Thí dụ 1. Tìm phương trình đường cong đối xứng với đồ thị hàm số (C) qua đường thẳng y = 1, biết:
a. (C): y = 2x + 3.
b. (C): y = $\frac{{x - 1}}{{x + 1}}$.
Khi đó, với mỗi M(x; y)∈(H) <=> ∃M1(x1; y1)∈(C) với y1 = 2x1 + 3 (1)
sao cho M đối xứng với M1 qua đường thẳng y = 1 <=> ∃ x1, y1 thoả mãn:
$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = x\\{y_1} + y = 2\end{array} \right.$ <=> $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = x\\{y_1} = 2 - y\end{array} \right.$. (I)
Thay (I) vào (1), ta được: y = – 2x – 1.
Vậy, đường cong (H) có phương trình: y = – 2x – 1.
b. Gọi (H) là đường cong đối xứng với (C) qua đường thẳng y = 1.
Khi đó, với mỗi M(x; y)∈(H)<=> ∃M1(x1; y1) ∈ (C) với y1 = $\frac{{{x_1} - 1}}{{{x_1} + 1}}$ (1)
sao cho M đối xứng với M1 qua đường thẳng y = 1 <=> ∃ x1, y1 thoả mãn:
$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = x\\{y_1} + y = 2\end{array} \right.$ <=> $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = x\\{y_1} = 2 - y\end{array} \right.$. (I)
Thay (I) vào (1), ta được: y = $\frac{{x + 3}}{{x + 1}}$.
Vậy, đường cong (H) có phương trình: y = $\frac{{x + 3}}{{x + 1}}$.
Thí dụ 2. Cho hàm số: (C): y = $\frac{{{{(x - 1)}^2}}}{{x - 2}}$. Tìm phương trình đường cong đối xứng với đồ thị (C) qua điểm I(1; 1).
Khi đó, với mỗi M(x; y)∈(H)<=> ∃M1(x1, y1)∈(C) với y1 = $\frac{{{{({x_1} - 1)}^2}}}{{{x_1} - 2}}$ (1)
sao cho M đối xứng với M1 qua điểm I(1; 1) <=> ∃ x1, y1 thoả mãn:
$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + x = 2\\{y_1} + y = 2\end{array} \right.$
<=> $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = 2 - x\\{y_1} = 2 - y\end{array} \right.$. (I)
Thay (I) vào (1), ta được: y = $\frac{{{x^2} + 1}}{x}$.
Vậy, đường cong (H) có phương trình : y = $\frac{{{x^2} + 1}}{x}$.
a. (C): y = 2x + 3.
b. (C): y = $\frac{{x - 1}}{{x + 1}}$.
Giải
a. Gọi (H) là đường cong đối xứng với (C) qua đường thẳng y = 1.Khi đó, với mỗi M(x; y)∈(H) <=> ∃M1(x1; y1)∈(C) với y1 = 2x1 + 3 (1)
sao cho M đối xứng với M1 qua đường thẳng y = 1 <=> ∃ x1, y1 thoả mãn:
$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = x\\{y_1} + y = 2\end{array} \right.$ <=> $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = x\\{y_1} = 2 - y\end{array} \right.$. (I)
Thay (I) vào (1), ta được: y = – 2x – 1.
Vậy, đường cong (H) có phương trình: y = – 2x – 1.
b. Gọi (H) là đường cong đối xứng với (C) qua đường thẳng y = 1.
Khi đó, với mỗi M(x; y)∈(H)<=> ∃M1(x1; y1) ∈ (C) với y1 = $\frac{{{x_1} - 1}}{{{x_1} + 1}}$ (1)
sao cho M đối xứng với M1 qua đường thẳng y = 1 <=> ∃ x1, y1 thoả mãn:
$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = x\\{y_1} + y = 2\end{array} \right.$ <=> $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = x\\{y_1} = 2 - y\end{array} \right.$. (I)
Thay (I) vào (1), ta được: y = $\frac{{x + 3}}{{x + 1}}$.
Vậy, đường cong (H) có phương trình: y = $\frac{{x + 3}}{{x + 1}}$.
Thí dụ 2. Cho hàm số: (C): y = $\frac{{{{(x - 1)}^2}}}{{x - 2}}$. Tìm phương trình đường cong đối xứng với đồ thị (C) qua điểm I(1; 1).
Giải
Gọi (H) là đường cong đối xứng với (C) qua điểm I(1; 1).Khi đó, với mỗi M(x; y)∈(H)<=> ∃M1(x1, y1)∈(C) với y1 = $\frac{{{{({x_1} - 1)}^2}}}{{{x_1} - 2}}$ (1)
sao cho M đối xứng với M1 qua điểm I(1; 1) <=> ∃ x1, y1 thoả mãn:
$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + x = 2\\{y_1} + y = 2\end{array} \right.$
<=> $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = 2 - x\\{y_1} = 2 - y\end{array} \right.$. (I)
Thay (I) vào (1), ta được: y = $\frac{{{x^2} + 1}}{x}$.
Vậy, đường cong (H) có phương trình : y = $\frac{{{x^2} + 1}}{x}$.
Sửa lần cuối: