liên tục tại mọi điẻm
C. Hàm số không liên tục tại ${x_0} = 2$
D. Tất cả đều sai

Chọn C
Ta có : $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left[ {\frac{{(x + 1)(x - 2)}}{{\sqrt {x - 2} }} + 2x} \right] = 4$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {{x^2} - x + 3} \right) = 5 \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x)$
Hàm số không liên tục tại ${x_0} = 2$.

Câu 18. Tìm a để các hàm số $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\,x + 2a\,\,{\rm{khi }}\,x < 0}\\{{x^2} + x + 1\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x \ge 0}\end{array}} \right.$ liên tục tại $x = 0$
A. 1/2
B. 1/4
C. 0
D. 1

Chọn A
Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} ({x^2} + x + 1) = 1$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} (x + 2a) = 2a$
Suy ra hàm số liên tục tại $x = 0 \Leftrightarrow a = \frac{1}{2}$.

Câu 19. Tìm $a$ để các hàm số $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt {4x + 1} - 1}}{{a{x^2} + (2a + 1)x}}{\rm{ khi }}x \ne 0\\3{\rm{ khi }}x = 0{\rm{ }}\end{array} \right.$ liên tục tại $x = 0$
A. 1/2
B. 1/4
C. $ - \frac{1}{6}$
D. 1

Chọn C
Ta có : $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {4x + 1} - 1}}{{x\left( {ax + 2a + 1} \right)}}$
$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{4}{{\left( {ax + 2a + 1} \right)\left( {\sqrt {4x + 1} + 1} \right)}} = \frac{2}{{2a + 1}}$
Hàm số liên tục tại $x = 0 \Leftrightarrow \frac{2}{{2a + 1}} = 3 \Leftrightarrow a = - \frac{1}{6}$.

Câu 20.Tìm a để các hàm số $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt {3x + 1} - 2}}{{{x^2} - 1}}{\rm{ khi }}x > 1\\\frac{{a({x^2} - 2)}}{{x - 3}}{\rm{ khi }}x \le 1\end{array} \right.$ liên tục tại x = 1
A. 1/2
B. 1/4
C. $\frac{3}{4}$
D. 1

Chọn C
Ta có : $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\sqrt {3x + 1} - 2}}{{{x^2} - 1}} = \frac{3}{8}$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{a({x^2} - 2)}}{{x - 3}} = \frac{a}{2}$
Suy ra hàm số liên tục tại $x = 1 \Leftrightarrow \frac{a}{2} = \frac{3}{8} \Rightarrow a = \frac{3}{4}$.

Dạng 8: Tính liên tục của hàm số tại một điểm

Học Lớp

Administrator

Chương 4: Giới hạn