Dạng 6: Điểm và đường tròn

Thí dụ 1. Cho điểm F(4, -2) và đường tròn (C) có phương trình: (C): (x - 3)$^2$ + (y - 2)$^2$ = 5, (Δ): x - y - 2 = 0.
a. Tìm các điểm có toạ độ nguyên thuộc (C).
b. Tìm trên (C) điểm E sao cho ΔOEF vuông.
a. Xét phương trình đường tròn (C) với ẩn y là: y$^2$ - 4y + x$^2$ - 6x + 8 = 0
Phương trình có nghiệm⇔ Δ' ≥ 0 ⇔ 4 - x$^2$ + 6x - 8 ≥ 0 ⇔ x$^2$ - 6x + 4 ≤ 0 ⇔ 3 - $\sqrt 5 $ ≤ x ≤ 3 + $\sqrt 5 $.
Suy ra các điểm M(x, y)∈(C) có hoành độ nguyên là: 1, 2, 3, 4, 5, ta có:
Vậy tồn tại 6 điểm M1(1, 3), M2(1, 1), M3(2, 4), M4(2, 0) , M5(4, 4), M6(4, 0) thuộc (C).

b. ΔOEF vuông gồm các khả năng sau:
Khả năng 1: ΔOEF vuông tại O ⇔ E = (dO)∩(C), với (dO) là đường thẳng qua O và vuông góc với OF.
Ta có ( d ) : $\left\{ \begin{array}{l}qua\,\,O\\vtpt\,\,\overrightarrow {OF} (4, - 2)\end{array} \right.$ ⇔ (d): 2x - y = 0.
Khi đó toạ độ điểm E là nghiệm của hệ : $\left\{ \begin{array}{l}{(x - 3)^2} + {(y - 2)^2} = 5\\2x - y = 0\end{array} \right.$⇔ $\left[ \begin{array}{l}{E_1}(2,4)\\{E_2}(\frac{4}{5},\frac{8}{5})\end{array} \right.$.

Khả năng 2: ΔOEF vuông tại F ⇔ E = (dF)∩(C), với (dF) là đường thẳng qua F và vuông góc với OF.
Ta có : (d):$\left\{ \begin{array}{l}qua\,\,F(4 - 2)\\vtpt\,\,\overrightarrow {OF} (4, - 2)\end{array} \right.$ ⇔ (d): 2x - y - 10 = 0.
Khi đó toạ độ điểm E là nghiệm của hệ : $\left\{ \begin{array}{l}{(x - 3)^2} + {(y - 2)^2} = 5\\2x - y - 10 = 0\end{array} \right.$ vô nghiệm.

Khả năng 3: ΔOEF vuông tại E ⇔ E = (C$_1$)∩(C), với (C$_1$) là đường tròn đường kính OF.
Ta có : C$_1$): (x - 2)$^2$ + (y + 1)$^2$ = 5.
Khi đó toạ độ điểm E là nghiệm của hệ : $\left\{ \begin{array}{l}{(x - 3)^2} + {(y - 2)^2} = 5\\{(x - 2)^2} + {(y + 1)^2} = 5\end{array} \right.$⇔ $\left\{ \begin{array}{l}{(x - 3)^2} + {(y - 2)^2} = 5\\x + 3y - 4 = 0\end{array} \right.$⇔ $\left[ \begin{array}{l}{E_3}(4,0)\\{E_4}(1,1)\end{array} \right.$.

Thí dụ 2. Cho hai đường tròn (C) và (Cm) có phương trình: (C): x$^2$ + y$^2$ = 1, (Cm): x$^2$ + y$^2$ - 2mx - 2y + m$^2$ = 0.
a. Xác định m để (C) và (Cm) tiếp xúc ngoài với nhau.
b. Với m tìm được ở câu a), hãy xác định vị trí của điểm A ∈ (C) và B ∈ (Cm) để diện tích ΔOAB lớn nhất và trong trường hợp đó, tính diện tích hình ấy.
Ta có:

• Đường tròn (C) có tâm O(0, 0) và bán kính R = 1.
• Đường tròn (Cm) có tâm I$_m$(m; 1) và bán kính Rm = 1.

a. Để (C) và (Cm) tiếp xúc ngoài với nhau điều kiện là:
OI$_m$ = R + R$_m$⇔ \(\sqrt {{m^2} + 1} \) = 2 ⇔ m$^2$ + 1 = 4 ⇔ m = ±\(\sqrt 3 \).

b. Ta có: SΔOAB = \(\frac{1}{2}|\overrightarrow {OA} |.|\overrightarrow {OB} |.\sin \widehat {AOB}\) = \(\frac{1}{2}|\overrightarrow {OB} |.\sin \widehat {AOB}\).
Từ đó, suy ra diện tích ΔOAB lớn nhất khi và chỉ khi: \(\left\{ \begin{array}{l}OB\,\,lon\,nhan\\{\rm{sin}}\widehat {{\rm{AOB}}} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}O,\,B,\,{{\mathop{\rm I}\nolimits} _m}\,thang\,hang\\{\rm{OA}} \bot {\rm{OB}}\end{array} \right.\)
Bạn đọc giải tiếp lần lượt với m = ±\(\sqrt 3 \).