Dạng 3: Vị trí tương đối của điểm, đường thẳng và Parabol

Thí dụ 1. Cho Parabol (P): y$^2$ = 4x và (d): 2x - y - 4 = 0. Tìm các điểm M∈(d) để từ đó:
a. Không kẻ được tiếp tuyến nào tới (P).
b. Kẻ được một tiếp tuyến tới (P).
c. Kẻ được hai tiếp tuyến tới (P).
Với mỗi điểm M(x$_0$, y$_0$)∈(d), ta có: 2x$_0$ - y$_0$ - 4 = 0 ⇔ y$_0$ = 2x$_0$ - 4.
${P_{M/(P)}}$ = $y_0^2$ - 4x$_0$ = (2x$_0$ - 4)$^2$ - 4x$_0$ = 4$x_0^2$ - 20x$_0$ + 16.
a. Để từ M không kẻ được tiếp tuyến nào tới (P)⇔ ${P_{M/(P)}}$<0 ⇔ 4$x_0^2$ - 20x$_0$ + 16<0 ⇔ 1<x$_0$<4.
Vậy, tập hợp các điểm M(x$_0$, y$_0$)∈(d) có hoành độ thoả mãn 1<x$_0$<4 không kẻ được tiếp tuyến nào tới (P).

b. Để từ M kẻ được một tiếp tuyến tới (P)⇔ ${P_{M/(P)}}$ = 0 ⇔ 4$x_0^2$ - 20x$_0$ + 16 = 0 ⇔ $\left[ \begin{array}{l}{x_0} = 1\\{x_0} = 4\end{array} \right.$ ⇒ $\left[ \begin{array}{l}{M_1}(1, - 2)\\{M_2}(4,4)\end{array} \right.$.
Vậy, tồn tại hai điểm M1(1, - 2) và M2(4, 4) thuộc (d) từ đó kẻ được một tiếp tuyến tới (P).

c. Để từ M kẻ được hai tiếp tuyến tới (P)⇔ ${P_{M/(P)}}$>0 ⇔ 4$x_0^2$ - 20x$_0$ + 16>0 ⇔ $\left[ \begin{array}{l}{x_0} < 1\\{x_0} > 4\end{array} \right.$
Vậy, tập hợp các điểm M(x$_0$, y$_0$)∈(d) có hoành độ x$_0$∈( - ∞ , 1)∪ (4, + ∞ ) kẻ được hai tiếp tuyến tới (P).

Thí dụ 2. Cho Parabol và đường thẳng (d1) có phương trình ( P ) : y = x$^2$ - 2x + 2, (d1): x - y - 1 = 0. Lập phương trình đường thẳng (d) cùng phương với đường thẳng (d1) và cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho AB = 4.
Đường thẳng (d) cùng phương với đường thẳng (d1) có phương trình: (d): x - y + C = 0.
Toạ độ giao điểm A(xA, yA) và B(xB, yB) của (P) và (d) là nghiệm hệ: $\left\{ \begin{array}{l}y = {x^2} - 2x + 2\\x - y + C = 0\end{array} \right.$.
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) có dạng: x$^2$ - 3x + 2 - C = 0. (1)
Để (1) có hai nghiệm phân biệt điều kiện là: Δ ≥ 0 ⇔ 9 - 4(2 - C) ≥ 0 ⇔ C ≥ - \(\frac{1}{4}\).
Từ đó, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} = 3\\{x_A}.{x_B} = 2 - C\end{array} \right.$.
Với giả thiết AB = 4, ta được:
16 = (X$_A$ - X$_B$)$^2$ + (y$_A$ - y$_B$)$^2$ = (X$_A$ - X$_B$)$^2$ + [(X$_A$ + C) - (X$_B$ + C)]$^2$
= 2(X$_A$ - X$_B$)$^2$ = 2[(X$_A$ + X$_B$)$^2$ - 4X$_A$X$_B$] = 2[9 - 4(2 - C)] = 2(1 + 4C)
⇔ 1 + 4C = 8 ⇔ C = \(\frac{7}{4}\).
Vậy, đường thẳng (d) có phương trình x - y + \(\frac{7}{4}\) = 0.

Thí dụ 3. Cho Parabol (P): y$^2$ = 4x. Một đường thẳng bất kỳ đi qua tiêu điểm của (P) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ A và B đến trục của (P) là một đại lượng không đổi.
Parabol (P) có tiêu điểm F(1, 0).
Đường thẳng (d): ax + by + c = 0 đi qua F(1, 0) có dạng: (d): ax + by - a = 0.
Toạ độ giao điểm A(xA, yA) và B(xB, yB) của (P) và (d) là nghiệm hệ: $\left\{ \begin{array}{l}{y^2} = 4x\\ax + by - a = 0\end{array} \right.$.
Phương trình tung độ giao điểm của (P) và (d) có dạng: ay$^2$ + 4by - 4a = 0. (1)
Từ đó, ta có $\left\{ \begin{array}{l}{y_A} + {y_B} = - \frac{{4b}}{a}\\{y_A}.{y_B} = - 4\end{array} \right.$.
Khoảng cách từ A và B đến trục Ox theo thứ tự là: h$_1$ = |y$_A$|, h$_2$ = |y$_B$|.
Nhận xét tích h$_1$1.h$_2$ = |y$_A$.y$_B$| = 4.
Vậy, tích các khoảng cách từ A và B đến trục của (P) là một đại lượng không đổi.

Thí dụ 4. Cho Parabol (P) và Elíp (E) có phương trình: (P): y = x$^2$ - 2x và (E): $\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1$.
a. Chứng minh rằng (P) cắt (E) tại bốn điểm phân biệt A, B, C, D.
b. Lập phương trình đường tròn đi qua các giao điểm đó.
a. Xét hệ phương trình tạo bởi (P) và (E)
$\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 9{y^2} = 9\\y = {x^2} - 2x\end{array} \right.$ (I)
⇒ x$^2$ + 9(x$^2$ - 2x)$^2$ = 9⇔ f(x) = 9x4 - 36x3 + 37x$^2$ - 9 = 0. (1)
Ta có: f(-1) = 73 > 0, f(0) = -9 < 0, f(1) = 1 < 0, f(2) = -77 < 0, f(3) = 81 > 0
Do đó:

• f(-1).f(0) < 0 ⇒ phương trình (1) có một nghiệm thuộc (-1, 0).
• f(0).f(1) < 0 ⇒ phương trình (1) có một nghiệm thuộc (0, 1).
• f(1).f(2) < 0 ⇒ phương trình (1) có một nghiệm thuộc (1, 2).
• f(2).f(3) < 0 ⇒ phương trình (1) có một nghiệm thuộc (2, 3).

Vậy, phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt ⇔ (d)∩(P) = {A, B, C, D}.

b. Từ hệ (I), ta được : $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 9{y^2} = 9\\8({x^2} - 2x) = 8y\end{array} \right.$⇒ 9x$^2$ + 9y$^2$ - 16x - 8y - 9 = 0⇔ (x - $\frac{8}{9}$)$^2$ + (y - $\frac{4}{9}$)$^2$ = $\frac{{161}}{{81}}$. (*)
Nhận xét rằng toạ độ của A,B,C,D cùng thoả mãn (*).
Vậy, phương trình đường tròn đi qua A, B, C, D có dạng: (C): (x - $\frac{8}{9}$)$^2$ + (y - $\frac{4}{9}$)$^2$ = $\frac{{161}}{{81}}$.