Dạng 3: Giải hệ hệ phương trình đối xứng loại II

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Phương pháp áp dụng
Phương pháp chung để giải và biện luận hệ đối xứng loại II bao gồm các bước:
Bước 1: Trừ từng vế của hai phương trình bao giờ cũng thu được phương trình tích.
(x-y)f(x, y) = 0 <=> $\left[ \begin{array}{l}x = y\\f(x,y) = 0\end{array} \right.$.
Bước 2: Giải hệ cho từng trường hợp.
* Chú ý: Ngoài phương pháp chung để giải hệ đối xứng loại II được trình bày ở trên, trong nhiều trường hợp ta còn sử dụng các phương pháp:
1. Phương pháp điều kiện cần và đủ: được áp dụng rất tốt cho hệ với yêu cầu "Tìm giá trị của tham số để hệ có nghiệm duy nhất". Khi đó ta thực hiện theo các bước:
Bước 1: Điều kiện cần
* Nhận xét rằng, nếu hệ có nghiệm (x$_0$; y$_0$) thì (y$_0$; x$_0$) cũng là nghiệm của hê, do đó hệ có nghiệm duy nhất khi:
x$_0$ = y$_0$. (**)
* Thay (**) vào hệ ta được giá trị của tham số . Đó chính là điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất.
Bước 2: Điều kiện đủ.
2. Phương pháp đồ thị.

Thí dụ 1. Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 3xy = 4y\\{y^2} - 3xy = 4x\end{array} \right.$.
Trừ từng vế hệ phương trình, ta được: (x$^2$ - y$^2$) = -4(x - y) <=> (x - y)(x + y + 4) = 0 <=> $\left[ \begin{array}{l}x = y\\y = - 4 - x\end{array} \right.$.
Ta lần lượt:
  • Với x = y, hệ phương trình tương đương với: $\left\{ \begin{array}{l}x = y\\{x^2} - 3{x^2} = 4x\end{array} \right.$ <=> $\left\{ \begin{array}{l}x = y\\{x^2} + 2x = 0\end{array} \right.$ <=> $\left[ \begin{array}{l}x = y = 0\\x = y = - 2\end{array} \right.$.
  • Với y = -4 - x, hệ phương trình tương đương với: $\left\{ \begin{array}{l}y = - 4 - x\\{x^2} - 3x( - 4 - x) = 4( - 4 - x)\end{array} \right.$<=> $\left\{ \begin{array}{l}y = - 4 - x\\{x^2} + 4x + 4 = 0\end{array} \right.$ <=> x = y = -2.
Vậy, hệ có nghiệm (0; 0) và (-2; -2).

Thí dụ 2. Cho hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}xy + {x^2} = m(y - 1)\\xy + {y^2} = m(x - 1)\end{array} \right.$.
a. Giải hệ phương trình với m = -1.
b. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Trừ từng vế hệ phương trình, ta được: x$^2$ - y$^2$ = -m(x - y) <=> (x - y)(x + y + m) = 0 <=> $\left[ \begin{array}{l}x = y\\y = - m - x\end{array} \right.$.
Khi đó, hệ phương trình tương đương với: $\left\{ \begin{array}{l}x = y\\2{x^2} - mx + m = 0\,\,\,\,\,(1)\end{array} \right.\,\,\,\,(I)$ hoặc $\left\{ \begin{array}{l}y = - m - x\\{m^2} + m = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\,\,\,\,(II)$

a. Với m = -1, ta được:
(I) <=> $\left\{ \begin{array}{l}x = y\\2{x^2} + x - 1 = 0\end{array} \right.$<=> $\left[ \begin{array}{l}x = y = - 1\\x = y = 1/2\end{array} \right.$.
(II) <=> $\left\{ \begin{array}{l}y = 1 - x\\0 = 0\end{array} \right.$ vô số nghiệm.
Vậy, với m = -1 hệ có các nghiệm là (-1; -1), ($\frac{1}{2}$; $\frac{1}{2}$) và $\left\{ \begin{array}{l}y = 1 - x\\x\,\,t{\rm{\"i y}}\,\,{\rm{\'y }}\end{array} \right.$.

b. Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ như sau:
Điều kiện cần: Nhận xét rằng nếu hệ có nghiệm (x$_0$; y$_0$) thì cũng có nghiệm (y$_0$; x$_0$), do đó hệ có nghiệm duy nhất thì x$_0$ = y$_0$. Khi đó:
(1) <=> 2$x_0^2$ - mx$_0$ + m = 0. (3)
Do x$_0$ duy nhất nên phương trình (3) có nghiệm duy nhất Δ'$_{(3)}$ = 0 <=> m$^2$ - 8m = 0 <=> m = 0 hoặc m = 8. Đó chính là điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất.
Điều kiện đủ: Ta lần lượt: Với m = 0, hệ có dạng: $\left\{ \begin{array}{l}xy + {x^2} = 0\\xy + {y^2} = 0\end{array} \right.$.
Ta thấy hệ có vô số nghiệm thoả mãn y = -x => loại.
Với m = 8, hệ có dạng: $\left\{ \begin{array}{l}xy + {x^2} = 8(y - 1)\\xy + {y^2} = 8(x - 1)\end{array} \right.$ <=> $\left\{ \begin{array}{l}xy + {x^2} = 8(y - 1)\\\left[ \begin{array}{l}x = y\\y = - 8 - x\end{array} \right.\end{array} \right.$<=> $\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = y\\2{x^2} - 8x + 8 = 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = - 8 - x\\72 = 0\end{array} \right.\end{array} \right.$ <=> x = y = 2 là nghiệm duy nhất.
Vậy, với m = 8 hệ có nghiệm duy nhất.
 
Sửa lần cuối:

Chương 3: Phương trình và hệ phương trình

Lý thuyết phương trình, hệ phương trình

Phương trình nâng cao

Phương trình và hệ phương trình

Hệ phương trình nâng cao