Dạng 2: Tính quãng đường vật đi được trong n giây cuối, và trong giây thứ n

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
I. Phương pháp giải:
Quãng đường vật đi được trong n giây cuối.
  • Quãng đường vật đi trong t giây: ${S_t} = {\textstyle{1 \over 2}}g{t^2}$
  • Quãng đường vật đi trong ( t – n ) giây: ${S_{t - n}} = {\textstyle{1 \over 2}}{(t - n)^2}$
  • Quãng đường vật đi trong n giây cuối: \(\Delta S = {S_t} - {S_{t - n}}\)
Quãng đường vật đi được trong giây thứ n.
  • Quãng đường vật đi trong n giây: ${S_n} = {\textstyle{1 \over 2}}g{n^2}$
  • Quãng đường vật đi trong (n – 1) giây: ${S_{n - 1}} = {\textstyle{1 \over 2}}{(n - 1)^2}$
  • Quãng đường vật đi được trong giây thứ n: \(\Delta S = {S_n} - {S_{n - 1}}\)
II. Ví dụ minh họa:
Câu 1:
Một vật rơi không vận tốc đầu từ đỉnh tòa nhà chung cư có độ cao 320m xuống đất. Cho g = 10m/s$^{2}$
a) Tìm vận tốc lúc vừa chạm đất và thời gian của vật rơi.
b) Tính quãng đường vật rơi được trong 2s đầu tiên và 2s cuối cùng.
a) Áp dụng công thức \(h = \frac{1}{2}g.{t^2} \Rightarrow t = \sqrt {\frac{{2.h}}{g}} = 8s\)
Ta có v = gt = 10.8 = 80m/s

b) Trong 2s đầu tiên vật đi được quãng đường ${h_1} = {\textstyle{1 \over 2}}{.10.2^2} = 20m$
Quãng đường vật đi trong 6s đầu: ${h_2} = {\textstyle{1 \over 2}}{.10.6^2} = 180m$
Quãng đường đi trong 2s cuối cùng: S$^{’}$ = S – S$_{1}$ = 320 – 180 = 160m

Câu 2: Một vật rơi tự do tại một địa điểm có độ cao 500m biết g = 10m/s$^{2}$. Tính
a) Thời gian vật rơi hết quãng đường.
b) Quãng đường vật rơi được trong 5s đầu tiên.
c) Quãng đường vật rơi trong giây thứ 5.
a) Áp dụng công thức $h = {\textstyle{1 \over 2}}g{t^2} \Rightarrow t = \sqrt {{\textstyle{{2h} \over g}}} = \sqrt {{\textstyle{{2.500} \over {10}}}} = 10(s)$

b) Quãng đường vật rơi trong 5s đầu: ${h_5} = {\textstyle{1 \over 2}}gt_5^2 = {\textstyle{1 \over 2}}{.10.5^2} = 125m$

c) Quãng đường vật rơi trong 4s đầu: ${h_4} = {\textstyle{1 \over 2}}gt_4^2 = {\textstyle{1 \over 2}}{.10.4^2} = 80m$
Quãng đường vật rơi trong giây thứ 5: $\Delta h = {h_5} - {h_4} = 125 - 80 = 45(m)$

Câu 3: Cho một vật rơi tự do từ độ cao h. Trong 2s cuối cùng trước khi chạm đất, vật rơi được quãng đường 60m. Tính thời gian rơi và độ cao h của vật lúc thả biết g = 10 m/s$^{2}$.
Gọi t là thời gian vật rơi cả quãng đường.
Quãng đường vật rơi trong t giây: $h = {\textstyle{1 \over 2}}g{t^2}$
Quãng đường vật rơi trong ( t – 2 ) giây đầu tiên: ${h_{t - 2}} = {\textstyle{1 \over 2}}g{(t - 2)^2}$
Quãng đường vật rơi trong 2 giây cuối:
$\Delta h = h - {h_{t - 2}} \Rightarrow 60 = {\textstyle{1 \over 2}}g{t^2} - {\textstyle{1 \over 2}}g{(t - 2)^2} \Rightarrow t = 4s$
Độ cao lúc thả vật: $h = {\textstyle{1 \over 2}}g{t^2} = {\textstyle{1 \over 2}}{.10.4^2} = 80m$

Câu 4: Cho một vật rơi tự do từ độ cao h. Biết rằng trong 2s cuối cùng vật rơi được quãng đường bằng quãng đường đi trong 5s đầu tiên, g = 10m/s$^{2}$.
a) Tìm độ cao lúc thả vật và thời gian vật rơi.
b) Tìm vận tốc cuả vật lúc vừa chạm đất.
a) Gọi t là thời gian vật rơi.
Quãng đường vật rơi trong t giây: $h = {\textstyle{1 \over 2}}g{t^2}$
Quãng đường vật rơi trong ( t – 2) giây: ${h_{t - 2}} = {\textstyle{1 \over 2}}g{\left( {t - 2} \right)^2}$
Quãng đường vật rơi trong 2 giây cuối: $\Delta h = h - {h_{t - 2}} = {\textstyle{1 \over 2}}g{t^2} - {\textstyle{1 \over 2}}g{(t - 2)^2}$
Quãng đường vật rơi trong 5s đầu tiên: ${h_5} = {\textstyle{1 \over 2}}gt_5^2 = 125m$
Theo bài ra ta có: $\Delta h = {h_5} \Rightarrow {\textstyle{1 \over 2}}g{t^2} - {\textstyle{1 \over 2}}h{(t - 2)^2} = 125$ \( \Rightarrow \)t = 7,25s
Độ cao lúc thả vật: $h = {\textstyle{1 \over 2}}g{t^2} = {\textstyle{1 \over 2}}.10.7,{25^2} = 252,81m$

b) Vận tốc lúc vừa chạm đất: v = gt = 72,5m/s

Câu 5: Cho một vật rơi tự do từ độ cao 800m biết g = 10m/s$^{2}$. Tính
a) Thời gian vật rơi 80m đầu tiên.
b) Thời gian vật rơi được 100m cuối cùng.
a) Thời gian vật rơi 80m đầu tiên: ${h_1} = {\textstyle{1 \over 2}}gt_1^2 \Rightarrow {t_1} = \sqrt {{\textstyle{{2{h_1}} \over g}}} = \sqrt {{\textstyle{{2.80} \over {10}}}} = 4s$

b) Thời gian vật rơi đến mặt đất: $h = {\textstyle{1 \over 2}}g{t^2} \Rightarrow t = \sqrt {{\textstyle{{2h} \over g}}} = \sqrt {{\textstyle{{2.800} \over {10}}}} = 12,65(s)$
Thời gian vật rơi 700m đầu tiên: ${h_2} = {\textstyle{1 \over 2}}gt_2^2 \Rightarrow {t_2} = \sqrt {{\textstyle{{2{h_2}} \over g}}} = \sqrt {{\textstyle{{2.700} \over {10}}}} = 11,832(s)$ Thời gian vật rơi 100m cuối cùng: t$^{’}$ = t – t$_{2}$ = 0,818s

Câu 1: Một vật rơi tự do từ độ cao h xuống mặt đất. Biết rằng trong 2s cuối cùng vật rơi được đoạn bằng 1/4 độ cao ban đầu. Lấy g = 10m/s2. Hỏi thời gian rơi của vật từ độ cao h xuống mặt đất là bao nhiêu?
Gọi t là thời gian rơi.
Quãng đường vật rơi trong thời gian t: $h = {\textstyle{1 \over 2}}g{t^2}$
Quãng đường vật rơi trong ( t – 2 ) giây đầu: ${h_{t - 2}} = {\textstyle{1 \over 2}}g{(t - 2)^2}$
Quãng đường vật rơi trong 2 giây cuối:
$\Delta h = h - {h_{t - 2}} \Rightarrow \Delta h = {\textstyle{1 \over 2}}g{t^2} - {\textstyle{1 \over 2}}g{(t - 2)^2} = - 2g + 2gt$
Theo bài ra $\Delta h = \frac{{{h_{t - 2}}}}{4} \Rightarrow 2g - 2gt = \frac{{g{{\left( {t - 2} \right)}^2}}}{8} \Rightarrow t = 21\left( s \right)$

Câu 2: Một vật được thả rơi tự do không vận tốc đầu từ độ cao h biết trong 7s cuối cùng vật rơi được 385m cho g = 10m/s$^{2}$.
a) Xác định thời gian và quãng đường rơi
b) Tính đoạn đường vật đi được trong giây thứ 6.
c) Tính thời gian cần thiết để vật rơi 85m cuối cùng
a) Gọi t là thời gian rơi.
Quãng đường vật rơi trong thời gian t: $h = {\textstyle{1 \over 2}}g{t^2}$
Quãng đường vật rơi trong ( t – 7 ) giây đầu: ${h_{t - 7}} = {\textstyle{1 \over 2}}g{(t - 7)^2}$
Quãng đường vật rơi trong 7 giây cuối:
$\Delta h = h - {h_{t - 7}} \Rightarrow 385 = {\textstyle{1 \over 2}}g{t^2} - {\textstyle{1 \over 2}}g{(t - 7)^2} \Rightarrow t = 9s$
Độ cao vật rơi : $h = {\textstyle{1 \over 2}}{.10.9^2} = 405m$

