Dạng 2: Lập phương trình của Parabol (P)

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
#1

Kiến thức đường parabol là gì, cách lập phương trình parabol cũng như phương pháp xác định tọa độ đỉnh parabol là những thắc mắc được nhiều bạn quan tâm. Bài viết dưới đây của 7scv sẽ giúp bạn tổng hợp về chủ đề cách lập phương trình parabol cũng như những nội dung liên quan, cùng tìm hiểu nhé!


parabol-png.7023
I. Phương pháp thực hiện
Ta lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: Sử dụng phương trình chính tắc của Parabol (P): y$^2$ = 2px hoặc (P): x$^2$ = 2py.
Từ đó cần tìm a, b (hoặc a$^2$, b$^2$) bằng cách thiết lập một hệ hai phương trình với ẩn a, b (hoặc a$^2$, b$^2$).
Cách 2: Sử dụng định nghĩa
  • Bước 1: Lấy điểm M(x, y)∈(P) có tiêu điểm F và dường chuẩn (d).
  • Bước 2: Chuyển MF = MH thành biểu thức giải tích nhờ: MF$^2$ = (x - x$_F$)$^2$ + (y - y$_F$)$^2$ và MH = d(M, (d)).
  • Bước 3: Thu gọn.
Chú ý:
  1. Cần phải cân nhắc giả thiết của bài toán thật kỹ càng để lựa chọn dạng phương trình thích hợp. Trong trường hợp không có gì đặc biệt, ta luôn giả sử Parabol (P) có phương trình: (P): y$^2$ = 2px.
  2. Trong nhiều trường hợp đặc thù chúng ta còn sử dụng phương pháp quỹ tích để xác phương trình Parabol hoặc chứng minh tập hợp điểm là Parabol.
II. Ví dụ vận dụng
Thí dụ 1. Viết phương trình Parabol (P) có đỉnh là gốc toạ độ và đi qua điểm A(2, 2).
Giải​
Parabol (P) có đỉnh O có phương trình (P): y$^2$ = 2px hoặc (P): x$^2$ = 2py.
Trường hợp 1: Nếu phương trình của (P): y$^2$ = 2px.
Vì A∈(P), suy ra 4 = 4p ⇔ p = 1.
Khi đó phương trình Parabol (P1): y$^2$ = 2x.
Trường hợp 2: Nếu phương trình của (P): x$^2$ = 2py.
Vì A∈(P), suy ra 4 = 4p ⇔ p = 1.
Khi đó phương trình Parabol (P2): x$^2$ = 2y.
Vậy tồn tại hai Parabol (P1) và (P2) thoả mãn điều kiện đầu bài.

Thí dụ 2. Cho điểm F(3, 0).
a. Lập phương trình Parabol (P) có tiêu điểm F và đỉnh là gốc toạ độ.
b. Một điểm nằm trên Parabol (P) có hoành độ x = 2. Hãy tính khoảng cách từ điểm đó tới tiêu điểm.
c. Qua I(2, 0) dựng đường thẳng (d) thay đổi luôn cắt Parabol (P) tại hai điểm A, B. Chứng minh rằng tích số khoảng cách từ A và B tới Ox là một hằng số.
Giải​
a. Parabol (P) có tiêu điểm F(3, 0) và đỉnh O(0, 0) suy ra: (P): y$^2$ = 2px.
Ta có $\frac{p}{2}$ = 3 ⇒ p = 6.
Vậy, phương trình Parabol (P): y$^2$ = 12x.

b. Với điểm M(2, y) ∈ (P) luôn có: FM = x + $\frac{p}{2}$ = 2 + 3 = 5.

c. Đường thẳng (d): a(x - 2) + by = 0 đi qua I.
Toạ độ giao điểm A(x$_A$, y$_A$) và B(x$_B$, y$_B$) của (P) và (d) là nghiệm hệ:
$\left\{ \begin{array}{l}{y^2} = 12x\\a(x - 2) + by = 0\end{array} \right.$.
Phương trình tung độ giao điểm của (P) và (d) có dạng:ay$^2$ - 12by + 24a = 0. (1)
Từ đó, ta có $\left\{ \begin{array}{l}{y_A} + {y_B} = \frac{{12b}}{a}\\{y_A}.{y_B} = 24\end{array} \right.$.
Khoảng cách từ A và B đến trục Ox theo thứ tự là: h1 = |y$_A$|, h2 = |y$_B$|.
Nhận xét tích h1.h2 = |y$_A$.y$_B$| = 24 - không đổi
 
Sửa lần cuối:

Bình luận bằng Facebook