Dạng 5: Chứng minh hai điểm trùng nhau

Thí dụ 1: Chứng minh rằng $\overrightarrow {AB} $ = $\overrightarrow {CD} $ khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.
Ta có:

• Nếu $\overrightarrow {AB} $ = $\overrightarrow {CD} $ thì ABCD là hình bình hành. Do đó, AD và BC có trung điểm trùng nhau.
• Nếu AD và BC có trung điểm trùng nhau thì ABCD là hình bình hành. Do đó: $\overrightarrow {AB} $ = $\overrightarrow {CD} $

Thí dụ 2: Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.
Gọi G là trọng tâm của ΔMPR, ta có:
$\overrightarrow {GM} $ + $\overrightarrow {GP} $ + $\overrightarrow {GR} $ = $\overrightarrow 0 $ (1)

Lại có: 2$\overrightarrow {GM} $ = $\overrightarrow {GA} $ + $\overrightarrow {GB} $, 2$\overrightarrow {GP} $ = $\overrightarrow {GC} $ + $\overrightarrow {GD} $, 2$\overrightarrow {GR} $ = $\overrightarrow {GE} $ + $\overrightarrow {GF} $
⇒ 2($\overrightarrow {GM} $+ $\overrightarrow {GP} $ + $\overrightarrow {GR} $) = $\overrightarrow {GA} $ + $\overrightarrow {GB} $ + $\overrightarrow {GC} $ + $\overrightarrow {GD} $ + $\overrightarrow {GE} $ + $\overrightarrow {GF} $

Suy ra: $\overrightarrow {GA} $ + $\overrightarrow {GB} $ + $\overrightarrow {GC} $ + $\overrightarrow {GD} $ + $\overrightarrow {GE} $ + $\overrightarrow {GF} $ = $\overrightarrow 0 $ (do(1))

Do đó: ($\overrightarrow {GA} $ + $\overrightarrow {GF} $) + ($\overrightarrow {GB} $ + $\overrightarrow {GC} $) + ($\overrightarrow {GD} $ + $\overrightarrow {GE} $) = $\overrightarrow 0 $
⇔ 2$\overrightarrow {GS} $ + 2$\overrightarrow {GN} $ + 2$\overrightarrow {GQ} $ = $\overrightarrow 0 $⇔ $\overrightarrow {GS} $ + $\overrightarrow {GN} $ + $\overrightarrow {GQ} $ = $\overrightarrow 0 $
Vậy, ta được G là trọng tâm của ΔSNQ.
Tóm lại, các ΔMPR và ΔNQS có cùng trọng tâm.