Dạng 3: Xác định toạ độ điểm M thoả mãn một đẳng thức vectơ, độ dài

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Phương pháp áp dụng
Thực hiện theo các bước:
  • Bước 1: Giả sử M(x; y).
  • Bước 2: Toạ độ hoá các vectơ có trong đẳng thức hoặc sử dụng công thức về khoảng cách giữa hai điểm, để chuyển đẳng thức về biểu thức đại số.
  • Bước 3: Giải phương trình hoặc hệ trên, ta nhận được toạ độ của M.
Chú ý: Điểm M(x; y) chia đoạn thẳng M1M2 theo một tỉ số k (tức là $\overrightarrow {M{M_1}} $ = k$\overrightarrow {M{M_2}} $) được xác định bởi các công thức:
$\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{{x_1} - k{x_2}}}{{1 - k}}\\y = \frac{{{y_1} - k{y_2}}}{{1 - k}}\end{array} \right.$.
Đặc biệt nếu k = -1, thì M là trung điểm của đoạn thẳng M1M2, khi đó toạ độ của M được xác định bởi: $\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{2}\\y = \frac{{{y_1} + {y_2}}}{2}\end{array} \right.$.


Thí dụ 1: Cho hai điểm A(0; 2) và B(4; -3). Tìm toạ độ:
a. Trung điểm I của AB.
b. Điểm M sao cho $\overrightarrow {MA} $ + 2$\overrightarrow {MB} $ = $\vec 0$.
a. Ta có I(2; -$\frac{1}{2}$).
b. Từ giả thiết $MA$ + 2$MB$ = $\vec 0$ ⇔ $MA$ - 2$MB$ ⇔ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k = -2.
Do đó: M: $\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{{x_A} - k{x_B}}}{{1 - k}} = \frac{8}{3}\\y = \frac{{{y_A} - k{y_B}}}{{1 - k}} = - \frac{4}{3}\end{array} \right.$ ⇔ M($\frac{8}{3}$; -$\frac{4}{3}$).

Chú ý: Ta cũng có thể trình bày theo cách: Giả sử M(x; y), ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MA} = ( - x,2 - y)\\\overrightarrow {MB} = (4 - x, - 3 - y)\end{array} \right.$ ⇒ $\overrightarrow {MA} $ + 2$\overrightarrow {MB} $ = (8 - 3x; - 4 - 3y).
Vì $\overrightarrow {MA} $ + 2$\overrightarrow {MB} $ = $\vec 0$, nên:
$\left\{ \begin{array}{l}8 - 3x = 0\\ - 4 - 3y = 0\end{array} \right.$⇔ $\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{8}{3}\\y = - \frac{4}{3}\end{array} \right.$ ⇒ M($\frac{8}{3}$; -$\frac{4}{3}$).

Thí dụ 2: Cho ΔABC, biết A(1; 0), B(-3; -5), C(0; 3).
a. Xác định toạ độ điểm E sao cho $\overrightarrow {AE} $ = 2$\overrightarrow {BC} $.
b. Xác định toạ độ điểm F sao cho AF = CF = 5.
c. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
|2($\overrightarrow {MA} $ + $\overrightarrow {MB} $) - 3$\overrightarrow {MC} $| = |$\overrightarrow {MB} $ - $\overrightarrow {MC} $|. (1)
a. Giả sử E(x; y), khi đó $\overrightarrow {AE} $(x - 1; y), $\overrightarrow {BC} $(3; 8)
Từ đó: $\overrightarrow {AE} $ = 2$\overrightarrow {BC} $ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 2.3\\y = 2.8\end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}x = 7\\y = 16\end{array} \right.$ ⇔ E(7; 16).

b. Giả sử F(x; y), khi đó: AF = CF = 5 ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}A{F^2} = 25\\C{F^2} = 25\end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}{(x - 1)^2} + {y^2} = 25\\{x^2} + {(y - 3)^2} = 25\end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}{(x - 1)^2} + {y^2} = 25\\x = 3y - 4\end{array} \right.$
⇔ $\left\{ \begin{array}{l}10{y^2} - 30y = 0\\x = 3y - 4\end{array} \right.$⇔ $\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}y = 0\\y = 3\end{array} \right.\\x = 3y - 4\end{array} \right.$⇔ $\left[ \begin{array}{l}x = - 4\,\& \,y = 0\\x = 5\,\& y = 3\end{array} \right.$ ⇔ $\left[ \begin{array}{l}{F_1}( - 4,0)\\{F_2}(5,3)\end{array} \right.$.
Vậy tồn tại hai điểm F$_1$( - 4; 0) và F$_2$(5; 3) thoả mãn điều kiện đầu bài.

c. Giả sử M(x; y), khi đó:
$\overrightarrow {MA} $(1 - x; -y), $\overrightarrow {MB} $(-3 - x; -5 - y), $\overrightarrow {MC} $(-x; 3 - y)
⇒ 2($\overrightarrow {MA} $ + $\overrightarrow {MB} $) - 3$\overrightarrow {MC} $ = (-x - 4; -y - 19) và $\overrightarrow {MB} $ - $\overrightarrow {MC} $ = (-3; -8).
Khi đó: (1) ⇔ (-x - 4)$^2$ + (-y - 19)$^2$ = (-3)$^2$ + (-8)$^2$ ⇔ (x + 4)$^2$ + (y + 19)$^2$ = 73.
Đặt I(-4; -19), ta được: IM2 = 73 ⇔ M thuộc đường tròn tâm I(-4, -19), bán kính R = $\sqrt {73} $.
Nhận xét: Như vậy, trong ví dụ trên chúng ta đã thực hiện việc xác định điểm dựa trên các đẳng thức về vectơ, độ dài cho trước. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp chúng ta cần đi thiết lập các đẳng thức đó dựa trên tính chất của điểm cần xác định.

Thí dụ 3: Cho ΔABC cân tại A, biết A(a; $3a\sqrt 7 $ - $3\sqrt 7 $), B(1; 0), C(2a - 1; 0) và A thuộc góc phần tư thứ nhất.
a. Xác định toạ độ các đỉnh của ΔABC, biết rằng p = 9 (p là nửa chu vi).
b. Tìm toạ độ điểm M∈AB và N∈BC sao cho đường thẳng MN đồng thời chia đôi chu vi và chia đôi diện tích của ΔABC.
a. Ta có toạ độ các điểm: A(a; $3a\sqrt 7 $ - $3\sqrt 7 $), B(1; 0), C(2a - 1; 0),
đẳng thức vectơ.png
Từ giả thiết:
  • A∈P(I) ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}a \ge 0\\3a\sqrt 7 - 3\sqrt 7 \ge 0\end{array} \right.$ ⇔ a ≥ 1.
  • p = 9 ⇔ $\frac{{AB + BC + AC}}{2}$ = 9⇔ 2.8|a - 1| + 2|a - 1| = 18 ⇔ a = 2 hoặc a = 0 (loại).
Từ đó: A(2; $3\sqrt 7 $), B(1; 0), C(3; 0) ⇒ AB = AC = 8, BC = 2.

b. Ta cần tìm điểm M ∈ AB (tức là phải tìm x = BM, 0 ≤ x ≤ 8) sao cho trên cạnh BC tồn tại điểm N thoả mãn:
BN = p - x = 9 - x, 0 ≤ 9 - x ≤ 2 ⇔ 7 ≤ x ≤ 9, $\frac{{{S_{\Delta BMN}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}}$ = $\frac{1}{2}$. (1)
Từ (1) ta được: $\frac{{BM.BN}}{{AB.BC}}$ = $\frac{1}{2}$ ⇔ $\frac{{x(9 - x)}}{{8.2}}$ = $\frac{1}{2}$ ⇔ x$^2$ - 9x + 8 = 0 ⇔ $\left[ \begin{array}{l}x = 8\\x = 1\,(l)\end{array} \right.$.
Với x = 8 ⇒ M ≡ A(2; $3\sqrt 7 $) và N(2; 0) là trung điểm BC.

Chú ý: Bài toán trên có dạng tổng quát như sau "Cho ΔABC có các cạnh a, b, c (tương ứng với các đỉnh A, B, C và chu vi 2p), giả sử c ≤ b ≤ a. Tìm điểm M ∈ AB, N ∈ BC sao cho đường thẳng MN đồng thời chia đôi chu vi và chia đôi diện tích của ΔABC "
Phương pháp giải
Ta thực hiện theo các bước sau:
  1. Bước 1: Điểm M ∈ AB (tức là phải tìm x = BM, 0 ≤ x ≤ c) sao cho trên cạnh BC tồn tại điểm N thoả mãn: BN = p - x, 0 ≤ p - x ≤ và $\frac{{{S_{\Delta BMN}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}}$ = $\frac{1}{2}$. (1)
  2. Bước 2: Từ (1) ta được: $\frac{{BM.BN}}{{AB.BC}}$ = $\frac{1}{2}$ ⇔ $\frac{{x(p - x)}}{{c.a}}$ = $\frac{1}{2}$ ⇔ 2x$^2$ - 2px + ac = 0. (2)
  3. Bước 3: Giải (2) ta xác định được x, từ đó suy ra toạ độ các điểm M, N.
 
Sửa lần cuối:

Chương 7: Vector, tích vô hướng hai vecto

Lý thuyết vecto

Tọa độ vecto

Tích vô hướng

Góc trong tam giác