GIỚI HẠN MỘT BÊN VÀ CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH KHÁC
Phương pháp:
1. Giới hạn một bên: Áp dụng định lý giới hạn của một tích và một thương..
2. Dạng ∞ – ∞: Giới hạn này thường có chứa căn
Ta thường sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp của tử và mẫu, Sau đó tìm cách biến đổi đưa về dạng \(\frac{\infty }{\infty }\).
3. Dạng 0.∞:
Ta cũng thường sử dụng các phương pháp như các dạng ở trên.
Phương pháp:
1. Giới hạn một bên: Áp dụng định lý giới hạn của một tích và một thương..
2. Dạng ∞ – ∞: Giới hạn này thường có chứa căn
Ta thường sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp của tử và mẫu, Sau đó tìm cách biến đổi đưa về dạng \(\frac{\infty }{\infty }\).
3. Dạng 0.∞:
Ta cũng thường sử dụng các phương pháp như các dạng ở trên.
Câu 1. Chọn kết quả đúng của \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {\frac{1}{{{x^2}}} - \frac{2}{{{x^3}}}} \right)\):
A. - ∞.
B. 0.
C. - ∞.
D. Không tồn tại.
Chọn C
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {\frac{1}{{{x^2}}} - \frac{2}{{{x^3}}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {\frac{{x - 2}}{{{x^3}}}} \right)\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {x - 2} \right) = - 2 < 0\)
Khi \(x \to {0^ - } \Rightarrow x < 0 \Rightarrow {x^3} < 0\)
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {\frac{{x - 2}}{{{x^3}}}} \right) = + \infty \).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {\frac{1}{{{x^2}}} - \frac{2}{{{x^3}}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {\frac{{x - 2}}{{{x^3}}}} \right)\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {x - 2} \right) = - 2 < 0\)
Khi \(x \to {0^ - } \Rightarrow x < 0 \Rightarrow {x^3} < 0\)
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {\frac{{x - 2}}{{{x^3}}}} \right) = + \infty \).
A. - 1.
B. 0.
C. 1.
D. + ∞.
Chọn C
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\sqrt {{x^3} - {x^2}} }}{{\sqrt {x - 1} + 1 - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\sqrt {{x^2}\left( {x - 1} \right)} }}{{\sqrt {x - 1} - \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2}} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x\sqrt {x - 1} }}{{\sqrt {x - 1} \left( {1 - \sqrt {x - 1} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{x}{{\left( {1 - \sqrt {x - 1} } \right)}} = 1.$.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\sqrt {{x^3} - {x^2}} }}{{\sqrt {x - 1} + 1 - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\sqrt {{x^2}\left( {x - 1} \right)} }}{{\sqrt {x - 1} - \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2}} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x\sqrt {x - 1} }}{{\sqrt {x - 1} \left( {1 - \sqrt {x - 1} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{x}{{\left( {1 - \sqrt {x - 1} } \right)}} = 1.$.
A. –∞.
B. –1.
C. 1.
D. +∞.
Chọn D
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - x + 1}}{{{x^2} - 1}} = + \infty $vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^2} - x + 1} \right) = 1 > 0$và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^2} - 1} \right) = 0;\,{x^2} - 1 > 0$.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - x + 1}}{{{x^2} - 1}} = + \infty $vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^2} - x + 1} \right) = 1 > 0$và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^2} - 1} \right) = 0;\,{x^2} - 1 > 0$.
A. Không tồn tại.
B. $0$.
C. 1.
D. + ∞.
Chọn A
$\left. \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{\left| {x - 3} \right|}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{x - 3}}{{x - 3}} = 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{\left| {x - 3} \right|}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{ - x + 3}}{{x - 3}} = - 1\end{array} \right\} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{\left| {x - 3} \right|}}{{x - 3}} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{\left| {x - 3} \right|}}{{x - 3}}$
Vậy không tồn tại giới hạn trên.
$\left. \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{\left| {x - 3} \right|}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{x - 3}}{{x - 3}} = 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{\left| {x - 3} \right|}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{ - x + 3}}{{x - 3}} = - 1\end{array} \right\} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{\left| {x - 3} \right|}}{{x - 3}} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{\left| {x - 3} \right|}}{{x - 3}}$
Vậy không tồn tại giới hạn trên.
A. + ∞
B. - ∞
C. - 1/2
D. 0
Chọn C
Ta có: $A = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{(\sqrt {{x^2} - x + 1} - x)(\sqrt {{x^2} - x + 1} + x)}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} + x}}$
$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} - x + 1 - {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - x + 1}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} + x}} = - \frac{1}{2}$.
Ta có: $A = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{(\sqrt {{x^2} - x + 1} - x)(\sqrt {{x^2} - x + 1} + x)}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} + x}}$
$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} - x + 1 - {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - x + 1}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} + x}} = - \frac{1}{2}$.
A. + ∞
B. - ∞
C. 1/4
D. 0
Chọn C
$B = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{(2x - \sqrt {4{x^2} - x + 1} )(2x + \sqrt {4{x^2} - x + 1} )}}{{2x - \sqrt {4{x^2} - x + 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x + 1}}{{2x - \sqrt {4{x^2} - x + 1} }} = \frac{1}{4}$
$B = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{(2x - \sqrt {4{x^2} - x + 1} )(2x + \sqrt {4{x^2} - x + 1} )}}{{2x - \sqrt {4{x^2} - x + 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x + 1}}{{2x - \sqrt {4{x^2} - x + 1} }} = \frac{1}{4}$
A. - ∞.
B. - 2/3).
C. 2/3.
D. + ∞.
Chọn A
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {\frac{{ - {x^2} - x}}{{{x^3} - 1}}} \right)\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( { - {x^2} - x} \right) = - 2\)
Khi \(x \to {1^ + } \Rightarrow x > 1 \Rightarrow {x^3} - 1 > 0\)
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = - \infty \).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {\frac{{ - {x^2} - x}}{{{x^3} - 1}}} \right)\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( { - {x^2} - x} \right) = - 2\)
Khi \(x \to {1^ + } \Rightarrow x > 1 \Rightarrow {x^3} - 1 > 0\)
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = - \infty \).
