Dạng 5: Hệ phương trình không mẫu mực

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Phương pháp áp dụng
Lược đồ để giải các hệ phương trình không mẫu mực có thể được minh hoạ sơ bộ theo các bước:
Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho hệ phương trình.
Bước 2: Lựa chọn phương pháp thực hiện:
  • Phương pháp 1: Biến đổi tương đương.
  • Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ.
  • Phương pháp 3: Đồ thị.
  • Phương pháp 4: Điều kiện cần và đủ.
  • Phương pháp 5: Đánh giá.
* Chú ý: Nếu lựa chọn phương pháp đặt ẩn phụ thì:
1. Với hệ phương trình không chứa tham số có thể chỉ cần thiết lập điều kiện hẹp cho ẩn phụ.
2. Với hệ phương trình chứa tham số phải đi tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ.

Thí dụ. Giải các hệ phương trình sau:
a. $\left\{ \begin{array}{l} (x - y)({x^2} - {y^2}) = 3\\ (x + y)({x^2} + {y^2}) = 15 \end{array} \right.$.
b. $\left\{ \begin{array}{l} 2y({x^2} - {y^2}) = 3x\\ x({x^2} + {y^2}) = 10y \end{array} \right.$.
a. Viết lại hệ phương trình dưới dạng: $\left\{ \begin{array}{l} {(x - y)^2}(x + y) = 3\\ (x + y)({x^2} + {y^2}) = 15 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} [{(x + y)^2} - 4xy](x + y) = 3\,\,\,\,\,(*)\\ (x + y)[{(x + y)^2} - 2xy] = 15 \end{array} \right.$
Trừ theo vế hai phương trình cho nhau ta được: 2xy(x + y) = 12 => x + y = $\frac{6}{{xy}}$.
Thay x + y vào (*) ta được: [($\frac{6}{{xy}}$)2-xy].$\frac{6}{{xy}}$ = 3 <=> xy = 2 => x + y = 3.
Khi đó hệ phương trình tương đương với: $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 3\\xy = 2\end{array} \right.$
suy ra x, y là nghiệm phương trình: t$^2$-3t + 2 = 0 <=> $\left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = 2\end{array} \right.$<=> $\left[ \begin{array}{l}{x_1} = 1,\,\,{y_1} = 2\\{x_2} = 2,\,\,{y_2} = 1\end{array} \right.$.
Vậy, hệ phương trình có hai cặp nghiệm (1; 2), (2; 1).

b. Nhận xét rằng hệ phương trình nhận x$_1$ = y$_1$ = 0 làm nghiệm.
Xét các nghiệm thoả mãn x$^2$ + y$^2$ > 0 và nhận thấy phải có x, y cùng dấu.
Chia theo vế hai phương trình của hệ, ta được:
$\frac{{2y({x^2} - {y^2})}}{{x({x^2} + {y^2})}}$ = $\frac{{3x}}{{10y}}$ <=> $\frac{{2{{\left( {\frac{y}{x}} \right)}^2}\left[ {1 - {{\left( {\frac{y}{x}} \right)}^2}} \right]}}{{1 + {{\left( {\frac{y}{x}} \right)}^2}}}$ = $\frac{3}{{10}}$.
Đặt t = (y/x)2, điều kiện t > 0, ta được: 20t$^2$-17t + 3 = 0 <=> $\left[ \begin{array}{l}t = \frac{1}{4}\\t = \frac{3}{5}\end{array} \right.$ <=> $\left[ \begin{array}{l}{\left( {\frac{y}{x}} \right)^2} = \frac{1}{4}\\{\left( {\frac{y}{x}} \right)^2} = \frac{3}{5}\end{array} \right.$<=> $\left[ \begin{array}{l}x = 2y\\x = y\sqrt {\frac{5}{3}} \end{array} \right.$.
Ta lần lượt: Với x = 2y thì: <=> $\left\{ \begin{array}{l}x = 2y\\{y^2} = 1\end{array} \right.$<=> $\left\{ \begin{array}{l}x = 2y\\y = \pm 1\end{array} \right.$<=> $\left[ \begin{array}{l}{x_2} = 2\,\,v\mu \,\,{y_2} = 1\\{x_3} = - 2\,\,v\mu \,\,{y_3} = - 1\end{array} \right.$.
Với $x = y\sqrt {\frac{5}{3}} $ thì:
<=> $\left\{ \begin{array}{l}x = y\sqrt {\frac{5}{3}} \\{y^2} = \frac{{15}}{4}\sqrt {\frac{3}{5}} \end{array} \right.$<=> $\left[ \begin{array}{l}{x_4} = \frac{5}{2}\sqrt[4]{{\frac{3}{5}}}\,\,v\mu \,\,{y_4} = \frac{5}{2}\sqrt[4]{{{{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^3}}}\\{x_5} = - \frac{5}{2}\sqrt[4]{{\frac{3}{5}}}\,\,v\mu \,\,{y_5} = - \frac{5}{2}\sqrt[4]{{{{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^3}}}\end{array} \right.$.
Vậy, hệ phương trình có năm cặp nghiệm: (0; 0), (x$_2$; y$_2$), (x$_3$; y$_3$), (x$_4$; y$_4$) và (x$_5$; y$_5$).
 
Sửa lần cuối:

Chương 3: Phương trình và hệ phương trình

Lý thuyết phương trình, hệ phương trình

Phương trình nâng cao

Phương trình và hệ phương trình

Hệ phương trình nâng cao