Bạn hẳn chưa biết chứng minh hai mặt phẳng vuông góc? chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng? Không có gì phải lo lắng cả bời bài viết này là dành cho bạn. Với phần phương pháp sẽ hệ thống toàn bộ những lý thuyết quan trọng, phàn bài tập rèn luyện kĩ năng giải toán. Nào chúng ta cùng bắt đầu
Ví dụ vận dụng
Câu 1: Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ (BCD). Trong ΔBCD vẽ các đường cao BE và DF cắt nhau ở O. Trong (ADC) vẽ DK ⊥ AC tại K. Khẳng định nào sau đây sai ?
A. (ADC) ⊥ (ABE).
B. (ADC) ⊥ (DFK).
C. (ADC) ⊥ (ABC).
D. (BDC) ⊥ (ABE).
* Ta có $\left. \begin{array}{l}CD \bot BE\\CD \bot AB\end{array} \right\} \Rightarrow \begin{array}{*{20}{c}}{}\\{\left. \begin{array}{l}CD \bot \left( {ABE} \right)\\CD \subset \left( {ADC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {ADC} \right) \bot \left( {ABE} \right)}\end{array}$.
Vậy “$\left( {ADC} \right) \bot \left( {ABE} \right)$”: ĐÚNG.
* $\left. \begin{array}{l}DF \bot BC\\DF \bot AB\end{array} \right\} \Rightarrow \begin{array}{*{20}{c}}{}\\{\left. \begin{array}{l}DF \bot \left( {ABC} \right)\\SC \subset \left( {ABC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \begin{array}{*{20}{c}}{}\\{\left. \begin{array}{l}DF \bot AC\\DK \bot AC\end{array} \right\} \Rightarrow \begin{array}{*{20}{c}}{}\\{\left. \begin{array}{l}AC \bot \left( {DFK} \right)\\AC \subset \left( {ADC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {ADC} \right) \bot \left( {DFK} \right)}\end{array}}\end{array}}\end{array}$.
Vậy “$\left( {ADC} \right) \bot \left( {DFK} \right)$”: ĐÚNG.
* Ta có $\left. \begin{array}{l}CD \bot BE\\CD \bot AB\end{array} \right\} \Rightarrow \begin{array}{*{20}{c}}{}\\{\left. \begin{array}{l}CD \bot \left( {ABE} \right)\\CD \subset \left( {BDC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {BDC} \right) \bot \left( {ABE} \right)}\end{array}$.
Vậy “$\left( {BDC} \right) \bot \left( {ABE} \right)$”: ĐÚNG.
* “$\left( {ADC} \right) \bot \left( {ABC} \right)$”: SAI
Chọn C
Câu 2: Cho tứ diện ABCD có hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) cùng vuông góc với (DBC). Gọi BE và DF là hai đường cao của tam giác BCD, DK là đường cao của tam giác ACD. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?
A. (ABE) ⊥ (ADC).
B. (ABD) ⊥ (ADC).
C. (ABC) ⊥ (DFK).
D. (DFK) ⊥ (ADC).
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {ABC} \right) \bot \left( {BCD} \right)\\\left( {ABD} \right) \bot \left( {BCD} \right)\\\left( {ABC} \right) \cap \left( {ABD} \right) = AB\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {BCD} \right)$.
Mặt khác: $\left\{ \begin{array}{l}CD \bot BE\\CD \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {ABE} \right)$ nên câu A đúng.
$\left\{ \begin{array}{l}\left( {ABC} \right) \bot \left( {BCD} \right)\\\left( {ABC} \right) \cap \left( {BCD} \right) = BC\\DF \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow DF \bot \left( {ABC} \right)$ nên câu C đúng.
Theo trên ta có $DF \bot \left( {ABC} \right)$ nên $DF \bot AC$.
Vậy ta có $\left\{ \begin{array}{l}AC \bot DF\\AC \bot DK\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {DKF} \right) \Rightarrow \left( {ACD} \right) \bot \left( {DKF} \right)$. Do đó câu D đúng.
