Dạng 4: Điểm và Parabol

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
#1
Phương pháp thực hiện
Với Parabol (P) có phương trình: (P): y$^2$ = 2px.
ta thực hiện theo các bước:
  • Bước 1: Lấy điểm M(x$_0$, y$_0$)∈(P) ⇒ $y_0^2$ = 2px$_0$.
  • Bước 2: Dựa vào điều kiện K có thêm được điều kiện cho x$_0$, y$_0$.
Chú ý: Ta cần lưu ý các trường hợp sau:
  1. Nếu điểm phải tìm thoả mãn điều kiện về bán kính qua tiêu điểm ta sử dụng công thức tính bán kính qua tiêu điểm theo toạ độ điểm đó là: MF = x$_0$ + $\frac{p}{2}$.
  2. Nếu điểm phải tìm thoả mãn điều kiện về góc ta đưa bài toán về xét hệ thức lượng trong tam giác.
  3. Nếu điểm phải tìm là giao của Parabol với một đường khác ta xét hệ phương trình tương giao để tìm toạ độ giao điểm.

Thí dụ: Cho Parabol (P): y = x$^2$. Một góc vuông ở đỉnh O cắt Parabol tại A$_1$ và A$_2$. Hình chiếu của A$_1$ và A$_2$ lên Ox là B$_1$ và B$_2$.
a. Chứng minh rằng OB$_1$.OB$_2$ = const.
b. Chứng minh rằng A$_1$A$_2$ luôn đi qua một điểm cố định.
Giải​
a. Giả sử A$_1$∈(P) ⇒ A$_1$(x$_0$, $x_0^2$). Khi đó:
diem-va-parabol-png.1313

  • B$_1$(x$_0$, 0) ⇒ OB$_1$ = |x$_0$|.
  • Phương trình đường thẳng (OA$_1$): y = xx$_0$.
  • Theo giả thiết OA$_2$⊥OA$_1$
⇒ phương trình đường thẳng (O A$_2$): y = -$\frac{1}{{{x_0}}}$x.
  • Toạ độ của A$_2$ là nghiệm hệ phương trình: A$_2$: $\left\{ \begin{array}{l}y = {x^2}\\y = - \frac{1}{{{x_0}}}x\end{array} \right.$⇒ A$_2$: $\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{1}{{x_0^{}}}\\y = \frac{1}{{x_0^2}}\end{array} \right.$⇒ A$_2$(-$\frac{1}{{{x_0}}}$, $\frac{1}{{x_0^2}}$).
  • B$_2$(-$\frac{1}{{{x_0}}}$, 0) ⇒ OB$_2$ = | - $\frac{1}{{{x_0}}}$|.
Vậy OB$_1$.OB$_2$ = 1.

b. Ta lần lượt có:
  • Phương trình (A$_1$A$_2$) được xác định bởi: (A$_1$ A$_2$): $\frac{{x + \frac{1}{{{x_0}}}}}{{{x_0} + \frac{1}{{{x_0}}}}} = \frac{{y - \frac{1}{{x_0^2}}}}{{x_0^2 - \frac{1}{{x_0^2}}}}$⇔ (A$_1$ A$_2$): x$x_0^3$ + (1 - y)$x_0^2$ - xx$_0$ = 0. (1)
  • Ta đi chứng minh A$_1$A$_2$ luôn đi qua một điểm cố định.
Thật vậy giả sử I(x, y) là điểm cố định của họ đường thẳng A$_1$A$_2$⇔ (1) đúng với mọi x$_0$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\1 - y = 0\end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 1\end{array} \right.$ ⇔ I(0, 1).
Vậy (A$_1$A$_2$) luôn đi qua một điểm cố định I(0, 1).
 
Sửa lần cuối:

Bình luận bằng Facebook