Dạng 4: Ứng dụng của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Thí dụ 1. Cho a$^2$ + b$^2$ > 0 và hai đường thẳng (d1) và (d2) có phương trình:
(d1): ax + by = a + b; (d2): bx + ay = a-b.
a. Xác định giao điểm của (d1) và (d2).
b. Tìm quỹ tích toạ độ giao điểm khi a, b thay đổi.
a. Xét hệ phương trình tạo bới (d1) và (d2):
$\left\{ \begin{array}{l}ax + by = a + b\\bx + ay = a - b\end{array} \right.$. (I)
Ta có D = a$^2$ - b$^2$; D$_x$ = a$^2$ - 2ab - b$^2$ ; D$_y$ = a$^2$ + b$^2$.
Để (d1) và (d2) cắt nhau điều kiện là: Hệ (I) có nghiệm duy nhất <=> D ≠ 0 <=> a$^2$ - b$^2$≠ 0 <=> a ≠ ±b.
Khi đó, giao điểm là I$\left( {\frac{{{a^2} - 2ab - {b^2}}}{{{a^2} - {b^2}}}} \right.$, $\left. {\frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{a^2} - {b^2}}}} \right)$.

b. Viết lại hệ (I) dưới dạng:
$\left\{ \begin{array}{l}a(x - 1) = b(1 - y)\\a(1 - y) = b(x + 1)\end{array} \right.$ => $\frac{{x - 1}}{{1 - y}} = \frac{{1 - y}}{{x + 1}}$ <=> x$^2$ + y$^2$ = 2.
Vậy, quỹ tích giao điểm I khi a, b thay đổi thuộc đường tròn x$^2$ + y$^2$ = 2.

Thí dụ 1. Với giá trị nào của m thì 2 phương trình sau có nghiệm chung: 2x$^2$ + mx-1 = 0 và mx$^2$-x + 2 = 0.
Các phương trình đã cho có nghiệm chung <=> khi hệ sau có nghiệm: $\left\{ \begin{array}{l}2{x^2} + mx - 1 = 0\\m{x^2} - x + 2 = 0\end{array} \right.$ .
Đặt x$^2$ = y, ta được hệ: $\left\{ \begin{array}{l}mx + 2y = 1\\x - my = 2\end{array} \right.$.
Ta có D = -m$^2$-2; D$_x$ = -m-4 ; D$_y$ = 2m-1.
Vì D ≠ 0, ∀m, hệ có nghiệm duy nhất x = $\frac{{m + 4}}{{{m^2} + 2}}$ và y = $\frac{{1 - 2m}}{{{m^2} + 2}}$.
Do x$^2$ = y, nên ta phải có: ${\left( {\frac{{m + 4}}{{{m^2} + 2}}} \right)^2}$ = $\frac{{1 - 2m}}{{{m^2} + 2}}$ <=> m3 + 6m + 7 = 0 <=> m = -1.
Vậy với m = -1 hai phương trình có nghiệm chung là x = 1.

Thí dụ 1. Hãy biện luận giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau theo tham số a: F = (x + y-2)$^2$ + (x + ay-3)$^2$.
Xét hai đường thẳng (d1): x + y - 2 = 0 và (d2): x + ay - 3 = 0.
Vậy giá trị nhỏ nhất của F tuỳ thuộc vào vị trí tương đối của (d1) và (d2).
Xét hệ phương trình tạo bởi (d1) và (d2) có dạng: $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 2\\x + ay = 3\end{array} \right.$.
Ta có: D = $\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&1\\1&a\end{array}} \right|$ = a-1, D$_x$ = $\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\3&a\end{array}} \right|$ = 2a-3, D$_y$ = $\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\1&3\end{array}} \right|$ = 1.

a. Nếu D ≠ 0 <=> a-1 ≠ 0 <=> a ≠ 1.
Hệ có nghiệm duy nhất: x = $\frac{{2a - 3}}{{a - 1}}$ và y = $\frac{1}{{a - 1}}$ => (d1) cắt (d2) do đó minF = 0.
b. Nếu D = 0 <=> a-1 = 0 <=> a = 1.
Với a = 1, suy ra D$_x$ = -1 ≠ 0, hệ vô nghiệm. Khi đó (d1) // (d2) do đó: F = (x + y-2)$^2$ + (x + y-3)$^2$.
Đặt t = x + y-2, ta được
F = t$^2$ + (t-1)$^2$ = 2t$^2$-2t + 1 ≥ $\frac{3}{4}$.
Vậy, ta được minF = $\frac{3}{4}$, đạt được khi: t = $\frac{1}{2}$ <=> x + y-2 = $\frac{1}{2}$ <=> 2x + 2y-5 = 0.
Kết luận:

• Với a ≠ 1, minF = 0, đạt được khi x = $\frac{{2a - 3}}{{a - 1}}$ và y = $\frac{1}{{a - 1}}$.
• Với a = -4, minF = $\frac{3}{4}$, đạt được khi x, y thoả mãn 2x + 2y-5 = 0.

Thí dụ 1. Hãy xác định tất cả các giá trị của a, b sao cho nghiệm của bất phương trình |x-2a + 1|≤ b + 1 là đoạn [-2; 5].
1. Nếu b + 1 < 0 <=> b <-1 thì bất phương trình vô nghiệm.
2. Nếu b + 1 ≥ 0 <=> b ≥-1 thì bất phương trình được viết lại dưới dạng: -b-1 ≤ x-2a + 1 ≤ b + 1 <=> 2a-b-2 ≤ x ≤ 2a + b + 2.
Vậy để nghiệm của bất phương trình là đoạn [-2; 5] điều kiện cần và đủ là: $\left\{ \begin{array}{l}2a - b - 2 = - 2\\2a + b + 2 = 5\end{array} \right.$
<=> $\left\{ \begin{array}{l}2a - b = 0\\2a + b = 3\end{array} \right.$ <=> $\left\{ \begin{array}{l}a = 3/4\\b = 3/2\end{array} \right.$.
Vậy, với a = $\frac{3}{4}$ và b = $\frac{3}{2}$ thoả mãn điều kiện dầu bài.