Chọn B.
Câu 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Khẳng định nào sau đây không đúng?
A. Tồn tại điểm O cách đều tám đỉnh của hình hộp.
B. Hình hộp có 6 mặt là 6 hình chữ nhật.
C. Hai mặt ACC'A' và BDD'B' vuông góc nhau.
D. Hình hộp có 4 đường chéo bằng nhau và đồng qui tại trung điểm của mỗi đường.
Câu 4: Cho hình chóp S.ABC có hai mặt bên (SBC) và (SAC) vuông góc với đáy (ABC). Khẳng định nào sau đây sai ?
A. Đáy là đa giác đều.
B. Các mặt bên là những hình chữ nhật nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.
C. Các cạnh bên là những đường cao.
D. Các mặt bên là những hình bình hành.
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\SC = \left( {SBC} \right) \cap \left( {SAC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow SC \bot \left( {ABC} \right)$. Do đó câu A và B đúng
C. Sai. vì nếu $A' \in SB$ thì hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$phải vuông góc với nhau theo giao tuyến SB
D. Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}SC \bot \left( {ABC} \right)\\SC \subset \left( {SAC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC} \right)$ theo giao tuyến AC
Mà BK là đường cao của $\Delta ABC$ $ \Rightarrow BK \bot AC \Rightarrow BK \bot \left( {SAC} \right)$. Vậy D. đúng
Vậy chọn đáp án D.
Câu 5: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) và đáy ABC là tam giác cân ở A. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (SBC). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. H ∈ SB.
B. H trùng với trọng tâm tam giác SBC.
C. H ∈ SC.
D. H ∈ SI (I là trung điểm của BC).
Câu 6: Cho hình chóp S.ABC có hai mặt bên (SBC) và (SAC) vuông góc với đáy (ABC). Khẳng định nào sau đây sai?
A. SC ⊥ (ABC).
B. Nếu A' là hình chiếu vuông góc của A lên (SBC) thì A′ ∈ SB.
C. (SAC) ⊥ (ABC).
D. BK là đường cao của tam giác ABC thì BK ⊥ (SAC).
Câu 7: Cho hình chóp S.ABC có hai mặt bên (SAB) và (SAC) vuông góc với đáy (ABC), tam giác ABC vuông cân ở A và có đường cao AH,(H ∈ BC). Gọi O là hình chiếu vuông góc của A lên (SBC). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. SC ⊥ (ABC).
B. (SAH) ⊥ (SBC).
C. O ∈ SC.
D. Góc giữa (SBC) và (ABC) là góc $\widehat {SBA}$.
Câu 8: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân ở A.H là trung điểm BC. Khẳng định nào sau đây sai ?
A. Các mặt bên của ABC.A'B'C' là các hình chữ nhật bằng nhau.
B. (AA′H) là mặt phẳng trung trực của BC.
C. Nếu O là hình chiếu vuông góc của A lên (A’BC) thì O ∈ A′H.
D. Hai mặt phẳng (AA′B′B) và (AA′C′C) vuông góc nhau.
Câu 9: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Khẳng định nào sau đây không đúng?
A. Hình hộp có 6 mặt là 6 hình chữ nhật.
B. Hai mặt (ACC′A′) và (BDD′B′) vuông góc nhau..
C. Tồn tại điểm O cách đều tám đỉnh của hình hộp.
D. Hình hộp có 4 đường chéo bằng nhau và đồng qui tại trung điểm của mỗi đường.
Câu 10: Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1. Mặt phẳng (A1BD) không vuông góc với mặt phẳng nào dưới đây?
A. (AB1D).
B. (ACC1A1).
C. (ABD1).
D. (A1BC1).
* Gọi $I = A{B_1} \cap {A_1}B$.
Tam giác ${A_1}BD$ đều có $DI$ là đường trung tuyến nên $DI \bot {A_1}B$.
$DA \bot \left( {A{A_1}{B_1}B} \right) \Rightarrow DA \bot {A_1}B$.
$\left. \begin{array}{l}{A_1}B \bot DI\\{A_1}B \bot AD\end{array} \right\} \Rightarrow {A_1}B \bot \left( {A{B_1}D} \right)$ nên A đúng.
* Ta có $\left. \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot A{A_1}\end{array} \right\} \Rightarrow BD \bot \left( {AC{C_1}{A_1}} \right) \Rightarrow \left( {{A_1}BD} \right) \bot \left( {AC{C_1}{A_1}} \right)$ nên B đúng.
* Gọi $J = A{D_1} \cap {A_1}D$.
Tam giác ${A_1}BD$ đều có $BJ$ là đường trung tuyến nên $BJ \bot {A_1}D$.
$BA \bot \left( {A{A_1}{D_1}D} \right) \Rightarrow BA \bot {A_1}D$.
$\left. \begin{array}{l}{A_1}D \bot BJ\\{A_1}D \bot BA\end{array} \right\} \Rightarrow {A_1}B \bot \left( {AB{D_1}} \right)$ nên C đúng. Chọn D.
Câu 11: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằnga. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Tam giác AB'C là tam giác đều.
B. Nếu α là góc giữa AC' và (ABCD) thì $\cos \alpha = \sqrt {\frac{2}{3}} $.
C. ACC'A' là hình chữ nhật có diện tích bằng $2{a^2}$.
D. Hai mặt (AA′C′C) và (BB′D′D) ở trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau.
Câu 12: Cho hình chóp S.ABC có đường cao SH. Xét các mệnh đề sau:
I) SA = SB = SC.
II) Htrùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giácABC.
III) Tam giác ABC là tam giác đều.
IV) H là trực tâm tam giác ABC.
Các yếu tố nào chưa đủ để kết luận S.ABC là hình chóp đều?
A. (I) và (II).
B. (II) và (III).
C. (III) và (IV).
D. (IV) và (I).
Câu 13: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng a. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Hai mặt ACC'A' và BDD'B' vuông góc nhau.
B. Bốn đường chéo AC', A'C, BD', B'D bằng nhau và bằng $a\sqrt 3$ .
C. Hai mặt ACC'A' và BDD'B' là hai hình vuông bằng nhau.
D. AC ⊥ BD′.
Câu 14: Cho hình lăng trụ ABCD.A'B'C'D'. Hình chiếu vuông góc của A' lên (ABC)trùng với trực tâm H của tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây không đúng?
A. (AA′B′B) ⊥ (BB′C′C).
B. (AA′H) ⊥ (A′B′C′).
C. BB′C′C là hình chữ nhật.
D. (BB′C′C) ⊥ (AA′H).
Câu 15: Hình hộp ABCD.A'B'C'D' trở thành hình lăng trụ tứ giác đều khi phải thêm các điều kiện nào sau đây?
A. Tất cả các cạnh đáy bằng nhau và cạnh bên vuông góc với mặt đáy.
B. Cạnh bên bằng cạnh đáy và cạnh bên vuông góc với mặt đáy.
C. Có một mặt bên vuông góc với mặt đáy và đáy là hình vuông.
D. Các mặt bên là hình chữ nhật và mặt đáy là hình vuông.
Bản đầy đủ các dạng vecto trong không gian
Phương pháp:
Bài toán 1: Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc
Để chứng minh (P) ⊥ (Q), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:
Để chứng minh d ⊥ (P), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:
Bài toán 1: Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc
Để chứng minh (P) ⊥ (Q), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:
- Chứng minh trong (P) có một đường thẳng a mà a ⊥ (Q).
- Chứng minh $\left( {\widehat {(P),(Q)}} \right) = {90^0}$
Để chứng minh d ⊥ (P), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:
- Chứng minh d ⊂ (Q) với (Q) ⊥ (P) và d vuông góc với giao tuyến c của (P) và (Q).
- Chứng minh d = (Q) ∩ (R) với (Q) ⊥ (P) và (R) ⊥ (P).
- Sử dụng các cách chứng minh đã biết ở phần trước.
Ví dụ vận dụng
Câu 1: Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ (BCD). Trong ΔBCD vẽ các đường cao BE và DF cắt nhau ở O. Trong (ADC) vẽ DK ⊥ AC tại K. Khẳng định nào sau đây sai ?
A. (ADC) ⊥ (ABE).
B. (ADC) ⊥ (DFK).
C. (ADC) ⊥ (ABC).
D. (BDC) ⊥ (ABE).
* Ta có $\left. \begin{array}{l}CD \bot BE\\CD \bot AB\end{array} \right\} \Rightarrow \begin{array}{*{20}{c}}{}\\{\left. \begin{array}{l}CD \bot \left( {ABE} \right)\\CD \subset \left( {ADC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {ADC} \right) \bot \left( {ABE} \right)}\end{array}$.
Vậy “$\left( {ADC} \right) \bot \left( {ABE} \right)$”: ĐÚNG.
* $\left. \begin{array}{l}DF \bot BC\\DF \bot AB\end{array} \right\} \Rightarrow \begin{array}{*{20}{c}}{}\\{\left. \begin{array}{l}DF \bot \left( {ABC} \right)\\SC \subset \left( {ABC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \begin{array}{*{20}{c}}{}\\{\left. \begin{array}{l}DF \bot AC\\DK \bot AC\end{array} \right\} \Rightarrow \begin{array}{*{20}{c}}{}\\{\left. \begin{array}{l}AC \bot \left( {DFK} \right)\\AC \subset \left( {ADC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {ADC} \right) \bot \left( {DFK} \right)}\end{array}}\end{array}}\end{array}$.
Vậy “$\left( {ADC} \right) \bot \left( {DFK} \right)$”: ĐÚNG.
* Ta có $\left. \begin{array}{l}CD \bot BE\\CD \bot AB\end{array} \right\} \Rightarrow \begin{array}{*{20}{c}}{}\\{\left. \begin{array}{l}CD \bot \left( {ABE} \right)\\CD \subset \left( {BDC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {BDC} \right) \bot \left( {ABE} \right)}\end{array}$.
Vậy “$\left( {BDC} \right) \bot \left( {ABE} \right)$”: ĐÚNG.
* “$\left( {ADC} \right) \bot \left( {ABC} \right)$”: SAI
Chọn C
A. (ABE) ⊥ (ADC).
B. (ABD) ⊥ (ADC).
C. (ABC) ⊥ (DFK).
D. (DFK) ⊥ (ADC).
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {ABC} \right) \bot \left( {BCD} \right)\\\left( {ABD} \right) \bot \left( {BCD} \right)\\\left( {ABC} \right) \cap \left( {ABD} \right) = AB\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {BCD} \right)$.
Mặt khác: $\left\{ \begin{array}{l}CD \bot BE\\CD \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {ABE} \right)$ nên câu A đúng.
$\left\{ \begin{array}{l}\left( {ABC} \right) \bot \left( {BCD} \right)\\\left( {ABC} \right) \cap \left( {BCD} \right) = BC\\DF \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow DF \bot \left( {ABC} \right)$ nên câu C đúng.
Theo trên ta có $DF \bot \left( {ABC} \right)$ nên $DF \bot AC$.
Vậy ta có $\left\{ \begin{array}{l}AC \bot DF\\AC \bot DK\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {DKF} \right) \Rightarrow \left( {ACD} \right) \bot \left( {DKF} \right)$. Do đó câu D đúng.
Chọn B.
A. Tồn tại điểm O cách đều tám đỉnh của hình hộp.
B. Hình hộp có 6 mặt là 6 hình chữ nhật.
C. Hai mặt ACC'A' và BDD'B' vuông góc nhau.
D. Hình hộp có 4 đường chéo bằng nhau và đồng qui tại trung điểm của mỗi đường.
Chọn C
A. Đáy là đa giác đều.
B. Các mặt bên là những hình chữ nhật nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.
C. Các cạnh bên là những đường cao.
D. Các mặt bên là những hình bình hành.
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\SC = \left( {SBC} \right) \cap \left( {SAC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow SC \bot \left( {ABC} \right)$. Do đó câu A và B đúng
C. Sai. vì nếu $A' \in SB$ thì hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$phải vuông góc với nhau theo giao tuyến SB
D. Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}SC \bot \left( {ABC} \right)\\SC \subset \left( {SAC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC} \right)$ theo giao tuyến AC
Mà BK là đường cao của $\Delta ABC$ $ \Rightarrow BK \bot AC \Rightarrow BK \bot \left( {SAC} \right)$. Vậy D. đúng
Vậy chọn đáp án D.
A. H ∈ SB.
B. H trùng với trọng tâm tam giác SBC.
C. H ∈ SC.
D. H ∈ SI (I là trung điểm của BC).
Chọn D.
Gọi I là trung điểm của BC$ \Rightarrow AI \bot BC$ mà $BC \bot SA$ $ \Rightarrow BC \bot \left( {SAI} \right)$.
Khi đó H là hình chiếu vuông góc của A lên $\left( {SBC} \right)$. Suy ra $H \in SI$.
Gọi I là trung điểm của BC$ \Rightarrow AI \bot BC$ mà $BC \bot SA$ $ \Rightarrow BC \bot \left( {SAI} \right)$.
Khi đó H là hình chiếu vuông góc của A lên $\left( {SBC} \right)$. Suy ra $H \in SI$.
A. SC ⊥ (ABC).
B. Nếu A' là hình chiếu vuông góc của A lên (SBC) thì A′ ∈ SB.
C. (SAC) ⊥ (ABC).
D. BK là đường cao của tam giác ABC thì BK ⊥ (SAC).
Chọn B.
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SC}\\{\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC} \right)}\\{\left( {SBC} \right) \bot \left( {ABC} \right)}\end{array} \Rightarrow SC} \right. \bot \left( {ABC} \right)$.
Gọi A' là hình chiếu vuông góc của A lên $\left( {SBC} \right)$,
khi đó $AA' \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AA' \bot BC \Rightarrow A' \in BC$.
Suy ra đáp án B sai
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SC}\\{\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC} \right)}\\{\left( {SBC} \right) \bot \left( {ABC} \right)}\end{array} \Rightarrow SC} \right. \bot \left( {ABC} \right)$.
Gọi A' là hình chiếu vuông góc của A lên $\left( {SBC} \right)$,
khi đó $AA' \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AA' \bot BC \Rightarrow A' \in BC$.
Suy ra đáp án B sai
A. SC ⊥ (ABC).
B. (SAH) ⊥ (SBC).
C. O ∈ SC.
D. Góc giữa (SBC) và (ABC) là góc $\widehat {SBA}$.
Chọn B.
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {SAB} \right) \cap \left( {SAC} \right) = SA}\\{\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC} \right)}\\{\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)}\end{array} \Rightarrow SA} \right. \bot \left( {ABC} \right)$.
Gọi H là trung điểm của BC$ \Rightarrow AH \bot BC$
mà $BC \bot SA$ $ \Rightarrow BC \bot \left( {SAH} \right) \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {SAH} \right)$.
Khi đó O là hình chiếu vuông góc
của A lên $\left( {SBC} \right)$
Thì suy ra $O \in SI$ và $\widehat {\left( {\left( {SBC} \right),\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {SHA}$.
Vậy đáp án B đúng.
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {SAB} \right) \cap \left( {SAC} \right) = SA}\\{\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC} \right)}\\{\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)}\end{array} \Rightarrow SA} \right. \bot \left( {ABC} \right)$.
Gọi H là trung điểm của BC$ \Rightarrow AH \bot BC$
mà $BC \bot SA$ $ \Rightarrow BC \bot \left( {SAH} \right) \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {SAH} \right)$.
Khi đó O là hình chiếu vuông góc
của A lên $\left( {SBC} \right)$
Thì suy ra $O \in SI$ và $\widehat {\left( {\left( {SBC} \right),\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {SHA}$.
Vậy đáp án B đúng.
A. Các mặt bên của ABC.A'B'C' là các hình chữ nhật bằng nhau.
B. (AA′H) là mặt phẳng trung trực của BC.
C. Nếu O là hình chiếu vuông góc của A lên (A’BC) thì O ∈ A′H.
D. Hai mặt phẳng (AA′B′B) và (AA′C′C) vuông góc nhau.
Chọn A.
Vì ABC là tam giác vuông cân ở ${\rm{A}}$ $ \Rightarrow AB = AC \ne BC$
nên các mặt bên của lăng trụ không bằng nhau.
Vậy đáp án A sai.
Vì ABC là tam giác vuông cân ở ${\rm{A}}$ $ \Rightarrow AB = AC \ne BC$
nên các mặt bên của lăng trụ không bằng nhau.
Vậy đáp án A sai.
A. Hình hộp có 6 mặt là 6 hình chữ nhật.
B. Hai mặt (ACC′A′) và (BDD′B′) vuông góc nhau..
C. Tồn tại điểm O cách đều tám đỉnh của hình hộp.
D. Hình hộp có 4 đường chéo bằng nhau và đồng qui tại trung điểm của mỗi đường.
Chọn B.
Ta có: ABCD là hình chữ nhật nên AC không vuông góc với BD
Suy ra hai mặt $\left( {ACC'A'} \right)$ và $\left( {BDD'B'} \right)$ không vuông góc với nhau.
Vậy đáp án B sai.
Ta có: ABCD là hình chữ nhật nên AC không vuông góc với BD
Suy ra hai mặt $\left( {ACC'A'} \right)$ và $\left( {BDD'B'} \right)$ không vuông góc với nhau.
Vậy đáp án B sai.
A. (AB1D).
B. (ACC1A1).
C. (ABD1).
D. (A1BC1).
* Gọi $I = A{B_1} \cap {A_1}B$.
Tam giác ${A_1}BD$ đều có $DI$ là đường trung tuyến nên $DI \bot {A_1}B$.
$DA \bot \left( {A{A_1}{B_1}B} \right) \Rightarrow DA \bot {A_1}B$.
$\left. \begin{array}{l}{A_1}B \bot DI\\{A_1}B \bot AD\end{array} \right\} \Rightarrow {A_1}B \bot \left( {A{B_1}D} \right)$ nên A đúng.
* Ta có $\left. \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot A{A_1}\end{array} \right\} \Rightarrow BD \bot \left( {AC{C_1}{A_1}} \right) \Rightarrow \left( {{A_1}BD} \right) \bot \left( {AC{C_1}{A_1}} \right)$ nên B đúng.
* Gọi $J = A{D_1} \cap {A_1}D$.
Tam giác ${A_1}BD$ đều có $BJ$ là đường trung tuyến nên $BJ \bot {A_1}D$.
$BA \bot \left( {A{A_1}{D_1}D} \right) \Rightarrow BA \bot {A_1}D$.
$\left. \begin{array}{l}{A_1}D \bot BJ\\{A_1}D \bot BA\end{array} \right\} \Rightarrow {A_1}B \bot \left( {AB{D_1}} \right)$ nên C đúng. Chọn D.
A. Tam giác AB'C là tam giác đều.
B. Nếu α là góc giữa AC' và (ABCD) thì $\cos \alpha = \sqrt {\frac{2}{3}} $.
C. ACC'A' là hình chữ nhật có diện tích bằng $2{a^2}$.
D. Hai mặt (AA′C′C) và (BB′D′D) ở trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau.
Chọn C.
+ Cách 1: Chứng minh trực tiếp chỉ ra C là đáp án sai.
Từ giả thiết dễ dàng tính được $AC = a\sqrt 2 $.
Mặt khác vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên suy ra $\widehat {AA'C'} = 90^\circ $.
Xét tứ giác $ACC'A'$ có $\left\{ \begin{array}{l}AA'//CC'\\AA' = CC' = a\\\widehat {AA'C'} = 90^\circ \end{array} \right.$ =>$ACC'A'$ là hình chữ nhật có các cạnh a và $a\sqrt 2 $.
Diện tích hình chữ nhật $ACC'A'$ là : $S = a.a\sqrt 2 = {a^2}\sqrt 2 $ (đvdt)
=> đáp án C sai.
+ Cách 2: Chứng minh 3 đáp án A, B, D đều đúng và suy ra đáp án C sai.
+ Cách 1: Chứng minh trực tiếp chỉ ra C là đáp án sai.
Từ giả thiết dễ dàng tính được $AC = a\sqrt 2 $.
Mặt khác vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên suy ra $\widehat {AA'C'} = 90^\circ $.
Xét tứ giác $ACC'A'$ có $\left\{ \begin{array}{l}AA'//CC'\\AA' = CC' = a\\\widehat {AA'C'} = 90^\circ \end{array} \right.$ =>$ACC'A'$ là hình chữ nhật có các cạnh a và $a\sqrt 2 $.
Diện tích hình chữ nhật $ACC'A'$ là : $S = a.a\sqrt 2 = {a^2}\sqrt 2 $ (đvdt)
=> đáp án C sai.
+ Cách 2: Chứng minh 3 đáp án A, B, D đều đúng và suy ra đáp án C sai.
I) SA = SB = SC.
II) Htrùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giácABC.
III) Tam giác ABC là tam giác đều.
IV) H là trực tâm tam giác ABC.
Các yếu tố nào chưa đủ để kết luận S.ABC là hình chóp đều?
A. (I) và (II).
B. (II) và (III).
C. (III) và (IV).
D. (IV) và (I).
Chọn A.
A. Hai mặt ACC'A' và BDD'B' vuông góc nhau.
B. Bốn đường chéo AC', A'C, BD', B'D bằng nhau và bằng $a\sqrt 3$ .
C. Hai mặt ACC'A' và BDD'B' là hai hình vuông bằng nhau.
D. AC ⊥ BD′.
Chọn C.
Vì theo giả thiết ABCD.A'B'C'D' ta dễ dàng chỉ ra được:
+ $\left\{ \begin{array}{l}AC \bot BD\\AC \bot BB'\end{array} \right.$ và BD cắt BB' cùng nằm trong $\left( {BB'D'D} \right)$ $ \Rightarrow AC \bot \left( {BB'D'D} \right)$. Mà $BD' \subset \left( {BB'D'D} \right)$$ \Rightarrow AC \bot BD'$=> đáp án D đúng.
+ $\left\{ \begin{array}{l}AC \subset \left( {ACC'A'} \right)\\AC \bot \left( {BB'D'D} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( {ACC'A'} \right) \bot \left( {BB'D'D} \right)$=> đáp án A đúng.
+ Áp dụng đình lý Pytago trong tam giác $B'A'D'$ vuông tại A' ta có:
$B'{D'^2} = B'{A'^2} + A'{D'^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2}$.
Áp dụng định lý Pytago trong tam giác $BB'D'$ vuông tại $B'$ ta có:
$B{D'^2} = B{B'^2} + B'{D'^2} = {a^2} + 2{a^2} = 3{a^2}$$ \Rightarrow BD' = a\sqrt 3 $. Hoàn toàn tương tự ta tính được độ dài các đường chéo còn lại của hình lập phương đều bằng nhau và bằng $a\sqrt 3 $=> đáp án B đúng.
+ Xét tứ giác ACC'A' có $\left\{ \begin{array}{l}AC//A'C'\\AC = A'C' = a\sqrt 3 \\AA' = CC' = a\\\widehat {ACC'} = 90^\circ \end{array} \right. \Rightarrow ACC'A'$ là hình chữ nhật. hoàn toàn tương tự ta cũng chỉ ra $BDD'B'$ cũng là hình chữ nhật có các cạnh là a và $a\sqrt 3 $.
=> Hai mặt ACC'A' và BDD'B' là hai hình vuông bằng nhau => đáp án C sai.
Vì theo giả thiết ABCD.A'B'C'D' ta dễ dàng chỉ ra được:
+ $\left\{ \begin{array}{l}AC \bot BD\\AC \bot BB'\end{array} \right.$ và BD cắt BB' cùng nằm trong $\left( {BB'D'D} \right)$ $ \Rightarrow AC \bot \left( {BB'D'D} \right)$. Mà $BD' \subset \left( {BB'D'D} \right)$$ \Rightarrow AC \bot BD'$=> đáp án D đúng.
+ $\left\{ \begin{array}{l}AC \subset \left( {ACC'A'} \right)\\AC \bot \left( {BB'D'D} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( {ACC'A'} \right) \bot \left( {BB'D'D} \right)$=> đáp án A đúng.
+ Áp dụng đình lý Pytago trong tam giác $B'A'D'$ vuông tại A' ta có:
$B'{D'^2} = B'{A'^2} + A'{D'^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2}$.
Áp dụng định lý Pytago trong tam giác $BB'D'$ vuông tại $B'$ ta có:
$B{D'^2} = B{B'^2} + B'{D'^2} = {a^2} + 2{a^2} = 3{a^2}$$ \Rightarrow BD' = a\sqrt 3 $. Hoàn toàn tương tự ta tính được độ dài các đường chéo còn lại của hình lập phương đều bằng nhau và bằng $a\sqrt 3 $=> đáp án B đúng.
+ Xét tứ giác ACC'A' có $\left\{ \begin{array}{l}AC//A'C'\\AC = A'C' = a\sqrt 3 \\AA' = CC' = a\\\widehat {ACC'} = 90^\circ \end{array} \right. \Rightarrow ACC'A'$ là hình chữ nhật. hoàn toàn tương tự ta cũng chỉ ra $BDD'B'$ cũng là hình chữ nhật có các cạnh là a và $a\sqrt 3 $.
=> Hai mặt ACC'A' và BDD'B' là hai hình vuông bằng nhau => đáp án C sai.
A. (AA′B′B) ⊥ (BB′C′C).
B. (AA′H) ⊥ (A′B′C′).
C. BB′C′C là hình chữ nhật.
D. (BB′C′C) ⊥ (AA′H).
Chọn A.
Gọi K là hình chiếu vuông góc của ${\rm{A}}$ lên BC
$ \Rightarrow H \in AK,BC \bot AK,BC \bot A'H \Rightarrow BC \bot \left( {AA'H} \right)$
$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {AA'H} \right) \bot \left( {A'B'C'} \right)}\\{\left( {BB'C'C} \right) \bot \left( {AA'H} \right)}\\{BC \bot BB'}\end{array}} \right.$ nên đáp án B,C,D đúng.
Gọi K là hình chiếu vuông góc của ${\rm{A}}$ lên BC
$ \Rightarrow H \in AK,BC \bot AK,BC \bot A'H \Rightarrow BC \bot \left( {AA'H} \right)$
$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {AA'H} \right) \bot \left( {A'B'C'} \right)}\\{\left( {BB'C'C} \right) \bot \left( {AA'H} \right)}\\{BC \bot BB'}\end{array}} \right.$ nên đáp án B,C,D đúng.
A. Tất cả các cạnh đáy bằng nhau và cạnh bên vuông góc với mặt đáy.
B. Cạnh bên bằng cạnh đáy và cạnh bên vuông góc với mặt đáy.
C. Có một mặt bên vuông góc với mặt đáy và đáy là hình vuông.
D. Các mặt bên là hình chữ nhật và mặt đáy là hình vuông.
Chọn D.
Theo lí thuyết lăng trụ tứ giác đều là lăng trụ đứng có đáy là hình vuông.
Theo lí thuyết lăng trụ tứ giác đều là lăng trụ đứng có đáy là hình vuông.
Bản đầy đủ các dạng vecto trong không gian
Sửa lần cuối: