Dạng 3: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng

Thí dụ 1. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng (d$_1$) và (d$_2$) sau đây:
a. (d$_1$): 4x - 10y + 1 = 0 và (d$_2$): x + y + 2 = 0.
b. (d$_1$): 12x - 6y + 10 = 0 và (d$_2$): $\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + t\\y = 3 + 2t\end{array} \right.$, t ∈ R.
c. (d$_1$): 8x + 10y - 12 = 0 và (d$_2$): $\left\{ \begin{array}{l}x = - 6 + 5t\\y = 6 - 4t\end{array} \right.$, t ∈ R.
a. Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: Xét hệ phương trình tạo bởi phương trình của (d$_1$) và (d$_2$), ta có :
$\left\{ \begin{array}{l}4x - 10y + 1 = 0\\x + y + 2 = 0\end{array} \right.$ ⇔ x = $\frac{3}{2}$ và y = -$\frac{1}{2}$ ⇒ (d$_1$) ∩ (d$_2$) = {M($\frac{3}{2}$, -$\frac{1}{2}$)}.
Cách 2: Nhận xét rằng $\frac{4}{1}$ ≠ $\frac{{ - 10}}{1}$ ⇒ (d$_1$) và (d$_2$) cắt nhau.

b. Bằng cách thay phương trình tham số của (d$_2$) và (d$_1$), ta được: 12(5 + t) - 6(3 + 2t) + 10 = 0 ⇔ 52 = 0, mâu thuẫn.
Vậy, ta kết luận (d$_1$) // (d$_2$).

c. Bằng cách thay phương trình tham số của (d$_2$) và (d$_1$), ta được: 8( -6 + 5t) + 10(6 - 4t) - 12 = 0 ⇔ 0 = 0, luôn đúng.
Vậy, ta kết luận (d$_1$) ≡ (d$_2$).

Thí dụ 2. Cho hai đường thẳng (d$_1$) và (d$_2$) có phương trình:
(d$_1$): $\left\{ \begin{array}{l}x = - 2{t_1}\\y = - 3{t_1}\end{array} \right.$, (d$_2$): $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3{t_2}\\y = 3 + 6{t_2}\end{array} \right.$,t1, t2 ∈ R.
a. Xác định giao điểm của (d$_1$) và (d$_2$).
b. Tính cosin góc nhọn tạo bởi (d$_1$) và (d$_2$).
a. Xét hệ phương trình tạo bởi (d$_1$) và (d$_2$):
$\left\{ \begin{array}{l} - 2{t_1} = 1 + 3{t_2}\\ - 3{t_1} = 3 + 6{t_2}\end{array} \right.$⇔ $\left\{ \begin{array}{l}{t_1} = 1\\{t_2} = - 1\end{array} \right.$ .
Vậy (d$_1$) cắt (d$_2$) tại A(-2, -3).

b. Gọi ${\vec a_1}$, ${\vec a_2}$ theo thứ tự là vtcp của (d$_1$) và (d$_2$), ta có ${\vec a_1}$(-2, -3), ${\vec a_2}$(1, 2).
Khi đó, cosin góc nhọn α tạo bởi (d$_1$) và (d$_2$) được cho bởi:
cosα = $\frac{{|{{\vec a}_1}.{{\vec a}_2}|}}{{|{{\vec a}_1}|.|.{{\vec a}_2}|}}$ = $\frac{{| - 2.1 - 3.2|}}{{\sqrt {{{( - 2)}^2} + {{( - 3)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {2^2}} }}$ = $\frac{8}{{\sqrt {65} }}$.

Chú ý: Việc xét vị trí tương đối của hai đường thẳng có phương trình tổng quát sẽ gợi ý cho chúng ta giải bài toán:
" Hãy biện luận giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = (A$_1$x + B$_1$y + C$_1$)$^2$ + (A$_2$x + B$_2$y + C$_2$)$^2$ "
Ta thực hiện theo các bước sau:

• Bước 1: Xét hai đường thẳng (d$_1$): A$_1$x + B$_1$y + C$_1$ = 0 và (d$_2$): A$_2$x + B$_2$y + C$_2$ = 0.
• Bước 2: Vậy giá trị nhỏ nhất của F tuỳ thuộc vào vị trí tương đối của (d$_1$) và (d$_2$). Xét hệ phương trình tạo bởi (d$_1$) và (d$_2$) có dạng:

$\left\{ \begin{array}{l}{A_1}x + {B_1}y = - {C_1}\\{A_2}x + {B_2}y = - {C_2}\end{array} \right.$.
Xác định các giá trị của D, D$_X$, Dy.

• Bước 3: Biện luận:

a. Nếu D ≠ 0, hệ có nghiệm duy nhất x = $\frac{{{D_x}}}{D}$ và y = $\frac{{{D_y}}}{D}$.
Khi đó (d$_1$) cắt (d$_2$) do đó m$_F$ = 0, đạt được khi x = $\frac{{{D_x}}}{D}$ và y = $\frac{{{D_y}}}{D}$.

b. Nếu D = D$_x$ = D$_y$ = 0 ⇔ $\frac{{{A_1}}}{{{A_2}}} = \frac{{{B_1}}}{{{B_2}}} = \frac{{{C_1}}}{{{C_2}}}$.
Khi đó (d$_1$) ≡ (d$_2$) do đó m$_F$ = 0, đạt được tại ∀M(x, y) ∈ (d$_1$).

c. Nếu $\left\{ \begin{array}{l}D = 0\\\left[ \begin{array}{l}{D_x} \ne 0\\{D_y} \ne 0\end{array} \right.\end{array} \right.$ ⇔ $\frac{{{A_1}}}{{{A_2}}} = \frac{{{B_1}}}{{{B_2}}} \ne \frac{{{C_1}}}{{{C_2}}}$ .
Khi đó thì (d$_1$) // (d$_2$) do đó đặt t = A1x + B1y + C1, ta được:
F = t$^2$ + (kt + m)$^2$= (k$^2$ + 1)t$^2$ + 2mkt + m$^2$ ≥ -$\frac{\Delta }{{4a}}$.
Vậy m$_F$ = -$\frac{\Delta }{{4a}}$, đạt được khi t = -$\frac{{mk}}{{{k^2} + 1}}$.

Thí dụ 3. Hãy biện luận theo a giá trị nhỏ nhất của biểu thức: F = (2x + y - 2)$^2$ + (4x + ay - 1)$^2$.
Xét hai đường thẳng (d$_1$): 2x + y - 2 = 0 và (d$_2$): 4x + ay - 1 = 0.
Vậy giá trị nhỏ nhất của F tuỳ thuộc vào vị trí tương đối của (d$_1$) và (d$_2$).
Xét hệ phương trình tạo bởi (d$_1$) và (d$_2$) có dạng: $\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 2\\4x + ay = 1\end{array} \right.$.
Ta có: D = $\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\4&a\end{array}} \right|$ = 2a - 4, D$_X$ = $\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\1&a\end{array}} \right|$ = 2a - 1, Dy = $\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&2\\4&1\end{array}} \right|$ = -6.

• Nếu D ≠ 0 ⇔ 2a - 4 ≠ 0 ⇔ a ≠ 2. Hệ có nghiệm duy nhất x = $\frac{{2a - 1}}{{2a - 4}}$ và y = $\frac{{ - 3}}{{a - 2}}$ ⇒ (d$_1$) cắt (d$_2$) do đó m$_F$ = 0
• Nếu D = 0 ⇔ 2a - 4 = 0 ⇔ a = 2. Với a = 2, suy ra D$_X$ = 3 ≠ 0, hệ vô nghiệm.

Khi đó (d$_1$) // (d$_2$) do đó F = (2x + y - 2)$^2$ + (4x + 2y - 1)$^2$.
Đặt t = 2x + y - 2, ta được F = t2 + (t + 3)$^2$ = 2t$^2$ + 6t + 9 = 2(x + $\frac{3}{2}$) + $\frac{9}{2}$ ≥ $\frac{9}{2}$.
Vậy m$_F$ = $\frac{9}{2}$, đạt được khi: t = -$\frac{3}{2}$ ⇔ 2x + y - 2 = -$\frac{3}{2}$ ⇔ 4x + 2y - 1 = 0.
Kết luận:

• Với a ≠ 2, m$_F$ = 0, đạt được khi x = $\frac{{2a - 1}}{{2a - 4}}$ và y = $\frac{{ - 3}}{{a - 2}}$.
• Với a = 2, m$_F$ = $\frac{9}{2}$, đạt được khi x, y thoả mãn 4x + 2y - 1 = 0.