Dạng 5: Tìm ảnh của một điểm và một đường thẳng qua phép vị tự

Ví dụ 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn (O) : \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 4\). Tìm phương trình đường tròn (O’) là ảnh của (O) qua phép vị tự tâm O tỉ số k=2 .
Tâm I của (O) có tọa độ I(1;1) bán kính R=2 . Nếu (O’) có tâm là J và bán kính R’ là ảnh của (O) qua phép vị tự tâm O ta có đẳng thức véc tơ :
\(\overrightarrow {{\rm{OJ}}} = 2\overrightarrow {OI} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' - 0 = 2.1\\y' - 0 = 2.1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = 2\\y' = 2\end{array} \right. \leftrightarrow J\left( {2;2} \right)\). R’=2R=2.2=4.
Vậy (O’) : \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 16\)

Ví dụ 2. ( Bài 1.23-BTHH11-CB-tr33)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : 2x+y-4=0.
a/ Viết phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép vị tự tâm O tỉ số k=3.
b/ Viết phương trình đường thẳng d’’ là ảnh của d qua phép vị tự tâm I(-1;2) tỉ số k=-2
a/Gọi M(x;y) là một điểm bất kỳ thuộc d và M’(x’;y’) là ảnh của M qua phép vị tự tâm O tỉ số k=3 . Nếu M chạy trên d thì M’ chạy trên đường thảng d’ .
Theo tính chất của phép vị tự : \(\overrightarrow {OM'} = 3\overrightarrow {OM} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = 3{\rm{x}}\\y' = 3y\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{x'}}{3}\\y = \frac{{y'}}{3}\end{array} \right.\).
Thay (x;y) vào d: \(2\left( {\frac{{x'}}{3}} \right) + \left( {\frac{{y'}}{3}} \right) - 4 = 0 \Leftrightarrow 2{\rm{x}}' + y' - 12 = 0\). Vậy d’: 2x+y-12=0 .
b/ Tương tự như trên ta có : \(\overrightarrow {IM'} = - 2\overrightarrow {IM} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' + 1 = - 2\left( {x + 1} \right)\\y' - 2 = - 2\left( {y - 2} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \left( {\frac{{x' + 1}}{{ - 2}}} \right) - 1 = \frac{{x' + 3}}{{ - 2}}\\y = \left( {\frac{{y' - 2}}{{ - 2}}} \right) + 2 = \frac{{y' - 6}}{{ - 2}}\end{array} \right.\).
Thay vào d : \(2\left( {\frac{{x' + 3}}{{ - 2}}} \right) + \left( {\frac{{y' - 6}}{{ - 2}}} \right) - 4 = 0 \Leftrightarrow 2{\rm{x}}' + y' + 2 = 0\). Do đó d’’: 2x+y+2=0 .

Ví dụ 3. ( Bài 1.24-tr33-BTHH11).
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C ): \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 9\). Hãy viết phương trình đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C ) qua phép vị tự tâm I(1;2) tỉ số k=-2.
Gọi O(3;-1) là tâm của (C ) có bán kính R=3. Đường tròn (C’) có tâm J(x;y) bán kính R’ là ảnh của (C ) qua phép vị tự tâm I tỉ số k=-2 . Theo tính chất của phép vị tự ta có :
\(\overrightarrow {{\rm{IJ}}} = - 2\overrightarrow {I{\rm{O}}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 = - 2\left( {3 - 1} \right)\\y - 2 = - 2\left( { - 1 - 2} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 3\\y = 8\end{array} \right. \Rightarrow J = \left( { - 3;8} \right)\). R’=2R=2.3=6 .
Vậy (C’) : \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 8} \right)^2} = 36\).