Dạng 3: Tính giới hạn bằng định nghĩa hoặc tại một điểm

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
TÍNH GIỚI HẠN DẠNG BẰNG ĐỊNH NGHĨA HOẶC TẠI MỘT ĐIỂM
Phương pháp:

  • Sử dụng định nghĩa chuyển giới hạn của hàm số về giới hạn của dãy số.
  • Nếu f(x) là hàm số cho bởi một công thức thì giá trị giới hạn bằng $f({x_0})$.
  • Nếu f(x) cho bởi nhiều công thức, khi đó ta sử dụng điều kiện để hàm số có giới hạn ( Giới hạn trái bằng giới hạn phải).

Câu 1. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{{x^3} + 2{x^2} + 1}}{{2{x^5} + 1}}\) là:
A. - 2.
B. - 1/2.
C. 1/2.
D. 2.
Chọn A
Cách 1: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{{x^3} + 2{x^2} + 1}}{{2{x^5} + 1}} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^3} + 2.{{\left( { - 1} \right)}^2} + 1}}{{2{{\left( { - 1} \right)}^5} + 1}} = - 2\)
Cách 2: Bấm máy tính như sau: \(\frac{{{x^3} + 2{x^2} + 1}}{{2{x^5} + 1}}\) + CACL + \(x = - 1 + {10^{ - 9}}\) và so đáp án.
Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: ${\left. {\lim \frac{{{x^3} + 2{x^2} + 1}}{{2{x^5} + 1}}} \right|_{x \to - 1 + {{10}^{ - 9}}}}$ và so đáp án.
Câu 2. $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{4{x^3} - 1}}{{3{x^2} + x + 2}}$ bằng:
A. - ∞.
B. - 11/4.
C. 11/4.
D. + ∞
Chọn B
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{4{x^3} - 1}}{{3{x^2} + x + 2}} = - \frac{{11}}{4}$.
Câu 3. Tìm giới hạn hàm số \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x + 1}}{{x - 2}}\) bằng định nghĩa.
A. + ∞
B. - ∞
C. - 2
D. 1
Chọn C
Với mọi dãy \(({x_n}):\lim {x_n} = 1\) ta có: \(\lim \frac{{{x_n} + 1}}{{{x_n} - 2}} = - 2\)Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x + 1}}{{x - 2}} = - 2\).
Câu 4. Tìm giới hạn hàm số \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {{x^3} + 1} \right)\) bằng định nghĩa.
A. + ∞
B. - ∞
C. 9
D. 1
Chọn C
Câu 5. Tìm giới hạn hàm số \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {x + 3} - 2}}{{x - 1}}\) bằng định nghĩa.
A. + ∞
B. - ∞
C. - 2
D. 1/4
Chọn D
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {x + 3} - 2}}{{x - 1}} = \frac{1}{4}\)
Câu 6. Tìm giới hạn hàm số \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x + 3}}{{x - 2}}\) bằng định nghĩa.
A. + ∞
B. - ∞
C. - 2
D. 1
Chọn D
Câu 7. Tìm giới hạn hàm số \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2{x^2} - x + 1}}{{x + 2}}\) bằng định nghĩa.
A. + ∞
B. - ∞
C. - 2
D. 1
Chọn
B.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2{x^2} - x + 1}}{{x + 2}} = - \infty \)
Câu 8. Tìm giới hạn hàm số \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{3x + 2}}{{2x - 1}}\) bằng định nghĩa.
A. + ∞
B. - ∞
C. 5
D. 1
Chọn C
Với mọi dãy \(\left( {{x_n}} \right):\lim {x_n} = 2\) ta có:\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{3x + 2}}{{2x - 1}} = \lim \frac{{3{x_n} + 2}}{{2{x_n} - 1}} = \frac{{3.1 + 2}}{{2.1 - 1}} = 5\)
Câu 9. Cho hàm số \(f(x) = \sqrt {\frac{{4{x^2} - 3x}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {{x^3} - 2} \right)}}} \). Chọn kết quả đúng của \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x)\):
A. \(\frac{5}{9}\).
B. \(\frac{{\sqrt 5 }}{3}\).
C. \(\frac{{\sqrt 5 }}{9}\).
D. \(\frac{{\sqrt 2 }}{9}\).
Chọn
B.
Cách 1: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \sqrt {\frac{{4{x^2} - 3x}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {{x^3} - 2} \right)}}} = \sqrt {\frac{{{{4.2}^2} - 3.2}}{{\left( {2.2 - 1} \right)\left( {{2^3} - 2} \right)}}} = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\)
Cách 2: Bấm máy tính như sau: \(\sqrt {\frac{{4{x^2} - 3x}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {{x^3} - 2} \right)}}} \) + CACL + \(x = 2 + {10^{ - 9}}\) và so đáp án.
Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: ${\left. {\lim \sqrt {\frac{{4{x^2} - 3x}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {{x^3} - 2} \right)}}} } \right|_{x \to 2 + {{10}^{ - 9}}}}$ và so đáp án.
Cách 2: Bấm máy tính như sau: Chuyển qua chế độ Rad + \(\frac{{\cos 5x}}{{2x}}\) + CACL + \(x = - {10^9}\) và so đáp án.
Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: chuyển chế độ Rad + ${\left. {\lim \frac{{\cos 5x}}{{2x}}} \right|_{x \to - {{10}^9}}}$ và so đáp án.
Câu 10. Tìm giới hạn hàm số \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {x + 4} - 2}}{{2x}}\) bằng định nghĩa.
A. + ∞
B. 1/8
C. - 2
D. 1
Chọn
B.
Với mọi dãy \(\left( {{x_n}} \right):\lim {x_n} = 0\) ta có:
$\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {x + 4} - 2}}{{2x}} = \mathop {\lim }\limits_{} \frac{{\sqrt {{x_n} + 4} - 2}}{{2{x_n}}} = \lim \frac{{{x_n}}}{{2{x_n}\left( {\sqrt {{x_n} + 4} + 2} \right)}}\\
= \lim \frac{1}{{2\left( {\sqrt {{x_n} + 4} + 2} \right)}} = \frac{1}{8}
\end{array}$
Câu 11. Tìm giới hạn hàm số \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{4x - 3}}{{x - 1}}\) bằng định nghĩa.
A. + ∞
B. - ∞
C. - 2
D. 1
Chọn A
Với mọi dãy \(({x_n}):{x_n} > 1,{\rm{ }}\forall n\) và \(\lim {x_n} = 1\) ta có:\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{4x - 3}}{{x - 1}} = \lim \frac{{4{x_n} - 3}}{{{x_n} - 1}} = + \infty \).
Câu 12. Tìm giới hạn hàm số \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{3x - 1}}{{x - 2}}\) bằng định nghĩa.
A. + ∞
B. - ∞
C. - 2
D. 1
Chọn
B.
Với mọi dãy \(({x_n}):{x_n} < 2,{\rm{ }}\forall n\) và \(\lim {x_n} = 2\) ta có:\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{3x - 1}}{{x - 2}} = \lim \frac{{3{x_n} - 1}}{{{x_n} - 2}} = - \infty \).
Câu 13. Tìm giới hạn hàm số \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2{x^2} + x - 3}}{{x - 1}}\) bằng định nghĩa.
A. + ∞
B. 5
C. - 2
D. 1
Chọn
B.
Với mọi dãy \(({x_n}):\lim {x_n} = 1\) ta có:\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2{x^2} + x - 3}}{{x - 1}} = \lim \frac{{2x_n^2 + {x_n} - 3}}{{{x_n} - 1}} = \lim \left( {2{x_n} + 3} \right) = 5\).
Câu 14. Tìm giới hạn hàm số \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x + 1}}{{{{\left( {2 - x} \right)}^4}}}\) bằng định nghĩa.
A. + ∞
B. - ∞
C. - 2
D. 1
Chọn A
Câu 15. Tìm giới hạn hàm số \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3{x^2}}}{{2{x^2} + 1}}\) bằng định nghĩa.
A. + ∞
B. - ∞
C. 3/2
D. 1
Chọn C
Đáp số: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3{x^2}}}{{2{x^2} + 1}} = \frac{3}{2}\)
Câu 16. Tìm giới hạn hàm số \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{x^2} + x - 1} \right)\) bằng định nghĩa.
A. + ∞
B. - ∞
C. - 2
D. 1
Chọn A
Câu 17. Tìm giới hạn hàm số \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{{x^2} - 4}}{{\sqrt {\left( {{x^4} + 1} \right)\left( {2 - x} \right)} }}\) bằng định nghĩa.
A. + ∞
B. - ∞
C. 0
D. 1
Chọn C
Câu 18. Tìm giới hạn hàm số \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{{x^2} + 3x + 2}}{{\left| {x + 1} \right|}}\) bằng định nghĩa.
A. + ∞
B. - ∞
C. - 2
D. - 1
Chọn D
Do \(x \to - {1^ - } \Rightarrow \left| {x + 1} \right| = - (x + 1)\). Đáp số: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{{x^2} + 3x + 2}}{{\left| {x + 1} \right|}} = - 1\).
Câu 19. Tìm giới hạn hàm số $A = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x + 1}}$ bằng định nghĩa.
A. + ∞
B. - ∞
C. 1/2
D. 1
Chọn C
Ta có:$A = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x + 1}} = \frac{{1 - 1 + 1}}{{1 + 1}} = \frac{1}{2}$.
Câu 20. Tìm giới hạn hàm số $B = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{6}} \frac{{2\tan x + 1}}{{\sin x + 1}}$ bằng định nghĩa.
A. + ∞
B. - ∞
C. \(\frac{{4\sqrt 3 + 6}}{9}\)
D. 1
Chọn C
Ta có $B = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{6}} \frac{{2\tan x + 1}}{{\sin x + 1}} = \frac{{2\tan \frac{\pi }{6} + 1}}{{\sin \frac{\pi }{6} + 1}} = \frac{{4\sqrt 3 + 6}}{9}$.
