Dạng 4: Cân bằng của điện tích

Bài toán cân bằng của điện tích thường gặp trong chương trình vật lý 11. Để hs hiểu sâu, bài viết này sẽ trình bày cơ sở lý thuyết cân bằng của một điện tích và ví dụ minh họa

I. Phương pháp
Hai điện tích:
Hai điện tích \({q_1};{q_2}\) đặt tại hai điểm A và B, hãy xác định điểm C đặt điện tích \({q_o}\)để \({q_o}\) cân bằng:
Điều kiện cân bằng của điện tích \({q_o}\): \({\vec F_o} = {\vec F_{10}} + {\vec F_{20}} = \vec 0 \leftrightarrow {\vec F_{10}} = - {\vec F_{20}} \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{\vec F}_{10}} \uparrow \downarrow {{\vec F}_{20}}\left( 1 \right)\\{F_{10}} = {F_{20}}\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Trường hợp 1: \({q_1};{q_2}\) cùng dấu: Từ (1) \( \Rightarrow \) C thuộc đoạn thẳng AB: AC + BC = AB (*)
Ta có: $\frac{{\left| {{q_1}} \right|}}{{r_1^2}} = \frac{{\left| {{q_2}} \right|}}{{r_2^2}}$ Trường hợp 2: \({q_1};{q_2}\) trái dấu: Từ (1) \( \Rightarrow \) C thuộc đường thẳng AB: \(\left| {AC - BC} \right| = AB\)(* ’)
Ta cũng vẫn có: $\frac{{\left| {{q_1}} \right|}}{{r_1^2}} = \frac{{\left| {{q_2}} \right|}}{{r_2^2}}$

• Từ (2) \( \Rightarrow \) \(\left| {{q_2}} \right|.A{C^2} - \left| {{q_1}} \right|.B{C^2} = 0\) (**)
• Giải hệ hai pt (*) và (**) hoặc (* ’) và (**) để tìm AC và BC.

Nhận xét:

• Biểu thức (**) không chứa \({q_o}\) nên vị trí của điểm C cần xác định không phụ thuộc vào dấu và độ lớn của \({q_o}\).
• Vị trí cân bằng nếu hai điện tích trái dấu thì điểm cân bằng nằm ngoài đoạn AB về phía điện tích có độ lớn nhỏ hơn.còn nếu hai điện tích cùng dấu thì nằm giữa đoạn nối hai điện tích.

Ba điện tích: Điều kiện cân bằng của q$_{0}$ khi chịu tác dụng bởi q$_{1}$, q$_{2}$, q$_{3}$:

• Gọi ${\vec F_0}$ là tổng hợp lực do q$_{1}$, q$_{2}$, q$_{3}$ tác dụng lên q$_{0}$: ${\vec F_0} = {\vec F_{10}} + {\vec F_{20}} + {\vec F_{30}} = \vec 0$
• Do q$_{0}$ cân bằng: ${\vec F_0} = \vec 0$$ \Rightarrow \left. \begin{array}{l}{{\vec F}_{10}} + {{\vec F}_{20}} + {{\vec F}_{30}} = \vec 0\\\vec F = {{\vec F}_{10}} + {{\vec F}_{20}}\end{array} \right\} \Rightarrow \vec F + {\vec F_{30}} = \vec 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\vec F \uparrow \downarrow {{\vec F}_{30}}\\F = {F_{30}}\end{array} \right.$

II. Ví dụ vận dụng
Câu 1: Cho hai điện tích q$_{1}$=\(4\mu C\), q$_{2}$=9\(\mu C\) đặt tại hai điểm A và B trong chân không AB=1m. Xác định vị trí của điểm M để đặt tại M một điện tích q$_{0}$, lực điện tổng hợp tác dụng lên q$_{0}$ bằng 0, chứng tỏ rằng vị trí của M không phụ thuộc giá trị của q$_{0}$.
Giả sử q$_{0 }$> 0. Hợp lực tác dụng lên q$_{0}$: \({\overrightarrow F _{10}} + {\overrightarrow F _{20}} = \overrightarrow 0 \)

Do đó: ${F_{10}} = {F_{20}} \Leftrightarrow k\frac{{\left| {{q_1}{q_0}} \right|}}{{A{M^2}}} = k\frac{{\left| {{q_1}{q_0}} \right|}}{{AB - AM}} \Rightarrow AM = 0,4m$
Theo phép tính toán trên ta thấy AM không phụ thuộc vào q₀.

Câu 2: Người ta treo hai quả cầu nhỏ có khối lượng bằng nhau m = 0,01g bằng những sợi dây có chiều dài bằng nhau (khối lượng không đáng kể). Khi hai quả cầu nhiễm điện bằng nhau về độ lớn và cùng dấu chúng đẩy nhau và cách nhau một khoảng R=6cm. Lấy g= 9,8m/s$^{2}$. Tính điện tích mỗi quả cầu
Ta có: \(\overrightarrow P + \overrightarrow F + \overrightarrow T = \overrightarrow 0 \)
Từ hình vẽ:
\(\begin{array}{l}\tan \alpha = \frac{R}{{2.OH}} = \frac{R}{{2\sqrt {{l^2} - {{\left[ {\frac{R}{2}} \right]}^2}} }} \approx \frac{R}{2} = \frac{F}{{mg}}\\ \Rightarrow k\frac{{{q^2}}}{{{R^2}}} = \frac{{Rmg}}{{2l}} \Rightarrow \left| q \right| = \sqrt {\frac{{{R^3}mg}}{{2kl}}} = 1,{533.10^{ - 9}}C\end{array}\)

Câu 3: Cho hai điện tích điểm q$_{1}$=16\(\mu C\) và q$_{2}$ = -64\(\mu C\) lần lượt đặt tại hai điểm A và B trong chân không cách nhau AB = 100cm. Xác định lực điện tổng hợp tác dụng lên điện tích điểm q$_{0}$=4\(\mu C\) đặt tại:
a) Điểm M: AM = 60cm, BM = 40cm.
b) Điểm N: AV = 60cm, BN = 80cm
a) Vì MA + MB = AB vậy 3 điểm M, A, B thẳng hàng M nằm giữa AB
Lực điện tổng hợp tác dụng lên q$_{0}$: \(\overrightarrow F = {\overrightarrow F _{10}} + {\overrightarrow F _{20}}\)
Vì \({\overrightarrow F _{10}}\) cùng hường với \({\overrightarrow F _{20}}\) nên: \(F = {F_{10}} + {F_{20}} = k\frac{{{q_1}{q_0}}}{{A{M^2}}} + k\frac{{{q_2}{q_0}}}{{B{M^2}}} = 16N\)
\(\overrightarrow F \) cùng hường với \({\overrightarrow F _{10}}\) và \({\overrightarrow F _{20}}\)

b) Vì \(N{A^2} + N{B^2} = A{B^2} \Rightarrow \Delta {\rm{NA}}B\) vuông tại N. Hợp lực tác dụng lên q$_{0}$ là:
\(\overrightarrow F = {\overrightarrow F _{10}} + {\overrightarrow F _{20}}\)
\(F = \sqrt {F_{10}^2 + F_{20}^2} = 3,94V\)
\(\overrightarrow F \) hợp với NB một góc \(\alpha \): tan\(\alpha = \frac{{{F_{10}}}}{{{F_{20}}}} = 0,44 \Rightarrow \alpha = {24^0}\)

Câu 4: Một quả cầu nhỏ có khối lượng m = 1,6g, tích điện q = 2.10$^{-7}$C được treo bằng một sợi dây tơ mảnh. Ở phía dưới nó cần phải đạt một điện tích q$_{2}$ như thế nào để lực căng dây giảm đi một nửa.
Lực căng của sợi dây khi chưa đặt điện tích: T = P = mg
Lực căng của sợi dây khi đặt điện tích:T = P – F = \(\frac{P}{2}\)
\( \Rightarrow F = \frac{P}{2} \Leftrightarrow k\frac{{\left| {{q_1}{q_2}} \right|}}{{{r^2}}} = \frac{{mg}}{2} \Rightarrow \left| q \right| = \frac{{mg{r^2}}}{{2k{q_1}}} = {4.10^{ - 7}}C\)
Vậy q$_{2}$ > 0 và có độ lớn q$_{2}$ = 4.10$^{-7}$C

