Phương pháp áp dụng
Cho hai phương trình f(x, m) = 0 (1) và g(x, m) = 0 (2)
1. Xác định tham số để phương trình (1) là hệ quả của phương trình (2) (nói cách khác “Để mọi nghiệm của (1) cũng là nghiệm của (2)”), ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Điều kiện cần
Hướng 1: Nếu (1) & (2) đều giải được.
Ta thực hiện theo các bước sau:
Cho hai phương trình f(x, m) = 0 (1) và g(x, m) = 0 (2)
1. Xác định tham số để phương trình (1) là hệ quả của phương trình (2) (nói cách khác “Để mọi nghiệm của (1) cũng là nghiệm của (2)”), ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Điều kiện cần
- Giải và tìm nghiệm x = x$_0$ của (1).
- Để phương trình (1) là hệ quả của phương trình (2), trước hết cần x = x$_0$ cũng là nghiệm của (2), tức là: g(x$_0$, m) = 0 => m = m$_0$.
- Vậy m = m$_0$ chính là điều kiện cần.
- (1) <=> f(x, m$_0$) = 0 => nghiệm của (1)
- (2) <=> g(x, m$_0$) = 0 => nghiệm của (2)
- Kết luận.
Hướng 1: Nếu (1) & (2) đều giải được.
Ta thực hiện theo các bước sau:
- Bước 1: Giải (1) để tìm tập nghiệm D$_1$. Giải (2) để tìm tập nghiệm D$_2$.
- Bước 2: Thiết lập điều kiện để D$_1$ = D$_2$.
- Bước 1: Điều kiện cần: Giải và tìm nghiệm x = x$_0$ của (1). Để phương trình (1) & (2) tương đương, trước hết cần x = x$_0$ cũng là nghiệm của (2), tức là: g(x$_0$, m) = 0 => m = m$_0$. Vậy m = m$_0$ chính là điều kiện cần.
- Bước 2: Điều kiện đủ: Với m = m$_0$, ta được: (1) <=> f(x, m$_0$) = 0 => nghiệm của (1) và (2) <=> g(x, m$_0$) = 0 => nghiệm của (2)
Thí dụ 1. Cho hai phương trình: $\sqrt {x + 1} - 2 = 0$, (1) và x$^2$ - 2mx - m$^2$ - 2 = 0. (2)
Tìm m để mọi nghiệm của (1) cũng là nghiệm của (2).
Giải
Biến đổi (1) về dạng: $\sqrt {x + 1} = 2$ <=> x + 1 = 4 <=> x = 3.Do đó, để mọi nghiệm của (1) cũng là nghiệm của (2) điều kiện là x = 3 cũng là nghiệm của (2), tức là:
9 - 6m - m$^2$ - 2 = 0 <=> m$^2$ + 6m - 7 = 0 $ \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - 7\end{array} \right..$
Vậy, với m = 1 hoặc m = -7 thoả mãn điều kiện đầu bài.
* Nhận xét: Như vậy, trong lời giải của thí dụ trên ta đã không sử dụng mẫu phương pháp điều kiện cần và đủ bởi các lý do sau:
- Phương trình (1) không chứa tham số.
- Dễ dàng tìm được tất cả các nghiệm của (1) và phép thử các nghiệm đó vào (2) đơn giản.
Trong trường hợp (1) có chứa tham số ta cần chỉ ra được một nghiệm tường minh của (1) để tìm được điều kiện cần cho m. Cụ thể ta đi xem xét ví dụ sau:
Thí dụ 2. Cho hai phương trình: x$^2$ - (m + 2)x + m + 1 = 0, (1)
x$^3$ - 2x$^2$ - mx - m$^2$ + 3 = 0. (2)
Tìm m để mọi nghiệm của (1) cũng là nghiệm của (2).
Giải
Điều kiện cần: Nhận xét rằng với mọi m phương trình (1) luôn có nghiệm x = 1.Do đó, để mọi nghiệm của (1) cũng là nghiệm của (2) trước hết cần x = 1 cũng là nghiệm của (2), tức là:
1 - 2 - m - m$^2$ + 3 = 0 <=> m$^2$ + m - 2 = 0 $ \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - 2\end{array} \right..$.
Đó chính là điều kiện cần của m.
Điều kiện đủ: Ta lần lượt:
Với m = 1, ta được:
(1) <=> x$^2$ - 3x + 2 = 0 <=> x = 1 hoặc x = 2.
(2) <=> x$^3$ - 2x$^2$ - x + 2 = 0 <=> (x - 1)(x$^2$ - x - 2) = 0 <=> x = ±1 hoặc x = 2.
suy ra mọi nghiệm của (1) cũng là nghiệm của (2), tức m = 1 thoả mãn.
Với m = -2, ta được:
(1) <=> x$^2$ - 1 = 0 <=> x = ±1.
(2) <=> x$^3$ - 2x$^2$ + 2x - 1 = 0 <=> (x - 1)(x$^2$ - x + 1) = 0 <=> x = 1.
suy ra x = -1 không là nghiệm của (2), tức m = -2 không thoả mãn.
Vậy, với m = 1 thoả mãn điều kiện đầu bài.
Sửa lần cuối: