Dạng 2: Xét sự biến thiên của hàm số

Thí dụ 1. Khảo sát sự biến thiên của các hàm số:
a. y = f(x) = x + 3.
b. y = f(x) = x$^2$ + x + 1.
a. Với x1, x2 ∈ $\mathbb{R}$ và x1 ≠ x2 ta có: A = $\frac{{f({x_1}) - f({x_2})}}{{{x_1} - {x_2}}}$ = $\frac{{({x_1} + 3) - ({x_2} + 3)}}{{{x_1} - {x_2}}}$ = 1 > 0
Vậy, hàm số đồng biến.
b. Với x1, x2 ∈ $\mathbb{R}$ và x1 ≠ x2 ta có:
A = $\frac{{f({x_1}) - f({x_2})}}{{{x_1} - {x_2}}}$
= $\frac{{(x_1^2 + {x_1} + 1) - (x_2^2 + {x_2} + 1)}}{{{x_1} - {x_2}}}$ = x1 + x2 + 1.
Khi đó:

• Nếu x1, x2 > -$\frac{1}{2}$ thì A > 0 suy ra hàm số đồng biến trên (-$\frac{1}{2}$; +∞).
• Nếu x1, x2 < -$\frac{1}{2}$ thì A < 0 suy ra hàm số nghịch biến trên (-∞; -$\frac{1}{2}$).

Chú ý:
1. Với hàm số y = f(x) = ax + b, a ≠ 0, thì:
Lấy x1, x2 ∈ $\mathbb{R}$ và x1 ≠ x2 ta có:
A = $\frac{{f({x_1}) - f({x_2})}}{{{x_1} - {x_2}}}$
= $\frac{{(a{x_1} + b) - (a{x_2} + b)}}{{{x_1} - {x_2}}}$ = a.
Khi đó:

• Nếu a > 0 thì hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
• Nếu a < 0 thì hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

2. Với hàm số y = f(x) = ax$^2$ + bx + c, a ≠ 0, thì:
Lấy x1, x2 ∈ $\mathbb{R}$ và x1 ≠ x2 ta có:
A = $\frac{{f({x_1}) - f({x_2})}}{{{x_1} - {x_2}}}$
= $\frac{{(ax_1^2 + b{x_1} + c) - (ax_2^2 + b{x_2} + c)}}{{{x_1} - {x_2}}}$
= a(x1 + x2 + $\frac{b}{a}$).

Khi đó:
a. Với a > 0, ta có:
Nếu x1, x2 > - $\frac{b}{{2a}}$Z thì A > 0 nên hàm số đồng biến trên (-$\frac{b}{{2a}}$Z; + ∞).
Nếu x1, x2 < - $\frac{b}{{2a}}$Z thì A < 0 nên hàm số nghịch biến trên (-∞; -$\frac{b}{{2a}}$Z).
b. Với a < 0, ta có:
Nếu x1, x2 > - $\frac{b}{{2a}}$Z thì A < 0 nên hàm số nghịch biến trên (-$\frac{b}{{2a}}$Z; + ∞).
Nếu x1, x2 < - $\frac{b}{{2a}}$Z thì A > 0 nên hàm số đồng biến trên (-∞; - $\frac{b}{{2a}}$Z).

Thí dụ 2. Khảo sát sự biến thiên của các hàm số:
a. y = f(x) = x$^3$ + 2x + 8.
b. y = f(x) = x$^3$ + 3x$^2$ + 7x + 1.
a. Với x1, x2 ∈ $\mathbb{R}$ và x1 ≠ x2 ta có:
A = $\frac{{f({x_1}) - f({x_2})}}{{{x_1} - {x_2}}}$
= $\frac{{(x_1^3 + 2{x_1} + 8) - (x_2^3 + 2{x_2} + 8)}}{{{x_1} - {x_2}}}$
= $\frac{{(x_1^3 - x_2^3) + (2{x_1} - 2{x_2})}}{{{x_1} - {x_2}}}$
= $x_1^2 + x_2^2$ + x1x2 + 2
= $\frac{1}{2}$(x1 + x2)$^2$ + $\frac{1}{2}$($x_1^2 + x_2^2$) + 2 > 0, ∀x.
Vậy, hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

b. Với x1, x2 ∈ $\mathbb{R}$ và x1 ≠ x2 ta có:
A = $\frac{{f({x_1}) - f({x_2})}}{{{x_1} - {x_2}}}$
= $\frac{{(x_1^3 + 3x_1^2 + 7{x_1} + 1) - (x_2^3 + 3x_2^2 + 7{x_2} + 1)}}{{{x_1} - {x_2}}}$
= $\frac{{(x_1^3 - x_2^3) + 3(x_1^2 - x_2^2) + 7({x_1} - {x_2})}}{{{x_1} - {x_2}}}$
= $x_1^2 + x_2^2$ + x1x2 + 3x1 + 3x2 + 7
= $\frac{1}{2}$(x1 + x2)2 + $\frac{1}{2}$($x_1^2 + x_2^2$) + 3(x1 + x2) + 7
= $\frac{1}{2}$[(x1 + x2)2 +6(x1 + x2) + 9] + $\frac{1}{2}$($x_1^2 + x_2^2$) + $\frac{5}{2}$
= $\frac{1}{2}$[(x1 + x2) + 3]2 + $\frac{1}{2}$($x_1^2 + x_2^2$) + $\frac{5}{2}$ > 0, ∀x.
Vậy, hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Thí dụ 3. Khảo sát sự biến thiên của các hàm số:
a. y = f(x) = $\frac{{2x + 1}}{{3x - 1}}$.
b. y = f(x) = $\frac{{{x^2} - x - 1}}{{x - 1}}$.
a. Viết lại hàm số dưới dạng:
y = $\frac{2}{3}$ + $\frac{5}{{3(3x - 1)}}$.
Với x1, x2 ∈ $\mathbb{R}$\{$\frac{1}{3}$} và x1 < x2 ta có:
3x1 < 3x2 <=> 3x1 - 1 < 3x2 - 1 <=> 3(3x1 - 1) < 3(3x2 - 1)
<=> $\frac{5}{{3(3{x_1} - 1)}}$ > $\frac{5}{{3(3{x_2} - 1)}}$
<=> $\frac{2}{3}$ + $\frac{5}{{3(3{x_1} - 1)}}$ > $\frac{2}{3}$ + $\frac{5}{{3(3{x_2} - 1)}}$
<=> f(x1) > f(x2).
Vậy, hàm số luôn nghịch biến trên $\mathbb{R}$\{$\frac{1}{3}$}.

b. Viết lại hàm số dưới dạng:
$y = x - \frac{1}{{x - 1}}$.
Với x1, x2 ∈ $\mathbb{R}$\{1} và ở về cùng một phía so với 1, ta có:
$A = \frac{{f({x_1}) - f({x_2})}}{{{x_1} - {x_2}}}$
$ = \frac{{\left( {{x_1} - \frac{1}{{{x_1} - 1}}} \right) - \left( {{x_2} - \frac{1}{{{x_2} - 1}}} \right)}}{{{x_1} - {x_2}}}$
$ = \frac{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right) - \left( {\frac{1}{{{x_1} - 1}} - \frac{1}{{{x_2} - 1}}} \right)}}{{{x_1} - {x_2}}}$
$ = \frac{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right) + \frac{{{x_1} - {x_2}}}{{\left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right)}}}}{{{x_1} - {x_2}}}$
$ = 1 + \frac{1}{{\left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right)}}$ > 0
Vậy, hàm số luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$\{1}.

Thí dụ 4. Khảo sát sự biến thiên của các hàm số:
a. y = f(x) = $\sqrt {{x^2} + 2} $.
b. y = f(x) = $\sqrt {{x^2} + 2x + 3} $.
a. Với x1, x2 ∈ $\mathbb{R}$ và x1 ≠ x2 ta có:
A=$\frac{{f({x_1}) - f({x_2})}}{{{x_1} - {x_2}}}$
=$\frac{{\sqrt {x_1^2 + 2} - \sqrt {x_2^2 + 2} }}{{{x_1} - {x_2}}}$
=$\frac{{(x_1^2 + 2) - (x_2^2 + 2)}}{{({x_1} - {x_2})(\sqrt {x_1^2 + 2} + \sqrt {x_2^2 + 2} )}}$
=$\frac{{{x_1} + {x_2}}}{{\sqrt {x_1^2 + 2} + \sqrt {x_2^2 + 2} }}$.
Khi đó:

• Nếu x1, x2 > 0 thì A > 0 suy ra hàm số đồng biến trên (0; +∞).
• Nếu x1, x2 < 0 thì A < 0 suy ra hàm số nghịch biến trên (-∞; 0).

b. Với x1, x2 ∈ $\mathbb{R}$ và x1 ≠ x2 ta có:
A = $\frac{{f({x_1}) - f({x_2})}}{{{x_1} - {x_2}}}$ = $\frac{{\sqrt {x_1^2 + 2{x_1} + 3} - \sqrt {x_2^2 + 2{x_2} + 3} }}{{{x_1} - {x_2}}}$
= $\frac{{(x_1^2 + 2{x_1} + 3) - (x_2^2 + 2{x_2} + 3)}}{{({x_1} - {x_2})\left( {\sqrt {x_1^2 + 2{x_1} + 3} + \sqrt {x_2^2 + 2{x_2} + 3} } \right)}}$ = $\frac{{{x_1} + {x_2} + 2}}{{\sqrt {x_1^2 + 2{x_1} + 3} + \sqrt {x_2^2 + 2{x_2} + 3} }}$.
Khi đó:

• Nếu x1, x2 > -1 thì A > 0 suy ra hàm số đồng biến trên (-1; +∞).
• Nếu x1, x2 < -1 thì A < 0 suy ra hàm số nghịch biến trên (-∞; -1).

Thí dụ 5. Cho hàm số: y = f(x) = $\frac{{ax}}{{x - 2}}$.
a. Với a = 1, hãy khảo sát sự biến thiên của hàm số trên (2; +∞).
b. Tìm a để hàm số đồng biến trên (2; +∞).
Với x1, x2 ∈ (2; +∞) và x1 ≠ x2 ta có:
A = $\frac{{f({x_1}) - f({x_2})}}{{{x_1} - {x_2}}}$
= $\frac{{\frac{{a{x_1}}}{{{x_1} - 2}} - \frac{{a{x_2}}}{{{x_2} - 2}}}}{{{x_1} - {x_2}}}$
= -$\frac{{2a}}{{({x_1} - 2)({x_2} - 2)}}$.
a. Với a = 1, suy ra: A < 0 với mọi x1, x2∈(2; +∞) và x1 ≠ x2.
Vậy, với a = 1 hàm số nghịch biến trên (2; +∞).
b. Để hàm số đồng biến trên (2; +∞) điều kiện là: A > 0 với mọi x1, x2∈(2; +∞) và x1 ≠ x2 <=> -2a > 0 <=> a < 0.
Vậy, với a < 0 thoả mãn điều kiện đầu bài.