Phương pháp thực hiện
1. Với các bài toán định lượng, ta sử dụng các kết quả:
$\left[ \begin{array}{l}\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \\\overrightarrow a //\overrightarrow b \end{array} \right.$,
từ đó đưa ra lời kết luận cho bài toán.
1. Với các bài toán định lượng, ta sử dụng các kết quả:
- a. Gọi α là góc giữa $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $, ta có: cosα = $\frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{|\overrightarrow a |.|\overrightarrow b |}}$.
- b. Để tính độ dài đoạn AB, ta thực hiện: B$^2$ = $\overrightarrow {AB} $$^2$ = $\overrightarrow {AB} $.$\overrightarrow {AB} $ rồi thực hiện phép phân tích vectơ $\overrightarrow {AB} $ thành tổ hợp các vectơ cơ sở.
$\left[ \begin{array}{l}\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \\\overrightarrow a //\overrightarrow b \end{array} \right.$,
từ đó đưa ra lời kết luận cho bài toán.
Thí dụ 1: Cho ΔABC vuông, có cạnh huyển BC = a$\sqrt 3 $, M là trung điểm BC. Biết rằng $\overrightarrow {AM} $.$\overrightarrow {BC} $ = $\frac{{{a^2}}}{2}$, tính độ dài AB và AC.
Giải
Từ giả thiết ta được;$\frac{{{a^2}}}{2}$ = $\overrightarrow {AM} $.$\overrightarrow {BC} $ = $\frac{1}{2}$($\overrightarrow {AB} $ + $\overrightarrow {AC} $).($\overrightarrow {AC} $ - $\overrightarrow {AB} $) = $\frac{1}{2}$($\overrightarrow {AB} $$^2$ - $\overrightarrow {AC} $$^2$) = $\frac{1}{2}$(AB$^2$ - AC$^2$)⇔ AB$^2$ - AC$^2$ = a$^2$. (1)
Mặt khác theo Pitago, ta được: AB$^2$ + AC$^2$ = BC$^2$ = ( a$\sqrt 3 $)$^2$ = 3a$^2$. (2)
Giải hệ phương trình tạo bởi (1), (2), ta được AB = a$\sqrt 2 $, AC = a.
Thí dụ 2: Cho hình bình hành ABCD, biết rằng với mọi điểm M luôn có: MA$^2$ + MC$^2$ = MB$^2$ + MD$^2$. (1)
Chứng minh rằng ABCD là hình chữ nhật.
Giải
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo, ta được:2$\overrightarrow {MO} $ = $\overrightarrow {MA} $ + $\overrightarrow {MC} $ = $\overrightarrow {MB} $ + $\overrightarrow {MD} $. (2)
Bình phương hai vế của (2), ta được:
($\overrightarrow {MA} $ + $\overrightarrow {MC} $)$^2$ = ($\overrightarrow {MB} $ + $\overrightarrow {MD} $)$^2$⇔ MA$^2$ + MC$^2$ + 2$\overrightarrow {MA} $.$\overrightarrow {MC} $ = MB$^2$ + MD$^2$ + 2$\overrightarrow {MB} $.$\overrightarrow {MD} $
⇔ $\overrightarrow {MA} $.$\overrightarrow {MC} $ = $\overrightarrow {MB} $.$\overrightarrow {MD} $
⇔ ($\overrightarrow {MO} $ + $\overrightarrow {OA} $).($\overrightarrow {MO} $ + $\overrightarrow {OC} $) = ($\overrightarrow {MO} $ + $\overrightarrow {OB} $).($\overrightarrow {MO} $ + $\overrightarrow {OD} $)
⇔ ($\overrightarrow {MO} $ + $\overrightarrow {OA} $).($\overrightarrow {MO} $ - $\overrightarrow {OA} $) = ($\overrightarrow {MO} $ + $\overrightarrow {OB} $).($\overrightarrow {MO} $ - $\overrightarrow {OB} $)
⇔ OA$^2$ = OB$^2$ ⇔ OA = OB ⇔ AC = BD
⇔ ABCD là hình chữ nhật
Sửa lần cuối: