Các hàm lượng giác trong lượng giác học nói riêng và toán học nói chung là các hàm toán học của góc, thường được dùng khi nghiên cứu các hiện tượng có tính chất tuần hoàn và tam giác. Bài này sẽ giúp các bạn tính giá trị của hàm lượng giác, biểu thức của nó
Dạng 1: Ta sử dụng các hệ quả trong bảng giá trị lượng giác của các cung đặc biệt hoặc bằng việc biểu diễn góc trên đường tròn đơn vị.
Dạng 2: Nếu biết giá trị của một trong bốn hàm số lượng giác để tính giá trị của các hàm số còn lại chúng ta cần thực hiện theo các bước:
Do đó, với l, k, m ∈ Z:
a. Góc A bằng các hàm lượng giác của góc B và C.
b. Góc $\frac{A}{2}$ bằng các hàm lượng giác của góc $\frac{B}{2}$ và $\frac{C}{2}$.
a. Từ (1) ta được A = π - (B + C), suy ra:
sinA = sin[π - (B + C)] = sin(B + C), cosA = cos[π - (B + C)] = - cos(B + C),
tanA = tan[π - (B + C)] = - tan(B + C), cotA = cot[π - (B + C)] = - cot(B + C).
b. Từ (1) ta được $\frac{A}{2}$ = $\frac{\pi }{2}$ - $\frac{{B + C}}{2}$ suy ra:
sin$\frac{A}{2}$ = sin[$\frac{\pi }{2}$ - $\frac{{B + C}}{2}$] = cos$\frac{{B + C}}{2}$, cos$\frac{A}{2}$ = cos[$\frac{\pi }{2}$ - $\frac{{B + C}}{2}$] = sin$\frac{{B + C}}{2}$,
tan$\frac{A}{2}$ = tan[$\frac{\pi }{2}$ - $\frac{{B + C}}{2}$] = cot$\frac{{B + C}}{2}$, cot$\frac{A}{2}$ = cot[$\frac{\pi }{2}$ - $\frac{{B + C}}{2}$] = tan$\frac{{B + C}}{2}$.
Thí dụ 3. Tính các giá trị lượng giác của góc α nếu:
a. cosα = $\frac{4}{{13}}$ và 0 < α < $\frac{\pi }{2}$.
b. sinα = - 0,7 và 0 < α < $\frac{{3\pi }}{2}$.
c. tanα = $ - \frac{{15}}{7}$ và $\frac{\pi }{2}$ < α < π.
d. cotα = -3 và $\frac{{3\pi }}{2}$ < α < 2π.
Từ sin$^2$α + cos$^2$α = 1, ta có:
${\left( {\frac{4}{{13}}} \right)^2}$ + sin$^2$α = 1 ⇔ sin$^2$α = 1 - $\frac{{16}}{{169}}$ ⇔ sinα = $\frac{{3\sqrt {17} }}{{13}}$
tanα = $\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}$ = $\frac{{3\sqrt {17} }}{4}$ và cotα = $\frac{1}{{\tan \alpha }}$ = $\frac{4}{{3\sqrt {17} }}$.
b. Vì 0 < α < $\frac{{3\pi }}{2}$ nên cosα < 0, tanα > 0, cotα > 0
Ta có: cos$^2$α = 1 - (0,7)$^2$ = 0,51 ⇒ cosα = - $\frac{{\sqrt {51} }}{{10}}$
tanα = $\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}$ = $\frac{{ - 0,7 \times 10}}{{ - \sqrt {51} }} = \frac{{7\sqrt {51} }}{{51}}$ và cotα = $\frac{1}{{\tan \alpha }}$ =$\frac{{\sqrt {51} }}{7}$
c. Vì $\frac{\pi }{2}$ < α < π nên cosα < 0, sinα > 0, cotα < 0. Ta có:
cotα.tanα = 1 ⇒ cotα = $ - \frac{7}{5}$
cos$^2$α = $\frac{1}{{1 + {{\tan }^2}\alpha }} = \frac{1}{{1 + {{\left( { - 15/7} \right)}^2}}} = \frac{{49}}{{49 + {{15}^2}}}$ ⇒ cosα = $\frac{{ - 7}}{{274}}$
sin$^2$α = $\frac{1}{{1 + {{\cot }^2}\alpha }}$⇒ sinα = $\frac{{15}}{{274}}$.
d. Vì $\frac{{3\pi }}{2}$ < α < 2π nên sinα < 0, cosα > 0, tanα < 0
Ta có: sinα = $\frac{{ - 1}}{{\sqrt {10} }}$ , cosα = $\frac{3}{{\sqrt {10} }}$, tanα = $ - \frac{1}{3}$
Thí dụ 4. Tính:
a. cos$\left( {\alpha + \frac{\pi }{3}} \right)$, biết sinα = $\frac{1}{{\sqrt 3 }}$ và 0 < α < $\frac{\pi }{2}$.
b. cos(a + b), sin(a - b) biết sina = $\frac{4}{5}$, 0$^0$ < a < 90$^0$ và sinb = $\frac{2}{3}$, 90$^0$ < a < 180$^0$.
Mà 0 < α < $\frac{\pi }{2}$ nên cosα > 0, Suy ra
cos$^2$α = 1 - sin$^2$α = 1 - $\frac{1}{3}$ = $\frac{2}{3}$ ⇒ cosα = $\frac{{\sqrt 6 }}{3}$. (2)
Thay (2) vào (1), ta được cos$\left( {\alpha + \frac{\pi }{3}} \right)$ = $\frac{{\sqrt 6 - 3}}{3}$.
b. Vì 0$^0$ < a < 90$^0$ và 90$^0$ < b < 180$^0$ suy ra cosa > 0 và cosb < 0.
Ta có:
sina = $\frac{4}{5}$ ⇒ cosa = ±$\frac{3}{5}$ ⇒ cosa = $\frac{3}{5}$.
sinb = $\frac{2}{3}$ ⇒ cosb = ±$\frac{{\sqrt 5 }}{3}$ ⇒ cosb = - $\frac{{\sqrt 5 }}{3}$.
Ta có:
cos(a + b) = cosa.cosb - sina.sinb = $\frac{{ - \left( {3\sqrt 5 + 8} \right)}}{{15}}$.
sin(a - b) = sina.cosb - cosa.sinb = $\frac{{ - \left( {4\sqrt 5 + 6} \right)}}{{15}}$.
Thí dụ 5. Tính sin2a, cos2a, tan2a, biết:
a. sina = -0,6 và π < a < $\frac{{3\pi }}{2}$.
b. cosa = -$\frac{5}{{13}}$ và $\frac{\pi }{2}$ < a < π.
c. sina + cosa = $\frac{1}{2}$ và $\frac{{3\pi }}{4}$ < a < π
Vậy, ta được: sin2a = 2sina.cosa = 2.(-0,6). $\left( { - \frac{4}{5}} \right)$ = $\frac{{24}}{{25}}$
cos2a = 1 - 2sin$^2$a = $\frac{7}{{25}}$ và tan2a = $\frac{{\sin 2a}}{{\cos 2a}} = \frac{{24}}{7}$
b. Ta có cosa = - $\frac{5}{{13}}$ nên sina = $\frac{{12}}{{13}}$. Vì $\frac{\pi }{2}$ < a < π nên sina > 0 và tana < 0. Do đó:
sin2a = 2sina.cosa = $ - \frac{{120}}{{169}}$ và cos2a = 1 - 2sin2a = $ - \frac{{119}}{{169}}$
tan2a = $\frac{{\sin 2a}}{{\cos 2a}} = \frac{{120}}{{119}}$.
c. Ta có: sina + cosa = $\frac{1}{2}$ ⇒ $\sin a = \frac{{1 + \sqrt 7 }}{2}\,\,v\mu \,\,\cos a = \frac{{1 - \sqrt 7 }}{2}$.
Vì $\frac{{3\pi }}{4}$ < a < π nên sina > 0, cosa < 0. Do đó:
sin2a = 2sina.cosa = - $\frac{3}{4}$ và cos2a = 1 - 2sin2a = $ - \frac{{\sqrt 7 }}{4}$
tan2a = $\frac{{\sin 2a}}{{\cos 2a}} = - \frac{{3\sqrt 7 }}{7}$.
Thí dụ 6. Tính giá trị của biểu thức: A = tan110$^0$.tan340$^0$ + sin160$^0$.cos110$^0$ + sin250$^0$.cos340$^0$.
Nhận xét: Như vậy, trong ví dụ trên để tính giá trị của biểu thức trước hết chúng ta đã sử dụng các công thức của các cung liên kết để chuyển biểu thức A về dạng:
A = cot20$^0$.tan20$^0$ + sin20$^0$.cos110$^0$ - sin110$^0$.cos20$^0$
Bước tiếp theo chúng ta sử dụng tính chất tanx.cotx = 1 và công thức cộng, để nhận được: A = 1 - sin90$^0$ = 0.
Loại ví dụ kiểu này chúng ta đã được làm quen trong chủ đề công thức cộng, ở đây nó được minh hoạ trước hết để các em học sinh nhớ lại.
Thí dụ tiếp theo sẽ nhắc lại cho các em về việc sử dụng phép hạ bậc và công thức nhân để tính giá trị của biểu thức lượng giác.
Thí dụ 7. Tính giá trị của biểu thức A = sin$^6$α + cos$^6$α biết:
a. α = $\frac{\pi }{{24}}$.
b. α = $\frac{{5\pi }}{{12}}$.
A = (sin$^2$α + cos$^2$α) - 3(sin$^2$α + cos$^2$α)sin$^2$α.cos$^2$α
= 1 - $\frac{3}{4}$sin22α = 1 - $\frac{3}{8}$(1 - cos4α) = $\frac{5}{8}$ + $\frac{3}{8}$cos4α.
a. Với α = $\frac{\pi }{{24}}$ ta được: A = $\frac{5}{8}$ + $\frac{3}{8}$cos$\frac{\pi }{6}$ = $\frac{5}{8}$ + $\frac{{3\sqrt 3 }}{{16}}$ = $\frac{{10 + 3\sqrt 3 }}{{16}}$.
b. Với α = $\frac{{5\pi }}{{12}}$ ta được:
A = $\frac{5}{8}$ + $\frac{3}{8}$cos$\frac{{5\pi }}{3}$ = $\frac{5}{8}$ + $\frac{3}{{16}}$ = $\frac{{13}}{{16}}$.
Thí dụ 8. Tính giá trị của biểu thức: A = cos$\frac{\pi }{{19}}$ + cos$\frac{{3\pi }}{{19}}$ + cos$\frac{{5\pi }}{{19}}$ + ... + cos$\frac{{17\pi }}{{19}}$.
2Asin$\frac{\pi }{{19}}$ = 2sin$\frac{\pi }{{19}}$.cos$\frac{\pi }{{19}}$ + 2sin$\frac{\pi }{{19}}$.cos$\frac{{3\pi }}{{19}}$ +
+ 2sin$\frac{\pi }{{19}}$.cos$\frac{{5\pi }}{{19}}$ + ... + 2sin$\frac{\pi }{{19}}$.cos$\frac{{17\pi }}{{19}}$
= sin$\frac{{2\pi }}{{19}}$ + sin$\frac{{4\pi }}{{19}}$ - sin$\frac{{2\pi }}{{19}}$ +
+ sin$\frac{{6\pi }}{{19}}$ - sin$\frac{{4\pi }}{{19}}$ + ... + sin$\frac{{18\pi }}{{19}}$ - sin$\frac{{16\pi }}{{19}}$
= sin$\frac{{18\pi }}{{19}}$ = sin(π - $\frac{\pi }{{19}}$) = sin$\frac{\pi }{{19}}$
⇔ A = $\frac{1}{2}$.
Nhận xét: Như vậy, để tính giá trị của biểu thức chúng ta đã sử dụng nhân tử phụ sin$\frac{\pi }{{19}}$ để tạo ra các tích: cosa.sinb = $\frac{1}{2}$[sin(a + b) - sin(a - b)]
tạo thuận lợi cho việc rút gọn VP.
Từ đó, các em học sinh dễ nhận thấy rằng ý tưởng này cũng sẽ được áp dụng cho biểu thức bao gồm tổng các sin, bởi: sina.sinb = $\frac{1}{2}$[cos(a - b) - cos(a + b)].
Thí dụ 9. Biết:$\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}$ + $\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}$ + $\frac{1}{{t{g^2}x}}$ + $\frac{1}{{\cot {g^2}x}}$ = 6. (1)
Tính giá trị của cos2x.
= $\frac{{1 + {{({{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x)}^2} - 2{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x}}{{\frac{1}{4}{{\sin }^2}2x}}$ = $\frac{{8 - 2{{\sin }^2}2x}}{{{{\sin }^2}2x}}$
⇔ 6sin$^2$2x = 8 - 2sin$^2$2x ⇔ 1 - sin$^2$2x = 0 ⇔ cos$^2$2x = 0 ⇔ cos2x = 0.
Nhận xét: Chúng ta đã từng biết tới việc tính giá trị của biểu thức lượng giác bằng việc giải phương trình, ví dụ tiếp theo sẽ minh hoạ thêm ý tưởng này, chỉ có điều ở đây chúng ta sẽ sử dụng tính chất nghiệm của các phương trình đại số (định lý Viét cho các nghiệm của phương trình bậc 2, 3, 4 ...) để xác định giá trị, trong những trường hợp như vậy chúng ta thường thực hiện theo các bước:
Nhận xét rằng $\frac{\pi }{5}$, $\frac{{3\pi }}{5}$, π là nghiệm của phương trình 5x = π + 2kπ, k ∈ $\mathbb{Z}$. (1)
Ta sẽ đi xây dựng phương trình đại số nhận cos$\frac{\pi }{5}$, cos$\frac{{3\pi }}{5}$, cosπ làm nghiệm bằng cách:
(1) ⇔ 3x = π - 2x + 2kπ ⇔ cos3x = cos(π - 2x + 2kπ)
⇔ 4cos$^3$x - 3cosx = - cos2x ⇔ 4cos$^3$x - 3cosx = - (2cos$^2$x - 1)
⇔ 4cos$^3$x + 2cos$^2$x - 3cosx - 1 = 0
Từ đó ta được: $\left\{ \begin{array}{l}\cos \frac{\pi }{5} + \cos \frac{{3\pi }}{5} + \cos \pi = - \frac{1}{2}\\\cos \frac{\pi }{5}.\cos \frac{{3\pi }}{5} + \cos \frac{{3\pi }}{5}.\cos \pi + \cos \pi .\cos \frac{\pi }{5} = - \frac{3}{4}\\\cos \frac{\pi }{5}.\cos \frac{{3\pi }}{5}.\cos \pi = \frac{1}{4}\end{array} \right.$.
Vậy, ta được:
A = $\frac{{\cos \frac{\pi }{5}.\cos \frac{{3\pi }}{5} + \cos \frac{{3\pi }}{5}.\cos \pi + \cos \pi .\cos \frac{\pi }{5}}}{{\cos \frac{\pi }{5}.\cos \frac{{3\pi }}{5}.\cos \pi }}$ = - 3.
Thí dụ 11. Tính giá trị của biểu thức: A = $\sqrt[3]{{\cos \frac{{2\pi }}{7}}}$ + $\sqrt[3]{{\cos \frac{{4\pi }}{7}}}$ + $\sqrt[3]{{\cos \frac{{4\pi }}{7}}}$.
7x = 2kπ, k ∈ $\mathbb{Z}$. (1)
Ta sẽ đi xây dựng phương trình đại số nhận a = cos$\frac{{2\pi }}{7}$, b = cos$\frac{{4\pi }}{7}$, c = cos$\frac{{8\pi }}{7}$ làm nghiệm bằng cách:
(1) ⇔ 4x = -3x + 2kπ ⇔ cos4x = cos(-3x + 2kπ)
⇔ 2cos$^2$2x - 1 = cos3x ⇔ 2(2cos$^2$x - 1)$^2$ - 1 = 4cos$^3$x - 3cosx
⇔ 8cos$^4$x - 4cos$^3$x - 8cos$^2$x + 3cosx + 1 = 0
⇔ (cosx - 1)(8cos$^3$x + 4cos$^2$x - 4cosx - 1) = 0 ⇒ 8cos$^3$x + 4cos$^2$x - 4cosx - 1 = 0.
Từ đó, theo định lí Viét ta được: $\left\{ \begin{array}{l}a + b + c = \cos \frac{{2\pi }}{7} + \cos \frac{{4\pi }}{7} + \cos \frac{{8\pi }}{7} = - \frac{1}{2}\\ab + bc + ca = \cos \frac{{2\pi }}{7}.\cos \frac{{4\pi }}{7} + \cos \frac{{4\pi }}{7}.\cos \frac{{8\pi }}{7} + \cos \frac{{8\pi }}{7}.\cos \frac{{2\pi }}{7} = - \frac{1}{2}\\abc = \cos \frac{{2\pi }}{7}.\cos \frac{{4\pi }}{7}.\cos \frac{{8\pi }}{7} = \frac{1}{8}\end{array} \right.$.
Ta suy ra:
A = $\sqrt[3]{{\cos \frac{{2\pi }}{7}}}$ + $\sqrt[3]{{\cos \frac{{4\pi }}{7}}}$ + $\sqrt[3]{{\cos \frac{{4\pi }}{7}}}$ = $\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{c}$ = $\sqrt[3]{{\frac{{5 - 3\sqrt[3]{7}}}{2}}}$.
Chú ý: Để tính được giá trị của A bạn đọc hãy sử dụng hệ ẩn phụ: $\left\{ \begin{array}{l}A = \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{c}\\B = \sqrt[3]{{ab}} + \sqrt[3]{{bc}} + \sqrt[3]{{ca}}\end{array} \right.$ và hằng đẳng thức:
a$^3$ + b$^3$ + c$^3$ = (a + b + c)(a$^2$ + b$^2$ + c$^2$ - ab - bc - ca) + 3abc.
a$^3$ + b$^3$ + c$^3$ = (a + b + c)$^3$ - 3(a + b)(b + c)(c + a).
Xem thêm: Các công thức lượng giác
I. PHƯƠNG PHÁP
Ta sử dụng hệ thức cơ bản và các hệ quả:Dạng 1: Ta sử dụng các hệ quả trong bảng giá trị lượng giác của các cung đặc biệt hoặc bằng việc biểu diễn góc trên đường tròn đơn vị.
Dạng 2: Nếu biết giá trị của một trong bốn hàm số lượng giác để tính giá trị của các hàm số còn lại chúng ta cần thực hiện theo các bước:
Bước 1: Xác định dấu của chúng.
Bước 2: Sử dụng các công thức: sin$^2$α + cos$^2$α = 1
tanα = $\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}$, cotα = $\frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}$ hoặc cotα = $\frac{1}{{\tan \alpha }}$.
$\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}$ = 1 + cot$^2$α, $\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}$ = 1 + tan$^2$α
Dạng 3: Giả sử biết giá trị của một biểu thức lượng giác, cần tính giá trị của các hàm số lượng giác của một góc α, ta lựa chọn một trong các hướng sau:- Hướng 1: Biếu đổi biểu thức lượng giác về dạng chỉ chứa một hàm lượng giác rồi thực hiện phép đặt ẩn phụ (nếu cần) để giải một phương trình đại số.
- Hướng 2: Biếu đổi biểu thức lượng giác về dạng tích A.B = 0.
- Hướng 3: Sử dụng bất đẳng thức để phép đánh giá.
- Hướng 1: Biếu đổi (1) rồi thay vào (2).
- Hướng 2: Biếu đổi (2) rồi sử dụng (1).
- Hướng 3: Biếu đổi đồng thời (1) và (2) dẫn tới biểu thức trung gian (3).
II. VÍ DỤ MINH HỌA
Thí dụ 1. Trên đường tròn lượng giác cho điểm M xác định bởi cung sđ(AM) = α (0 < α < $\frac{\pi }{2}$). Gọi M1, M2, M3 lần lượt là điểm đối xứng của M qua trục Ox, Oy và gốc toạ độ. Tìm số đo các cung AM$_1$, AM$_2$, AM$_3$.Giải
Theo đề bài, ta có cung có sđ(AM) = α (0 < α < $\frac{\pi }{2}$) ⇒ AM = α.Do đó, với l, k, m ∈ Z:
- sđ(AM$_1$) = -α + 2kπ (vì AM$_1$ = AM).
- sđ(AM$_2$) = (π - α) + 2lπ (vì AM$_2$2 = π - α).
- sđ(AM$_3$)= (π + α) + 2mπ (vì AM$_2$ = π + α).
a. Góc A bằng các hàm lượng giác của góc B và C.
b. Góc $\frac{A}{2}$ bằng các hàm lượng giác của góc $\frac{B}{2}$ và $\frac{C}{2}$.
Giải
Ta luôn có A + B + C = π. (1)a. Từ (1) ta được A = π - (B + C), suy ra:
sinA = sin[π - (B + C)] = sin(B + C), cosA = cos[π - (B + C)] = - cos(B + C),
tanA = tan[π - (B + C)] = - tan(B + C), cotA = cot[π - (B + C)] = - cot(B + C).
b. Từ (1) ta được $\frac{A}{2}$ = $\frac{\pi }{2}$ - $\frac{{B + C}}{2}$ suy ra:
sin$\frac{A}{2}$ = sin[$\frac{\pi }{2}$ - $\frac{{B + C}}{2}$] = cos$\frac{{B + C}}{2}$, cos$\frac{A}{2}$ = cos[$\frac{\pi }{2}$ - $\frac{{B + C}}{2}$] = sin$\frac{{B + C}}{2}$,
tan$\frac{A}{2}$ = tan[$\frac{\pi }{2}$ - $\frac{{B + C}}{2}$] = cot$\frac{{B + C}}{2}$, cot$\frac{A}{2}$ = cot[$\frac{\pi }{2}$ - $\frac{{B + C}}{2}$] = tan$\frac{{B + C}}{2}$.
Thí dụ 3. Tính các giá trị lượng giác của góc α nếu:
a. cosα = $\frac{4}{{13}}$ và 0 < α < $\frac{\pi }{2}$.
b. sinα = - 0,7 và 0 < α < $\frac{{3\pi }}{2}$.
c. tanα = $ - \frac{{15}}{7}$ và $\frac{\pi }{2}$ < α < π.
d. cotα = -3 và $\frac{{3\pi }}{2}$ < α < 2π.
Giải
a. Vì 0 < α < $\frac{\pi }{2}$ nên sinα > 0, tanα > 0, cotα > 0.Từ sin$^2$α + cos$^2$α = 1, ta có:
${\left( {\frac{4}{{13}}} \right)^2}$ + sin$^2$α = 1 ⇔ sin$^2$α = 1 - $\frac{{16}}{{169}}$ ⇔ sinα = $\frac{{3\sqrt {17} }}{{13}}$
tanα = $\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}$ = $\frac{{3\sqrt {17} }}{4}$ và cotα = $\frac{1}{{\tan \alpha }}$ = $\frac{4}{{3\sqrt {17} }}$.
b. Vì 0 < α < $\frac{{3\pi }}{2}$ nên cosα < 0, tanα > 0, cotα > 0
Ta có: cos$^2$α = 1 - (0,7)$^2$ = 0,51 ⇒ cosα = - $\frac{{\sqrt {51} }}{{10}}$
tanα = $\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}$ = $\frac{{ - 0,7 \times 10}}{{ - \sqrt {51} }} = \frac{{7\sqrt {51} }}{{51}}$ và cotα = $\frac{1}{{\tan \alpha }}$ =$\frac{{\sqrt {51} }}{7}$
c. Vì $\frac{\pi }{2}$ < α < π nên cosα < 0, sinα > 0, cotα < 0. Ta có:
cotα.tanα = 1 ⇒ cotα = $ - \frac{7}{5}$
cos$^2$α = $\frac{1}{{1 + {{\tan }^2}\alpha }} = \frac{1}{{1 + {{\left( { - 15/7} \right)}^2}}} = \frac{{49}}{{49 + {{15}^2}}}$ ⇒ cosα = $\frac{{ - 7}}{{274}}$
sin$^2$α = $\frac{1}{{1 + {{\cot }^2}\alpha }}$⇒ sinα = $\frac{{15}}{{274}}$.
d. Vì $\frac{{3\pi }}{2}$ < α < 2π nên sinα < 0, cosα > 0, tanα < 0
Ta có: sinα = $\frac{{ - 1}}{{\sqrt {10} }}$ , cosα = $\frac{3}{{\sqrt {10} }}$, tanα = $ - \frac{1}{3}$
Thí dụ 4. Tính:
a. cos$\left( {\alpha + \frac{\pi }{3}} \right)$, biết sinα = $\frac{1}{{\sqrt 3 }}$ và 0 < α < $\frac{\pi }{2}$.
b. cos(a + b), sin(a - b) biết sina = $\frac{4}{5}$, 0$^0$ < a < 90$^0$ và sinb = $\frac{2}{3}$, 90$^0$ < a < 180$^0$.
Giải
a. Ta có: cos$\left( {\alpha + \frac{\pi }{3}} \right)$ = cosα.cos$\frac{\pi }{3}$ - sinα.sin$\frac{\pi }{3}$ = $\frac{1}{2}$cosα - $\frac{1}{2}$. (1)Mà 0 < α < $\frac{\pi }{2}$ nên cosα > 0, Suy ra
cos$^2$α = 1 - sin$^2$α = 1 - $\frac{1}{3}$ = $\frac{2}{3}$ ⇒ cosα = $\frac{{\sqrt 6 }}{3}$. (2)
Thay (2) vào (1), ta được cos$\left( {\alpha + \frac{\pi }{3}} \right)$ = $\frac{{\sqrt 6 - 3}}{3}$.
b. Vì 0$^0$ < a < 90$^0$ và 90$^0$ < b < 180$^0$ suy ra cosa > 0 và cosb < 0.
Ta có:
sina = $\frac{4}{5}$ ⇒ cosa = ±$\frac{3}{5}$ ⇒ cosa = $\frac{3}{5}$.
sinb = $\frac{2}{3}$ ⇒ cosb = ±$\frac{{\sqrt 5 }}{3}$ ⇒ cosb = - $\frac{{\sqrt 5 }}{3}$.
Ta có:
cos(a + b) = cosa.cosb - sina.sinb = $\frac{{ - \left( {3\sqrt 5 + 8} \right)}}{{15}}$.
sin(a - b) = sina.cosb - cosa.sinb = $\frac{{ - \left( {4\sqrt 5 + 6} \right)}}{{15}}$.
Thí dụ 5. Tính sin2a, cos2a, tan2a, biết:
a. sina = -0,6 và π < a < $\frac{{3\pi }}{2}$.
b. cosa = -$\frac{5}{{13}}$ và $\frac{\pi }{2}$ < a < π.
c. sina + cosa = $\frac{1}{2}$ và $\frac{{3\pi }}{4}$ < a < π
Giải
a. Ta có sina = -0,6 nên cosa = $ - \frac{4}{5}$.Vậy, ta được: sin2a = 2sina.cosa = 2.(-0,6). $\left( { - \frac{4}{5}} \right)$ = $\frac{{24}}{{25}}$
cos2a = 1 - 2sin$^2$a = $\frac{7}{{25}}$ và tan2a = $\frac{{\sin 2a}}{{\cos 2a}} = \frac{{24}}{7}$
b. Ta có cosa = - $\frac{5}{{13}}$ nên sina = $\frac{{12}}{{13}}$. Vì $\frac{\pi }{2}$ < a < π nên sina > 0 và tana < 0. Do đó:
sin2a = 2sina.cosa = $ - \frac{{120}}{{169}}$ và cos2a = 1 - 2sin2a = $ - \frac{{119}}{{169}}$
tan2a = $\frac{{\sin 2a}}{{\cos 2a}} = \frac{{120}}{{119}}$.
c. Ta có: sina + cosa = $\frac{1}{2}$ ⇒ $\sin a = \frac{{1 + \sqrt 7 }}{2}\,\,v\mu \,\,\cos a = \frac{{1 - \sqrt 7 }}{2}$.
Vì $\frac{{3\pi }}{4}$ < a < π nên sina > 0, cosa < 0. Do đó:
sin2a = 2sina.cosa = - $\frac{3}{4}$ và cos2a = 1 - 2sin2a = $ - \frac{{\sqrt 7 }}{4}$
tan2a = $\frac{{\sin 2a}}{{\cos 2a}} = - \frac{{3\sqrt 7 }}{7}$.
Thí dụ 6. Tính giá trị của biểu thức: A = tan110$^0$.tan340$^0$ + sin160$^0$.cos110$^0$ + sin250$^0$.cos340$^0$.
Giải
Ta có: A = - cot20$^0$.tan( - 20$^0$) + sin20$^0$.cos110$^0$ - sin110$^0$.cos20$^0$ = 1 - sin90$^0$ = 0.Nhận xét: Như vậy, trong ví dụ trên để tính giá trị của biểu thức trước hết chúng ta đã sử dụng các công thức của các cung liên kết để chuyển biểu thức A về dạng:
A = cot20$^0$.tan20$^0$ + sin20$^0$.cos110$^0$ - sin110$^0$.cos20$^0$
Bước tiếp theo chúng ta sử dụng tính chất tanx.cotx = 1 và công thức cộng, để nhận được: A = 1 - sin90$^0$ = 0.
Loại ví dụ kiểu này chúng ta đã được làm quen trong chủ đề công thức cộng, ở đây nó được minh hoạ trước hết để các em học sinh nhớ lại.
Thí dụ tiếp theo sẽ nhắc lại cho các em về việc sử dụng phép hạ bậc và công thức nhân để tính giá trị của biểu thức lượng giác.
Thí dụ 7. Tính giá trị của biểu thức A = sin$^6$α + cos$^6$α biết:
a. α = $\frac{\pi }{{24}}$.
b. α = $\frac{{5\pi }}{{12}}$.
Giải
Ta biến đổi:A = (sin$^2$α + cos$^2$α) - 3(sin$^2$α + cos$^2$α)sin$^2$α.cos$^2$α
= 1 - $\frac{3}{4}$sin22α = 1 - $\frac{3}{8}$(1 - cos4α) = $\frac{5}{8}$ + $\frac{3}{8}$cos4α.
a. Với α = $\frac{\pi }{{24}}$ ta được: A = $\frac{5}{8}$ + $\frac{3}{8}$cos$\frac{\pi }{6}$ = $\frac{5}{8}$ + $\frac{{3\sqrt 3 }}{{16}}$ = $\frac{{10 + 3\sqrt 3 }}{{16}}$.
b. Với α = $\frac{{5\pi }}{{12}}$ ta được:
A = $\frac{5}{8}$ + $\frac{3}{8}$cos$\frac{{5\pi }}{3}$ = $\frac{5}{8}$ + $\frac{3}{{16}}$ = $\frac{{13}}{{16}}$.
Thí dụ 8. Tính giá trị của biểu thức: A = cos$\frac{\pi }{{19}}$ + cos$\frac{{3\pi }}{{19}}$ + cos$\frac{{5\pi }}{{19}}$ + ... + cos$\frac{{17\pi }}{{19}}$.
Giải
Nhân hai vế với 2sin$\frac{\pi }{{19}}$, ta được:2Asin$\frac{\pi }{{19}}$ = 2sin$\frac{\pi }{{19}}$.cos$\frac{\pi }{{19}}$ + 2sin$\frac{\pi }{{19}}$.cos$\frac{{3\pi }}{{19}}$ +
+ 2sin$\frac{\pi }{{19}}$.cos$\frac{{5\pi }}{{19}}$ + ... + 2sin$\frac{\pi }{{19}}$.cos$\frac{{17\pi }}{{19}}$
= sin$\frac{{2\pi }}{{19}}$ + sin$\frac{{4\pi }}{{19}}$ - sin$\frac{{2\pi }}{{19}}$ +
+ sin$\frac{{6\pi }}{{19}}$ - sin$\frac{{4\pi }}{{19}}$ + ... + sin$\frac{{18\pi }}{{19}}$ - sin$\frac{{16\pi }}{{19}}$
= sin$\frac{{18\pi }}{{19}}$ = sin(π - $\frac{\pi }{{19}}$) = sin$\frac{\pi }{{19}}$
⇔ A = $\frac{1}{2}$.
Nhận xét: Như vậy, để tính giá trị của biểu thức chúng ta đã sử dụng nhân tử phụ sin$\frac{\pi }{{19}}$ để tạo ra các tích: cosa.sinb = $\frac{1}{2}$[sin(a + b) - sin(a - b)]
tạo thuận lợi cho việc rút gọn VP.
Từ đó, các em học sinh dễ nhận thấy rằng ý tưởng này cũng sẽ được áp dụng cho biểu thức bao gồm tổng các sin, bởi: sina.sinb = $\frac{1}{2}$[cos(a - b) - cos(a + b)].
Thí dụ 9. Biết:$\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}$ + $\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}$ + $\frac{1}{{t{g^2}x}}$ + $\frac{1}{{\cot {g^2}x}}$ = 6. (1)
Tính giá trị của cos2x.
Giải
Từ (1) suy ra: 6 = $\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}$ + $\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}$ + $\frac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}}$ + $\frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}$ = $\frac{{{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x + {{\cos }^4}x + {{\sin }^4}x}}{{{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x}}$= $\frac{{1 + {{({{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x)}^2} - 2{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x}}{{\frac{1}{4}{{\sin }^2}2x}}$ = $\frac{{8 - 2{{\sin }^2}2x}}{{{{\sin }^2}2x}}$
⇔ 6sin$^2$2x = 8 - 2sin$^2$2x ⇔ 1 - sin$^2$2x = 0 ⇔ cos$^2$2x = 0 ⇔ cos2x = 0.
Nhận xét: Chúng ta đã từng biết tới việc tính giá trị của biểu thức lượng giác bằng việc giải phương trình, ví dụ tiếp theo sẽ minh hoạ thêm ý tưởng này, chỉ có điều ở đây chúng ta sẽ sử dụng tính chất nghiệm của các phương trình đại số (định lý Viét cho các nghiệm của phương trình bậc 2, 3, 4 ...) để xác định giá trị, trong những trường hợp như vậy chúng ta thường thực hiện theo các bước:
- Bước 1: Chọn một phương trình nhận các giá trị trong biểu thức làm nghiệm.
- Bước 2: Xây dựng phương trình đại số nhận các hàm số lượng giác chứa các cung làm nghiệm, từ đó thiết lập hệ thức Viét cho chúng.
- Bước 3: Tính giá trị của biểu thức.
Giải
Viết lại A dưới dạng: A = $\frac{1}{{\cos \frac{\pi }{5}}}$ + $\frac{1}{{\cos \frac{{3\pi }}{5}}}$ + $\frac{1}{{\cos \pi }}$.Nhận xét rằng $\frac{\pi }{5}$, $\frac{{3\pi }}{5}$, π là nghiệm của phương trình 5x = π + 2kπ, k ∈ $\mathbb{Z}$. (1)
Ta sẽ đi xây dựng phương trình đại số nhận cos$\frac{\pi }{5}$, cos$\frac{{3\pi }}{5}$, cosπ làm nghiệm bằng cách:
(1) ⇔ 3x = π - 2x + 2kπ ⇔ cos3x = cos(π - 2x + 2kπ)
⇔ 4cos$^3$x - 3cosx = - cos2x ⇔ 4cos$^3$x - 3cosx = - (2cos$^2$x - 1)
⇔ 4cos$^3$x + 2cos$^2$x - 3cosx - 1 = 0
Từ đó ta được: $\left\{ \begin{array}{l}\cos \frac{\pi }{5} + \cos \frac{{3\pi }}{5} + \cos \pi = - \frac{1}{2}\\\cos \frac{\pi }{5}.\cos \frac{{3\pi }}{5} + \cos \frac{{3\pi }}{5}.\cos \pi + \cos \pi .\cos \frac{\pi }{5} = - \frac{3}{4}\\\cos \frac{\pi }{5}.\cos \frac{{3\pi }}{5}.\cos \pi = \frac{1}{4}\end{array} \right.$.
Vậy, ta được:
A = $\frac{{\cos \frac{\pi }{5}.\cos \frac{{3\pi }}{5} + \cos \frac{{3\pi }}{5}.\cos \pi + \cos \pi .\cos \frac{\pi }{5}}}{{\cos \frac{\pi }{5}.\cos \frac{{3\pi }}{5}.\cos \pi }}$ = - 3.
Thí dụ 11. Tính giá trị của biểu thức: A = $\sqrt[3]{{\cos \frac{{2\pi }}{7}}}$ + $\sqrt[3]{{\cos \frac{{4\pi }}{7}}}$ + $\sqrt[3]{{\cos \frac{{4\pi }}{7}}}$.
Giải
Nhận xét rằng $\frac{{2\pi }}{7}$, $\frac{{4\pi }}{7}$, $\frac{{8\pi }}{7}$ là nghiệm của phương trình:7x = 2kπ, k ∈ $\mathbb{Z}$. (1)
Ta sẽ đi xây dựng phương trình đại số nhận a = cos$\frac{{2\pi }}{7}$, b = cos$\frac{{4\pi }}{7}$, c = cos$\frac{{8\pi }}{7}$ làm nghiệm bằng cách:
(1) ⇔ 4x = -3x + 2kπ ⇔ cos4x = cos(-3x + 2kπ)
⇔ 2cos$^2$2x - 1 = cos3x ⇔ 2(2cos$^2$x - 1)$^2$ - 1 = 4cos$^3$x - 3cosx
⇔ 8cos$^4$x - 4cos$^3$x - 8cos$^2$x + 3cosx + 1 = 0
⇔ (cosx - 1)(8cos$^3$x + 4cos$^2$x - 4cosx - 1) = 0 ⇒ 8cos$^3$x + 4cos$^2$x - 4cosx - 1 = 0.
Từ đó, theo định lí Viét ta được: $\left\{ \begin{array}{l}a + b + c = \cos \frac{{2\pi }}{7} + \cos \frac{{4\pi }}{7} + \cos \frac{{8\pi }}{7} = - \frac{1}{2}\\ab + bc + ca = \cos \frac{{2\pi }}{7}.\cos \frac{{4\pi }}{7} + \cos \frac{{4\pi }}{7}.\cos \frac{{8\pi }}{7} + \cos \frac{{8\pi }}{7}.\cos \frac{{2\pi }}{7} = - \frac{1}{2}\\abc = \cos \frac{{2\pi }}{7}.\cos \frac{{4\pi }}{7}.\cos \frac{{8\pi }}{7} = \frac{1}{8}\end{array} \right.$.
Ta suy ra:
A = $\sqrt[3]{{\cos \frac{{2\pi }}{7}}}$ + $\sqrt[3]{{\cos \frac{{4\pi }}{7}}}$ + $\sqrt[3]{{\cos \frac{{4\pi }}{7}}}$ = $\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{c}$ = $\sqrt[3]{{\frac{{5 - 3\sqrt[3]{7}}}{2}}}$.
Chú ý: Để tính được giá trị của A bạn đọc hãy sử dụng hệ ẩn phụ: $\left\{ \begin{array}{l}A = \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{c}\\B = \sqrt[3]{{ab}} + \sqrt[3]{{bc}} + \sqrt[3]{{ca}}\end{array} \right.$ và hằng đẳng thức:
a$^3$ + b$^3$ + c$^3$ = (a + b + c)(a$^2$ + b$^2$ + c$^2$ - ab - bc - ca) + 3abc.
a$^3$ + b$^3$ + c$^3$ = (a + b + c)$^3$ - 3(a + b)(b + c)(c + a).
Xem thêm: Các công thức lượng giác
Sửa lần cuối: