Dạng 4: Điểm và đường thẳng

Thí dụ 1. Cho đường thẳng (d) có phương trình: (d): $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = 3 + t\end{array} \right.$, t ∈ R. Tìm điểm M thuộc (d) và cách điểm A(0, 1) một khoảng bằng 5.
Vì M huộc (d) nên M(2 + 2t, 3 + t). Khi đó: 5 = AM = $\sqrt {{{(2 + 2t)}^2} + {{(2 + t)}^2}} $ ⇔ 5t$^2$ + 12t - 17 = 0 ⇔ t1 = 1 và t$^2$ = -$\frac{{17}}{5}$.

• Với t1 = 1, suy ra điểm M$_1$(4, 4).
• Với t2 = -$\frac{{17}}{5}$, suy ra điểm M$_2$(-$\frac{{24}}{5}$, -$\frac{2}{5}$).

Vậy, tồn tại hai điểm M$_1$(4, 4) và M$_2$(-$\frac{{24}}{5}$, -$\frac{2}{5}$) thoả mãn điều kiện đầu bài.

Thí dụ 2. Cho đường thẳng (d) có phương trình: (d): x - 2y + 15 = 0. Tìm trên đường thẳng điểm M(x$_M$, y$_M$) sao cho $x_M^2 + y_M^2$ nhỏ nhất.
Cách 1: Vì M(x$_M$, y$_M$) ∈ (d), suy ra x$_M$ - 2y$_M$ + 15 = 0 ⇔ x$_M$ = 2y$_M$ - 15,
khi đó: $x_M^2 + y_M^2$ = (2y$_M$ - 15)$^2$ + $y_M^2$ = 5$y_M^2$ - 60y$_M$ + 225 = 5(y$_M$ - 6)$^2$ + 45 ≥ 45.
Vậy, ta được ($x_M^2 + y_M^2$)$_{Min}$ = 45 đạt được khi: y$_M$ = 6 ⇒ M(-3, 6).

Cách 2: Chuyển phương trình (d) về dạng tham số: (d): $\left\{ \begin{array}{l}x = 2t - 15\\y = t\end{array} \right.$, t ∈ R.
Điểm M ∈ (d), suy ra M(2t - 15, t).
Khi đó: $x_M^2 + y_M^2$ = (2t - 15)$^2$ + t2 = 5t2 - 60t + 225 = 5(t - 6)$^2$ + 45 ≥ 45.
Vậy ($x_M^2 + y_M^2$)$_{Min}$ = 45 đạt được khi: t = 6 ⇒ M( - 3, 6).

Cách 3: Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxli
Ta có: x$_M$ - 2y$_M$ + 15 = 0 ⇔ 15 = 2y$_M$ - x$_M$$\mathop \le \limits^{Bu\,nhi\,a\,cop\,ki} $$\sqrt {(4 + 1)(y_M^2 + x_M^2)} $⇔ $x_M^2 + y_M^2$ ≥ 45.
Vậy ($x_M^2 + y_M^2$)$_{Min}$ = 45 đạt được khi:
y$_M$ = - 2x$_M$ $\mathop \Rightarrow \limits^{(d)} $ M( - 3, 6).

Thí dụ 3. Cho hai điểm A(1; 2), B(2; 5) và đường thẳng (d) có phương trình: (d): x - 2y - 2 = 0.
Tìm trên đường thẳng (d) điểm M sao cho:
a. (MA + MB) nhỏ nhất.
b. |MA - MB| lớn nhất
a. Chuyển phương trình đường thẳng (d) về dạng tham số: (d):$\left\{ \begin{array}{l}x = 2t + 2\\y = t\end{array} \right.$ t ∈ R
Vì M∈(d) nên M(2t + 2 ; t). Khi đó ta có: MA + MB = $\sqrt {{{(2t + 1)}^2} + {{(t - 2)}^2}} $ + $\sqrt {4{t^2} + {{(t - 5)}^2}} $
= $\sqrt {5{t^2} + 5} $ + $\sqrt {5{t^2} - 10t + 25} $ = $\sqrt 5 $[$\sqrt {{t^2} + 1} $ + $\sqrt {{{\left( {t - 1} \right)}^2} + 4} $]
Xét các điểm A$_1$(0; -1); B$_1$(1; 2) và M$_1$(t; 0).
Khi đó: MA + MB = $\sqrt 5 $(M$_1$A$_1$ + M$_1$B$_1$).
Vì M$_1$ chạy trên trục hoành và A$_1$, B$_1$ nằm về hai phía của Ox nên
(MA + MB)$_{min}$ ⇔ ( M$_1$A$_1$ + M$_1$B$_1$)$_{min}$ ⇔ M$_1$ = (A$_1$B$_1$) ∩ Ox
⇔ M$_1$($\frac{1}{3}$; 0) ⇔ M($\frac{8}{3}$; $\frac{1}{3}$).

b. Tương tự câu a) ta có:|MA - MB| = $\sqrt {{{(2t + 1)}^2} + {{(t - 2)}^2}} $ + $\sqrt {4{t^2} + {{(t - 5)}^2}} $
= $\sqrt {5{t^2} + 5} $ + $\sqrt {5{t^2} - 10t + 25} $ = $\sqrt 5 $[$\sqrt {{t^2} + 1} $ + $\sqrt {{{\left( {t - 1} \right)}^2} + 4} $]
Xét các điểm A$_2$(0; 1); B$_2$(1; 2) và M$_2$(t; 0).
Khi đó: |MA - MB| = $\sqrt 5 $|M$_2$A$_2$ - M$_2$B$_2$|.
Vì M$_2$ chạy trên trục hoành và A$_2$, B$_2$ nằm về một phía của Ox nên |MA - MB|$_{max}$ ⇔ |M$_2$A$_2$ - M$_2$B$_2$|$_{max}$ ⇔ M$_2$ = (A$_2$B$_2$) ∩ Ox ⇔ M$_2$(-1, 0) ⇔ M(0; -1).