Câu 21. Tìm giới hạn hàm số $C = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[3]{{x + 2}} - x + 1}}{{3x + 1}}$ bằng định nghĩa.
A. + ∞
B. - ∞
C. \(\sqrt[3]{2} + 1\)
D. 1
Chọn C
Ta có: $C = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[3]{{x + 2}} - x + 1}}{{3x + 1}} = \sqrt[3]{2} + 1$.
Câu 22. Tìm giới hạn hàm số \(D = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt[3]{{7x + 1}} + 1}}{{x - 2}}\) bằng định nghĩa.
A. + ∞
B. - ∞
C. - 2
D. \( - 3\)
Chọn D
Ta có: \(D = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt[3]{{7x + 1}} + 1}}{{x - 2}} = \frac{{\sqrt[3]{8} + 1}}{{1 - 2}} = - 3\).
Câu 23. Tìm giới hạn hàm số $A = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 4}}$ bằng định nghĩa.
A. + ∞
B. - ∞
C. - 1/6
D. 1
Chọn C
Câu 24. Tìm giới hạn hàm số $B = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{6}} \frac{{{{\sin }^2}2{\rm{x}} - 3\cos x{\rm{ }}}}{{\tan x}}$ bằng định nghĩa.
A. + ∞
B. - ∞
C. \(\frac{{3\sqrt 3 }}{4} - \frac{9}{2}\)
D. 1
Chọn C
Câu 25. Tìm giới hạn hàm số $C = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {2{x^2} - x + 1} - \sqrt[3]{{2x + 3}}}}{{3{x^2} - 2}}$ bằng định nghĩa.
A. + ∞
B. - ∞
C. \(\frac{{3\sqrt 3 }}{4} - \frac{9}{2}\)
D. \(\sqrt 2 - \sqrt[3]{5}\)
Chọn D
Câu 26. Tìm giới hạn hàm số $D = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {3x + 1} - 2}}{{\sqrt[3]{{3x + 1}} - 2}}$ bằng định nghĩa.
A. + ∞
B. - ∞
C. - 1/6
D. 0
Chọn D
Câu 27. Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 3\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,\,x \ge 2\\x - 1\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,\,x < 2\end{array} \right.\). Chọn kết quả đúng của \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right)\):
A. - 1.
B. 0.
C. 1.
D. Không tồn tại.
Chọn C
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {{x^2} - 3} \right) = 1\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {x - 1} \right) = 1\)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = 1\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = 1\).
Câu 28. Tìm a để hàm số sau có giới hạn khi $x \to 2$$f(x) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + ax + 1{\rm{ khi }}x > 2\\2{x^2} - x + 1{\rm{ khi }}x \le 2\end{array} \right.$.
A. + ∞
B. - ∞
C. 1/2
D. 1
Chọn C
Ta có:$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} ({x^2} + ax + 2) = 2a + 6$.$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} (2{x^2} - x + 1) = 7$.
Hàm số có giới hạn khi$x \to 2 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x)$$ \Leftrightarrow 2a + 6 = 7 \Leftrightarrow a = \frac{1}{2}$. Vậy a = 1/2 là giá trị cần tìm.
Câu 29. Tìm a để hàm số sau có giới hạn tại $x = 0$$f(x) = \left\{ \begin{array}{l}5a{x^2} + 3x + 2a + 1{\rm{ }}khi{\rm{ }}x \ge 0\\1 + x + \sqrt {{x^2} + x + 2} {\rm{ }}khi{\rm{ }}x < 0\end{array} \right.$.
A. + ∞
B. - ∞
C. \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
D. 1
Chọn C
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = 2a + 1 = 1 + \sqrt 2 = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) \Rightarrow a = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Câu 30. Tìm a để hàm số. \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}5a{x^2} + 3x + 2a + 1{\rm{ }}khi{\rm{ }}x \ge 0\\1 + x + \sqrt {{x^2} + x + 2} {\rm{ }}khi{\rm{ }}x < 0\end{array} \right.\) có giới hạn tại x → 0
A. + ∞
B. - ∞
C. \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
D. 1
Chọn C
Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {5a{x^2} + 3x + 2a + 1} \right) = 2a + 1$
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {1 + x + \sqrt {{x^2} + x + 2} } \right) = 1 + \sqrt 2 \)
Vậy \(2a + 1 = 1 + \sqrt 2 \Leftrightarrow a = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Câu 31. Tìm a để hàm số. \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + ax + 1{\rm{ khi }}x > 1\\2{x^2} - x + 3a{\rm{ khi }}x \le 1\end{array} \right.\) có giới hạn khi x → 1.
A. + ∞
B. - ∞
C. - 1/6
D. 1
Chọn D
Ta có:\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} ({x^2} + ax + 2) = a + 3\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} (2{x^2} - x + 3a) = 3a + 1\).
Hàm số có giới hạn khi \(x \to 1 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x)\)
\( \Leftrightarrow a + 3 = 3a + 1 \Leftrightarrow a = 1\). Vậy a = 1 là giá trị cần tìm.