Câu 5: Hai quả cầu nhỏ giống nhau, cùng khối lượng m = 0,2kg, được treo tại cùng một điểm bằng hai sợi tơ mảnh dài l = 0,5m. Khi mỗi quả cầu tích điện q như nhau, chúng tách nhau ra một khoảng a = 5cm. Xác đinh q.
Quả cầu chịu tác dụng của ba lực như hình vẽ. Điều kiện cân bằng: \(\overrightarrow P + \overrightarrow F + \overrightarrow T = \overrightarrow 0 \)
Ta có: \(\tan \alpha = \frac{F}{P} = \frac{{\frac{a}{2}}}{{\sqrt {{l^2} - \frac{{{a^2}}}{4}} }}\)\( \Leftrightarrow \)\(\frac{{k\frac{{{q^2}}}{{{a^2}}}}}{{mg}} = \frac{{\frac{a}{2}}}{{\sqrt {{l^2} - \frac{{{a^2}}}{4}} }}\)
\( \Rightarrow \left| q \right| = a.\sqrt {\frac{{amg}}{{k\sqrt {4{l^2} - {a^2}} }}} = 5,{3.10^{ - 9}}C\)

Câu 6: Người ta đặt ba điện tích q$_{1}$ = 8.10$^{-9}$C, q$_{2}$=q$_{3}$=-8.10$^{-}$C tại ba đỉnh của một tam giác đều ABC cạnh a = = 6cm trong không khí. Xác định lực tác dụng lên điện tích q$_{0}$=6.10$^{-9}$C đặt tại tâm O của tam giác.
Lực tổng hợp tác dụng lên q$_{0}$: \(\overrightarrow F = {\overrightarrow F _1} + {\overrightarrow F _2} + {\overrightarrow F _3} = {\overrightarrow F _1} + {\overrightarrow F _{23}}\)
\({F_1} = k\frac{{\left| {{q_1}.{q_0}} \right|}}{{{{\left( {\frac{2}{3}a\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} = 3k\frac{{\left| {{q_1}.{q_0}} \right|}}{{{a^2}}} = {36.10^{ - 5}}N\)
\({F_2} = {F_3} = k\frac{{\left| {{q_2}{q_0}} \right|}}{{{{\left( {\frac{2}{3}a\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} = 3k\frac{{\left| {{q_1}.{q_0}} \right|}}{{{a^2}}} = {36.10^{ - 5}}N\)
\({F_{23}} = 2{F_2}c{\rm{os}}{120^0} = {F_2}\)
Vậy F = 2F$_{1}$ = 72.10$^{-5}$N

Câu 7: Tại ba đỉnh của một tam giác đều, người ta đặt ba điện tích giống nhau q$_{1}$=q$_{2}$=q$_{3}$=6.10$^{-7}$C. Hỏi phải đặt điện tích thứ tư q$_{0}$ tại đâu, có giá trị bao nhiêu để hệ thống đứng yên cân bằng.
Điều kiện cân bằng của điện tích q$_{3}$ đặt tại C \({\overrightarrow F _{13}} + {\overrightarrow F _{23}} + {\overrightarrow F _{03}} = {\overrightarrow F _3} + {\overrightarrow F _{03}} = \overrightarrow 0 \)
\({F_{13}} = {F_{23}} = k\frac{{{q^2}}}{{{a^2}}} \Rightarrow {F_3} = 2{F_{13}}c{\rm{os3}}{0^0} = {F_{13}}\sqrt 3 \)
\({\overrightarrow F _3}\) có phương là phân giác của góc C
Suy ra \({\overrightarrow F _{03}}\) cùng giá ngược chiều với \({\overrightarrow F _3}\).
Xét tương tự với q$_{1}$, q$_{2}$ suy ra q$_{0}$ phải nằm tại tâm của tam giác.
\({F_{03}} = {F_3} \Leftrightarrow k\frac{{\left| {{q_0}q} \right|}}{{{{\left( {\frac{2}{3}a\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} = k\frac{{{q^2}}}{{{a^2}}}\sqrt 3 \Rightarrow {q_0} = - 3,{46.10^{ - 7}}C\)