A. + ∞
B. - ∞
C. $\frac{{{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}}}{n}$
D. $\frac{{{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}}}{{2n}}$
Chọn C
Đặt $y = \sqrt[n]{{(x - {a_1})(x - {a_2})...(x - {a_n})}}$
$ \Rightarrow {y^n} - {x^n} = (y - x)({y^{n - 1}} + {y^{n - 1}}x + ... + {x^{n - 1}})$$ \Rightarrow y - x = \frac{{{y^n} - {x^n}}}{{{y^{n - 1}} + {y^{n - 1}}x + ... + {x^{n - 1}}}}$
$ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (y - x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{y^n} - {x^n}}}{{{y^{n - 1}} + {y^{n - 2}}x + ... + {x^{n - 1}}}}$
$ \Rightarrow C = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\frac{{{y^n} - {x^n}}}{{{x^{n - 1}}}}}}{{\frac{{{y^{n - 1}} + {y^{n - 1}}x + ... + {x^{n - 1}}}}{{{x^{n - 1}}}}}}$.
Mà $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{y^n} - {x^n}}}{{{x^{n - 1}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } ({a_1} + {a_2} + ... + {a_n} + \frac{{{b_2}}}{x} + \frac{{{b_3}}}{{{x^2}}} + ... + \frac{{{b_n}}}{{{x^{n - 1}}}})$
$ = {a_1} + {a_2} + ... + {a_n}$.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{y^k}{x^{n - 1 - k}}}}{{{x^{n - 1}}}} = 1{\rm{ }}\forall k = 0,...,n - 1$$ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{y^{n - 1}} + {y^{n - 2}}x + ... + {x^{n - 1}}}}{{{x^{n - 1}}}} = n$.
Vậy$C = \frac{{{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}}}{n}$.
Đặt $y = \sqrt[n]{{(x - {a_1})(x - {a_2})...(x - {a_n})}}$
$ \Rightarrow {y^n} - {x^n} = (y - x)({y^{n - 1}} + {y^{n - 1}}x + ... + {x^{n - 1}})$$ \Rightarrow y - x = \frac{{{y^n} - {x^n}}}{{{y^{n - 1}} + {y^{n - 1}}x + ... + {x^{n - 1}}}}$
$ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (y - x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{y^n} - {x^n}}}{{{y^{n - 1}} + {y^{n - 2}}x + ... + {x^{n - 1}}}}$
$ \Rightarrow C = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\frac{{{y^n} - {x^n}}}{{{x^{n - 1}}}}}}{{\frac{{{y^{n - 1}} + {y^{n - 1}}x + ... + {x^{n - 1}}}}{{{x^{n - 1}}}}}}$.
Mà $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{y^n} - {x^n}}}{{{x^{n - 1}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } ({a_1} + {a_2} + ... + {a_n} + \frac{{{b_2}}}{x} + \frac{{{b_3}}}{{{x^2}}} + ... + \frac{{{b_n}}}{{{x^{n - 1}}}})$
$ = {a_1} + {a_2} + ... + {a_n}$.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{y^k}{x^{n - 1 - k}}}}{{{x^{n - 1}}}} = 1{\rm{ }}\forall k = 0,...,n - 1$$ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{y^{n - 1}} + {y^{n - 2}}x + ... + {x^{n - 1}}}}{{{x^{n - 1}}}} = n$.
Vậy$C = \frac{{{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}}}{n}$.
A. + ∞
B. - ∞
C. - 1/2
D. 0
Chọn C
$A = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - x + 1}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} + x}} = - \frac{1}{2}$
$A = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - x + 1}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} + x}} = - \frac{1}{2}$
A. + ∞
B. - ∞
C. 1/4
D. 0
Chọn
B.
B.
A. + ∞
B. - ∞
C. 1/4
D. Đáp án khác
Chọn D
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - x + 1} - \sqrt {{x^2} + x + 1} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 2x}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} + \sqrt {{x^2} + x + 1} }} = - 1\)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - x + 1} - \sqrt {{x^2} + x + 1} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - 2x}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} + \sqrt {{x^2} + x + 1} }} = 1\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - x + 1} - \sqrt {{x^2} + x + 1} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 2x}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} + \sqrt {{x^2} + x + 1} }} = - 1\)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - x + 1} - \sqrt {{x^2} + x + 1} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - 2x}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} + \sqrt {{x^2} + x + 1} }} = 1\).
A. + ∞
B. - ∞
C. 1/4
D. 0
Chọn D
\(D = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x}}{{\sqrt[3]{{{{(8{x^3} + 2x)}^2}}} + 2x\sqrt[3]{{(8{x^3} + 2x)}} + 4{x^2}}} = 0\)
\(D = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x}}{{\sqrt[3]{{{{(8{x^3} + 2x)}^2}}} + 2x\sqrt[3]{{(8{x^3} + 2x)}} + 4{x^2}}} = 0\)
A. + ∞
B. - ∞
C. 1/4
D. 0
Chọn D
\(E = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt[4]{{16{x^4} + 3x + 1}} - 2x} \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {4{x^2} + 2} - 2x} \right) = 0\)
\(E = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt[4]{{16{x^4} + 3x + 1}} - 2x} \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {4{x^2} + 2} - 2x} \right) = 0\)
A. + ∞
B. - ∞
C. 1/4
D. 0
Chọn D