Dạng 3: Vị trí tương đối của điểm, đường thẳng và elíp

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
#1
Phương pháp thực hiện
Để xác định vị trí tương đối của điểm M(x$_M$, y$_M$) với Elíp (E): (E): $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$.
Ta thực hiện theo các bước:
Bước 1: Xác định phương tích của M đối với Elíp (E) là: P$_{M/(E)}$ = $\frac{{x_M^2}}{{{a^2}}} + \frac{{y_M^2}}{{{b^2}}}$.
Bước 2: Kết luận:
  • Nếu P$_{M/(E)}$<1 ⇔ M nằm trong Elíp.
  • Nếu P$_{M/(E)}$ = 1 ⇔ M nằm trên Elíp.
  • Nếu P$_{M/(E)}$>1 ⇔ M nằm ngoài Elíp.
Chú ý:
1. Ta có các kết quả sau
:
  • Nếu M nằm trong (E) ⇒ không tồn tại tiếp tuyến của (E) đi qua M nhưng khi đó mọi đường thẳng qua M đều cắt (E) tại 2 điểm phân biệt.
  • Nếu M nằm trên (E) ⇒ tồn tại duy nhất 1 tiếp tuyến của (E) đi qua M (phương trình tiếp tuyến có được bằng phương pháp phân đôi toạ độ).
  • Nếu M nằm ngoài (E) ⇒ tồn tại hai tiếp tuyến của (E) đi qua M.
2. Bằng việc xét hệ phương trình tạo bởi (E) và (d), khi đó số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của (d) và (E).

3. Với hai Elíp (E1) và (E2) có phương trình: (E1): $\frac{{{x^2}}}{{a_1^2}} + \frac{{{y^2}}}{{b_1^2}} = 1$ và (E2): $\frac{{{x^2}}}{{a_2^2}} + \frac{{{y^2}}}{{b_2^2}} = 1$.
Nếu (E1) ∩(E2) = {A, B, C, D} thì
  • a. ABCD là hình chữ nhật.
  • b. Phương trình đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD là đường tròn (C) tâm O bán kính R = OA có phương trình: (C): x$^2$ + y$^2$ = $\frac{{a_1^2a_2^2(b_1^2 - b_2^2) + b_1^2b_2^2(a_2^2 - a_1^2)}}{{a_2^2b_1^2 - a_1^2b_2^2}}$.

Thí dụ 1. Cho điểm M(1, 1) và Elíp (E) có phương trình: (E): $\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4}$ = 1.
a. Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua M luôn cắt (E) tại hai điểm phân biệt.
b. Lập phương trình đường thẳng (d) qua M và cắt Elíp trên tại hai điểm A, B sao cho MA = MB.
a. Nhận xét rằng: P$_{M/(E)}$ = $\frac{1}{9} + \frac{1}{4}$ = $\frac{{13}}{{36}}$<1 ⇔ M nằm trong Elíp do đó mọi đường thẳng đi qua M luôn cắt (E) tại hai điểm phân biệt.

b. Nhận xét rằng đường thẳng (d) không thể song song với Oy, do đó giả sử (d) có hệ số góc k, ta được: y = k(x - 1) + 1 ⇔ (d): y = kx - k + 1. (1)
Toạ độ giao điểm A, B của (d) và (E) là nghiệm của hệ phương trình : $\left\{ \begin{array}{l}4{x^2} + 9{y^2} = 36\\y = kx - k + 1\end{array} \right.$⇒ 4x$^2$ + 9(kx - k + 1)$^2$ = 36 ⇔ (4 + 9k$^2$)x$^2$ - 18k(k - 1)x + 9k$^2$ - 18k - 27 = 0 (2)
Phương trình (2) luôn có hai nghiệm phân biệt x$_A$, x$_B$ thoả mãn: $\left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} = \frac{{18k(k - 1)}}{{4 + 9{k^2}}}\\{x_A}.{x_B} = \frac{{9{k^2} - 18k - 27}}{{4 + 9{k^2}}}\end{array} \right.$.
Theo giả thiết MA = MB ⇔ x$_A$ + x$_B$ = 2x$_M$ ⇔ $\frac{{18k(k - 1)}}{{4 + 9{k^2}}}$ = 2 ⇔ k = -$\frac{4}{9}$.
Thay k = -$\frac{4}{9}$ vào (1), ta được đường thẳng (d): 4x + 9y - 13 = 0.

Thí dụ 2. Xét vị trí tương đối của đường thẳng (d) và Elíp (E) , biết:
a. (d): x - y - 3 = 0 và (E): $\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1$.
b. (d): 2x + y - 5 = 0 và (E): $\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1$.
c. (d): 2x - y = 0 và (E): $\frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{y^2}}}{8} = 1$.
a. Xét hệ phương trình tạo bởi (E) và (d): $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 4{y^2} = 4\\x - y - 3 = 0\end{array} \right.$ ⇒ 5y$^2$ + 6y + 5 = 0 (*)
Phương trình (*) vô nghiệm ⇔ (d)∩(E) = {∅}.

b. Xét hệ phương trình tạo bởi (E) và (d): $\left\{ \begin{array}{l}9{x^2} + 4{y^2} = 36\\2x + y - 5 = 0\end{array} \right.$ ⇒ 25x$^2$ - 40x + 64 = 0 ⇔ x = $\frac{8}{5}$⇒ y = $\frac{9}{5}$
Vậy (d) tiếp xúc với (E) tại điểm M($\frac{8}{5}$,$\frac{9}{5}$).

c. Xét hệ phương trình tạo bởi (E) và (d): $\left\{ \begin{array}{l}4{x^2} + {y^2} = 8\\2x - y = 0\end{array} \right.$ ⇒ x$^2$ = 1 ⇔ $\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\end{array} \right.$ ⇒ $\left[ \begin{array}{l}{M_1}(1,2)\\{M_2}( - 1, - 2)\end{array} \right.$.
Vậy, ta được (d)∩(E) = {M1, M2}.

Thí dụ 3. Cho điểm M(1; -$\frac{1}{2}$) và Elíp (E): $\frac{{{x^2}}}{8} + \frac{{{y^2}}}{2} = 1$. Lập phương trình đường thẳng (d) qua M cắt (E) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho:
a. M là trung điểm AB.
b. AB = $\sqrt {20} $.
Từ đó, lập phương trình đường tròn đường kính AB trong mỗi trường hợp.
a. Nhận xét rằng đường thẳng (d) không thể song song với Oy, do đó giả sử (d) có hệ số góc k, ta được: y = k(x - 1) - $\frac{1}{2}$ ⇔ (d): 2y = 2kx - 2k - 1. (1)
Toạ độ giao điểm A, B của (d) và (E) là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 4{y^2} = 8\\2y = 2kx - 2k - 1\end{array} \right.$⇒ x$^2$ + (2kx - 2k - 1)$^2$ = 8 ⇔ (1 + 4k$^2$)x$^2$ - 4k(2k + 1)x + 4k$^2$ + 4k - 7 = 0 (2)
Phương trình (2) luôn có hai nghiệm phân biệt xA, xB thoả mãn: $\left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} = \frac{{4k(2k + 1)}}{{1 + 4{k^2}}}\\{x_A}.{x_B} = \frac{{4{k^2} + 4k - 7}}{{1 + 4{k^2}}}\end{array} \right.$.
Theo giả thiết MA = MB⇔ x$_A$ + x$_B$ = 2x$_M$ ⇔ $\frac{{4k(2k + 1)}}{{1 + 4{k^2}}}$ = 2 ⇔ k = $\frac{1}{2}$.
Thay k = $\frac{1}{2}$ vào (1), ta được phương trình đường thẳng (d): x - y - 2 = 0.

b. Vô nghiệm do AB lớn hơn độ dài trục chính.
Chú ý: Với câu a) ta có thể sử dụng cách giải khác như sau: Lấy A(x$_0$, y$_0$) ∈ (E), và vì B đối xứng với A qua M nên B(2 - x$_0$; - 1 - y$_0$). Khi đó:
$\left\{ \begin{array}{l}x_0^2 + 4y_0^2 = 8\\{x_0} - {y_0} = 2\end{array} \right.$ ⇒ toạ độ của A, B.
Lập phương trình đường thẳng qua A và B.

Thí dụ 4. Cho 2 Elíp (E$_1$) và (E$_2$) (E1) và (E2) có phương trình: (E1): $\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1$ và (E2): $\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1$
a. Chứng minh rằng (E$_1$) ∩(E$_2$) (E1) ∩(E2) = {A, B, C, D} và ABCD là hình chữ nhật.
b. Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD.
a. Từ hình vẽ suy ra ngay (E$_1$) ∩(E$_2$) = {A, B, C, D}
Nhận xét rằng A, B, C, D đối xứng qua O và AB//CD//Ox, AD//BC//Oy ⇒ ABCD là hình chữ nhật.

b. Hình chữ nhật ABCD nội tiếp trong đường tròn (C) tâm O bán kính R = OA.
thuoc-tinh-cua-elip-png.1305
Toạ độ điểm A(x$_A$, y$_A$) là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}4{x^2} + 9{y^2} = 36\\{x^2} + 16{y^2} = 16\end{array} \right.$⇔ $\left\{ \begin{array}{l}x_A^2 = \frac{{432}}{{55}}\\y_A^2 = \frac{{28}}{{55}}\end{array} \right.$ ⇒ R2 = $x_A^2 + y_A^2$ = $\frac{{92}}{{11}}$.
Vậy, phương trình đường tròn đi qua A, B, C, D có phương trình:
(C): x$^2$ + y$^2$ = $\frac{{92}}{{11}}$.
 
Sửa lần cuối:

Bình luận bằng Facebook