Phương pháp thực hiện
Để giải và biện luận phương trình:ax$^4$ + bx$^2$ + c = 0 (1)
ta thực hiện các bước:
b. Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt <=> (2) có nghiệm t1 < 0 < t2.
c. Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt <=> (2) có nghiệm 0 = t1 < t2.
d. Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt <=> (2) có nghiệm 0 = t1 < t2.
* Chú ý:
<=>-$\sqrt {{t_2}} $ < -$\sqrt {{t_1}} $ < $\sqrt {{t_1}} $ < 1 < 2 < $\sqrt {{t_2}} $
<=> 0 < t1 < 1 < 4 < t2.
Để giải và biện luận phương trình:ax$^4$ + bx$^2$ + c = 0 (1)
ta thực hiện các bước:
- Bước 1: Đặt t = x$^2$ với điều kiện t ≥ 0.
- Bước 2: Khi đó, phương trình được biến đổi về dạng: at$^2$ + bt + c = 0.(2)
- Bước 3: Khi đó:
b. Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt <=> (2) có nghiệm t1 < 0 < t2.
c. Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt <=> (2) có nghiệm 0 = t1 < t2.
d. Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt <=> (2) có nghiệm 0 = t1 < t2.
* Chú ý:
- Các đánh giá trên nhận được thông qua nhận xét nếu phương trình (2) có nghiệm t0 ≥ 0 thì phương trình (1) có nghiệm x = ±$\sqrt {{t_0}} $.
- Cũng thông qua nhận xét này chúng ta thiết lập được điều kiện cho nghiệm t của phương trình (2) trong trường hợp bài toán yêu cầu điều kiện nghiệm x của phương trình (1).
<=>-$\sqrt {{t_2}} $ < -$\sqrt {{t_1}} $ < $\sqrt {{t_1}} $ < 1 < 2 < $\sqrt {{t_2}} $
<=> 0 < t1 < 1 < 4 < t2.
Thí dụ: Cho phương trình: x$^4$-(m + 2)x$^2$ + m = 0. (1)
Tìm m để phương trình:
a. Có nghiệm duy nhất.
b. Có hai nghiệm phân biệt.
c. Có ba nghiệm phân biệt.
d. Có bốn nghiệm phân biệt.
Giải
Đặt t = x$^2$ với điều kiện t ≥ 0.Khi đó, phương trình được biến đổi về dạng:
f(t) = t$^2$-(m + 2)t + m = 0. (2)
a. Phương trình (1) có nghiệm duy nhất
<=> (2) có nghiệm t1 ≤ 0 = t2 <=> $\left\{ \begin{array}{l}S \le 0\\P = 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}m + 2 \le 0\\m = 0\end{array} \right.$, vô nghiệm.
Vậy, không tồn tại m thoả mãn điều kiện đầu bài.
b. Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
<=> (2) có nghiệm t1 < 0 < t2 <=> a.c < 0 <=> m < 0.
Vậy, với m < 0 thoả mãn điều kiện đầu bài.
c. Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt
<=> (2) có nghiệm 0 = t1 < t2 $ \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\P = 0\\S > 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 4 > 0\\m = 0\\m + 2 > 0\end{array} \right.$ <=> m = 0.
Vậy, với m = 0 thoả mãn điều kiện đầu bài.
d. Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt
<=> (2) có nghiệm 0 < t1 < t2 $ \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\P > 0\\S > 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 4 > 0\\m > 0\\m + 2 > 0\end{array} \right.$ <=> m > 0.
Vậy, với m > 0 thoả mãn điều kiện đầu bài.
Sửa lần cuối: