Dạng 4: Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) (tâm I(a, b) bán kính R) thoả mãn điều kiện K.

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
#1
Phương pháp thực hiện
Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: Ta thực hiện theo các bước:
  • Bước 1: Dựa trên điều kiện K ta giả sử được đường thẳng (d) có phương trình: (d): Ax + By + C = 0.
  • Bước 2: (d) là tiếp tuyến của (C) ⇔ d(I, (d)) = R.
  • Bước 3: Kết luận về tiếp tuyến (d).
Chú ý: Điều kiện K thường gặp:
1. Tiếp tuyến đi qua điểm M cho trước, khi đó:
a. Nếu M(x$_0$, y$_0$)∈(C) (tức là P$_{M/(C)}$ = 0), ta có ngay:
(d): $\left\{ \begin{array}{l}qua\,M({x_0},{y_0})\\vtpt\,\overrightarrow {IM} ({x_0} - a,{y_0} - b)\end{array} \right.$
⇔ (d): (x$_0$ - a)(x - x$_0$) + (y$_0$ - b)(y - y$_0$) = 0
⇔ (d): (x$_0$ - a)(x - a) + (y$_0$ - b)(y - b) = R$^2$ - Phân đôi toạ độ.

b. Nếu M(x$_0$, y$_0$) ∉ (C) (tức là P$_{M/(C)}$ ≠ 0), ta giả sử: (d): A(x - x$_0$) + B(y - y$_0$) = 0 ⇔ (d): Ax + By - Ax$_0$ - By$_0$ = 0

2. Tiếp tuyến song song với đường thẳng (Δ): Ax + By + C = 0, khi đó: (d): Ax + By + D = 0.

3. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (Δ): Ax + By + C = 0, khi đó: (d): Bx - Ay + D = 0.

4. Tiếp tuyến có hệ số góc bằng k, khi đó: (d): y = kx + m ⇔ (d): kx - y + m = 0.

5. Tiếp tuyến có tạo với đường thẳng (Δ) một góc α, khi đó ta linh hoạt sử dụng một trong hai công thức:
cosα = $\frac{{|\vec a.\vec b|}}{{|\vec a|.|\vec b|}}$, với $\vec a$, $\vec b$ theo thứ tự là vtcp của (d), (Δ).
tgα = $\left| {\frac{{{k_1} - {k_2}}}{{1 + {k_1}{k_2}}}} \right|$, với k1, k2 theo thứ tự là hsg của (d), (Δ)

Cách 2: Đi tìm tiếp điểm rồi sử dụng phương pháp phân đôi toạ độ để giải.
Ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Giả sử điểm M(x$_0$, y$_0$) là tiếp điểm, khi đó:
Phương trình tiếp tuyến có dạng: x.x$_0$ + y.y$_0$ - a(x + x$_0$) - b(y + y$_0$) + c = 0. (1)
(hoặc (x - a) (x$_0$ - a) + (y - b)(y$_0$ - b) = R2 ).
Điểm M∈(C) ⇔ $x_0^2 + y_0^2$ - 2ax$_0$ - 2by$_0$ + c = 0 (2)
(hoặc (x$_0$ - a)$^2$ + (y$_0$ - b)$^2$ = R$^2$

Bước 2: Sử dụng điều kiện K của giả thiết, ta thiết lập thêm một phương trình theo x$_0$, y$_0$ (3)

Bước 3: Giải hệ tạo bởi (2), (3) ta được toạ độ tiếp điểm M(x$_0$, y$_0$), từ đó thay vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến cần xác định.

Thí dụ 1. Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) đi qua M, biết:
a. (C): (x - 3)$^2$ + (y - 1)$^2$ = 5 và M(2, 3).
b. (C): x$^2$ + y$^2$ - 2x - 8y - 8 = 0 và M(-4, -6).
a. Nhận xét rằng: ${P_{M/(C)}}$ = 0 ⇔ M ∈ (C).
Vậy phương trình tiếp tuyến (d) của (C) tại M có dạng: (d): (x - 3)(2 - 3) + (y - 1)(3 - 1) = 9 ⇔ (d): x - 2y + 8 = 0.

b. Nhận xét rằng: ${P_{M/(C)}}$>0 ⇔ M ở ngoài (C).
Ta lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: Đường tròn (C) có tâm I(1, 4), bán kính R = 5. Đường thẳng (d) đi qua M có phương trình: (d): A(x + 4) + B(y + 6) = 0 ⇔ (d): Ax + By + 4A + 6B = 0.
Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (C)
⇔ d(I, (d)) = R ⇔ $\frac{{|A + 4B + 4A + 6B|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} }}$ = 5
⇔ |A + 2B| = $\sqrt {{A^2} + {B^2}} $⇔ 3B2 + 4AB = 0 ⇔ $\left[ \begin{array}{l}B = 0\\B = - 4A/3\end{array} \right.$.
  • Với B = 0, ta được tiếp tuyến (d$_1$): A(x + 4) = 0 ⇔ (d$_1$): x + 4 = 0.
  • Với B = -$\frac{{4A}}{3}$, ta được tiếp tuyến (d$_2$): A(x + 4) - $\frac{{4A}}{3}$(y + 6) = 0 ⇔ (d$_2$): 3x - 4y - 12 = 0.
Vậy qua M kẻ được hai tiếp tuyến (d$_1$), (d$_2$) tới đường tròn (C).

Cách 2: Giả sử tiếp điểm là M(x$_0$, y$_0$), khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng: (d): x.x$_0$ + y.y$_0$ - (x + x$_0$) - 4(y + y$_0$) - 8 = 0. (1)
Vì M(x$_0$, y$_0$) ∈ (C) nên: \(x_0^2 + y_0^2\) - 2x$_0$ - 8y$_0$ - 8 = 0. (2)
Điểm A( - 4, - 6)∈(d) ⇔ - 4x$_0$ - 6y$_0$ - ( - 4 + x$_0$) - 4( - 6 + y$_0$) - 8 = 0⇔ x$_0$ + 2y$_0$ - 4 = 0. (3)
Giải hệ phương trình tạo bởi (2), (3) ta được: $\left[ \begin{array}{l}{x_0} = - 4\,\,\& \,\,{y_0} = 4\\{x_0} = 4\,\,\& \,\,{y_0} = 0\end{array} \right.$.
  • Với M1( - 4, 4), thay vào (1) ta được tiếp tuyến (d$_1$): x + 4 = 0.
  • Với M2(4, 0), thay vào (1) ta được tiếp tuyến (d$_2$): 3x - 4y - 12 = 0.
Chú ý: Như vậy nếu sử dụng cách 2 ta có thể trả lời được các hỏi:
  • a. Qua M kẻ được hai tiếp tuyến (d$_1$), (d$_2$) tới đường tròn (C).
  • b. Toạ độ các tiếp điểm là M1( - 4, 4), M2(4, 0).
c. Phương trình đường thẳng đi qua 2 tiếp điểm được suy ra từ (3), tức là: (M1M2): x + 2y - 4 = 0.

Thí dụ 2. Cho đường thẳng (Δ) và đường tròn (C) có phương trình: (Δ): 3x - 4y + 12 = 0. (C): x$^2$ + y$^2$ - 2x - 6y + 9 = 0.
Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) vuông góc với (Δ).
Đường tròn (C) có tâm I(1, 3), bán kính R = 1.
Ta có hai cách giải sau:
Cách 1: Tiếp tuyến (d)⊥(Δ) có phương trình: (d) : 4x + 3y + c = 0.
Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (C) ⇔ d(I, (d)) = R ⇔ $\frac{{|4.1 + 3.3 + c|}}{{\sqrt {16 + 9} }}$ = 1 ⇔ $\left[ \begin{array}{l}{c_1} = - 18\\{c_2} = - 8\end{array} \right.$.
  • Với c1 = -18, ta được tiếp tuyến (d$_1$): 4x + 3y - 18 = 0.
  • Với c2 = - 8, ta được tiếp tuyến (d$_2$): 4x + 3y - 8 = 0.
Vậy tồn tại hai tiếp tuyến (d$_1$), (d$_2$) tới (C) thoả mãn điều kiện đầu bài.

Cách 2: Giả sử tiếp điểm là M(x$_0$, y$_0$), khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng: (d): x.x$_0$ + y.y$_0$ - (x + x$_0$) - 3(y + y$_0$) + 9 = 0
⇔ (d): (x$_0$ - 1)x + (y$_0$ - 3)y - x$_0$ - 3y$_0$ + 9 = 0 (1)
Vì M(x$_0$, y$_0$) ∈ (C)⇔ $x_0^2 + y_0^2$ - 2x$_0$ - 6y$_0$ + 9 = 0. (2)
Đường thẳng (d)⊥(Δ) khi và chỉ khi: 3.(x$_0$ - 1) - 4(y$_0$ - 3) = 0 ⇔ 3x$_0$ - 4y$_0$ + 9 = 0. (3)
Giải hệ phương trình tạo bởi (2), (3) ta được: $\left[ \begin{array}{l}{x_0} = \frac{9}{5}\,\,\& \,\,{y_0} = \frac{{18}}{5}\\{x_0} = \frac{1}{5}\,\,\& \,\,{y_0} = \frac{{12}}{5}\end{array} \right.$.
  • Với M1($\frac{9}{5}$, $\frac{{18}}{5}$), thay vào (1) ta được tiếp tuyến (d$_1$): 4x + 3y - 18 = 0.
  • Với M2($\frac{1}{5}$, $\frac{{12}}{5}$), thay vào (1) ta được tiếp tuyến (d$_2$): 4x + 3y - 8 = 0.
Vậy tồn tại hai tiếp tuyến (d$_1$), (d$_2$) tới (C) thoả mãn điều kiện đầu bài.
 
Sửa lần cuối:

Bình luận bằng Facebook