b) Quãng đường đi trong 5s đầu: ${h_5} = {\textstyle{1 \over 2}}gt_5^2 = {\textstyle{1 \over 2}}{.10.5^2} = 125m$
Quãng đường vật đi trong 6s đầu: ${h_6} = {\textstyle{1 \over 2}}gt_6^2 = {\textstyle{1 \over 2}}{.10.6^2} = 180m$
Quãng đường đi trong giây thứ 6: $\Delta h = {h_6} - {h_5} = 180 - 125 = 55m$

c) Thời gian để vật rơi quãng đường 320m đầu tiên: ${h^/} = {\textstyle{1 \over 2}}gt_1^2 \Rightarrow {t_1} = \sqrt {{\textstyle{{2{h^/}} \over g}}} = \sqrt {{\textstyle{{2.320} \over {10}}}} = 8s$
Thời gian vật rơi trong 85m cuối: $\Delta t = t - {t_1} = 9 - 8 = 1s$

Câu 3: Một vật rơi tự do từ độ cao h trong 10s thì tiếp đất. Quãng đường vật rơi trong 2s cuối cùng là bao nhiêu? cho g = 10m/s$^{2}$.
Quãng đường vật rơi trong 10s: ${h_1} = {\textstyle{1 \over 2}}g{t^2} = {\textstyle{1 \over 2}}{.10.10^2} = 500m$
Quãng đường vật rơi trong 8s đầu: ${h_2} = {\textstyle{1 \over 2}}gt_{}^{/2} = {\textstyle{1 \over 2}}{.10.8^2} = 320m$
Quãng đường vật rơi trong 2s cuối cùng: $\Delta h = {h_1} - {h_2} = 500 - 320 = 180m$

Câu 4: Một vật rơi tự do không vận tốc đầu từ độ cao 80m xuống đất biết
g = 10m/s$^{2}$.
a) Tính thời gian rơi và tốc độ của vật khi vừa khi vừa chạm đất.
b.Tính thời gian vật rơi 20m đầu tiên và thời gian vật rơi 10m cuối cùng trước khi chạm đất.
a) Áp dụng công thức: \(h = {\textstyle{1 \over 2}}g{t^2} \Rightarrow t = \sqrt {{\textstyle{{2h} \over g}}} = \sqrt {{\textstyle{{2.80} \over {10}}}} = 4s\)
Mà $v = gt = 10.4 = 40m/s$

b) Ta có : ${h_1} = 20m \Rightarrow {t_1} \Rightarrow \sqrt {{\textstyle{{2{h_1}} \over g}}} = \sqrt {{\textstyle{{2.20} \over {10}}}} = 2s$
Thời gian vật rơi 70m đầu tiên: \({t_2} = \sqrt {\frac{{2.{h_2}}}{g}} = \sqrt {14} (s)\)
Thời gian vật rơi 10m cuối cùng: t$_{3}$ = t – t$_{2}$ = 0,26 (s)

Câu 5: Một vật được thả rơi tự do không vận tốc đầu từ độ cao h so với mặt đất. Cho g =10m/s$^{2}$. Tốc độ của vật khi chạm đất là 60m/s.
a) Tính độ cao h, thời gian từ lúc vật bắt đầu rơi đến khi vật chạm đất.
b) Tính quãng đường vật rơi trong bốn giây đầu và trong giây thứ tư.
a) Áp dụng công thức: $v = gt \Rightarrow t = {\textstyle{v \over g}} = {\textstyle{{60} \over {10}}} = 6s$
Độ cao lúc thả vật: $h = {\textstyle{1 \over 2}}g{t^2} = {\textstyle{1 \over 2}}{.10.6^2} = 180m$

b) Quãng đường vật rơi trong 4s đầu: ${h_4} = {\textstyle{1 \over 2}}gt_4^2 = {\textstyle{1 \over 2}}{.10.4^2} = 80m$
Quãng đường vật rơi trong 3s đầu tiên: ${h_3} = {\textstyle{1 \over 2}}gt_3^2 = {\textstyle{1 \over 2}}{.10.3^2} = 45m$
Quãng đường vật rơi trong giâu thứ tư: $\Delta h = {h_4} - {h_3} = 80 - 45 = 35m$

Câu 6: Một vật được thả rơi tự do không vận tốc đầu từ độ cao h so với mặt đất. Cho g =10m/s$^{2}$. Thời gian vật rơi hết độ cao h là 8 giây.
a) Tính độ cao h, tốc độ của vật khi vật chạm đất.
b) Tính quãng đường vật rơi trong giây cuối cùng trước khi chạm đất.
a) Độ cao lúc thả vật: $h = {\textstyle{1 \over 2}}g{t^2} = {\textstyle{1 \over 2}}{.10.8^2} = 320m$
Tốc độ của vật khi chạm đất: $v = gt = 10.8 = 80m/s$

b) Quãng đường vật rơi trong 7s đầu: ${h_7} = {\textstyle{1 \over 2}}gt_7^2 = {\textstyle{1 \over 2}}{.10.7^2} = 245m$
Quãng đường vật rơi trong 1s cuối cùng: \(\Delta h = h - {h_7} = 75m\)

Câu 7: Một vật được thả rơi tự do không vận tốc đầu từ độ cao h so với mặt đất. Thời gian vật rơi 10 m cuối cùng trước khi chạm đất là 0,2s. Tính độ cao h, tốc độ của vật khi chạm đất. Cho g =10m/s$^{2}$.
Gọi t là thời gian vật rơi, quãng dường vật rơi là $h = {\textstyle{1 \over 2}}g{t^2}$
Quãng đường đầu vật rơi trong thời gian t – 0,2 đầu là:
${h_{t - 0,2}} = {\textstyle{1 \over 2}}g{(t - 0,2)^2}$
Theo bài rat a có:$\Delta h = h - {h_{t - 0,2}} \Rightarrow 10 = {\textstyle{1 \over 2}}g{t^2} - {\textstyle{1 \over 2}}g{(t - 0,2)^2}$ \( \Rightarrow \)t = 5,1s
Độ cao lúc thả vật: $h = {\textstyle{1 \over 2}}g{t^2} = {\textstyle{1 \over 2}}.10.5,{1^2} = 130,05m$
Vận tốc khi vừa chạm đất: $v = gt = 10.5,1 = 51m/s$

Câu 8: Một vật rơi tự do không vận tốc đầu tại nơi có gia tốc trọng trường g. Trong giây thứ 3, quãng đường rơi được là 25m và tốc độ của vật khi vừa chạm đất là 40m/s. Tính g và độ cao nơi thả vật.
Quãng đường vật rơi trong 3 giây đầu: ${h_1} = {\textstyle{1 \over 2}}gt_3^2 = {\textstyle{1 \over 2}}.g{.3^2} = 4,5g$
Quãng đường vật rơi trong 2 giây đầu: ${h_2} = {\textstyle{1 \over 2}}gt_2^2 = {\textstyle{1 \over 2}}.g{.2^2} = 2g$
Quãng đường vật rơi trong giây thứ 3:
$\Delta h = {h_1} - {h_2} \Rightarrow 25 = 4,5g - 2g \Rightarrow g = 10m/{s^2}$
Mà \(v = gt \Rightarrow t = \frac{v}{g} = 4s\)
Độ cao lúc thả vật: $h = {\textstyle{1 \over 2}}gt_{}^2 = {\textstyle{1 \over 2}}{.10.4^2} = 80m$

Câu 9: Một vật được thả rơi tự do không vận tốc đầu từ độ cao h so với mặt đất tại nơi có gia tốc trọng trường g=10m/s$^{2}$. Quãng đường vật rơi trong nửa thời gian sau dài hơn quãng đường vật rơi trong nửa thời gian đầu 40m. Tính độ cao h và tốc độ của vật khi chạm đất.
Quãng đường vật rơi nửa thời gian đầu: ${h_1} = {\textstyle{1 \over 2}}g{({\textstyle{t \over 2}})^2} = {\textstyle{{10} \over 8}}{t^2}$
Quãng đường vật rơi nửa thời gian cuối $\Delta h = 40 + {h_1} = {\textstyle{{10} \over 8}}{t^2}$
Quãng đường vật rơi: h = h$_{1}$ + h$_{2}$ \( \Leftrightarrow {\textstyle{1 \over 2}}g{t^2} = {\textstyle{{10} \over 8}}{t^2} + 40 + {\textstyle{{10} \over 8}}{t^2}\)\( \Rightarrow \)t = 4s
Độ cao lúc thả vật: $h = {\textstyle{1 \over 2}}g{t^2} = {\textstyle{1 \over 2}}{.10.4^2} = 80m$
Vận tốc khi chạm đất: $v = gt = 10.4 = 40m/s$
 
Sửa lần cuối: