Dạng 2: Lập phương trình của Hypebol (H)

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
#1
Phương pháp thực hiện
Ta lựa chọn một trong hai cách sau:
  • Cách 1: Sử dụng phương trình chính tắc của Hypebol (H): $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = \pm 1$. Từ đó cần tìm a, b (hoặc a$^2$, b$^2$) bằng cách thiết lập một hệ hai phương trình với ẩn a, b (hoặc a$^2$, b$^2$).
  • Cách 2: Sử dụng định nghĩa
Chú ý:
1. Cần phải cân nhắc giả thiết của bài toán thật kỹ càng để lựa chọn dạng phương trình thích hợp. Trong trường hợp không có gì đặc biệt, ta luôn giả sử Hypebol (H) có phương trình: (H): $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = \pm 1$
2. Trong nhiều trường hợp đặc thù chúng ta còn sử dụng phương pháp quỹ tích để xác phương trình Hypebol hoặc chứng minh tập hợp điểm là Hypebol, trong trường hợp này này chúng ta thường thực hiện theo hai bước sau:
  • Bước 1: Chứng minh tập hợp điểm là Hypebol (H) bằng việc chỉ ra hai điểm cố định A, B và M thoả mãn |MA - MB| = 2a - không đổi.
  • Bước 2: Lập phương trình chính tắc của Hypebol (H) nhận A, B làm tiêu điểm và có độ dài trục thực bằng 2a.

Thí dụ 1. Cho ba điểm F$_1$(-4, 0), F$_2$(4, 0) và điểm A(2, 0).
a. Lập phương trình Hyperbol (H) đi qua A và có tiêu điểm F$_1$, F$_2$.
b. Tìm toạ độ điểm M trên (H) sao cho MF$_2$ = 2MF$_1$.
a. Vì hai tiêu điểm F$_1$ và F$_2$ thuộc Ox và đối xứng qua Oy nên Hypebol (H) có dạng: (H): $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ (1)
- Tiêu cự c = 4 ⇔ a$^2$ + b$^2$ = 4$^2$ (2)
- Điểm A(2, 0)∈(H) ⇔ a$^2$ = 4 (3)
- Từ (2), (3) suy ra a$^2$ = 4, b$^2$ = 12.
Vậy phương trình (H): $\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{{12}} = 1$.

b. Giả sử M(x$_0$, y$_0$)∈(H) sao cho MF$_2$ = 2MF$_1$, ta có: |MF$_1$ - MF$_2$| = 2a ⇒ MF$_1$ = 2a ⇔ $MF_1^2$ = 4a$^2$
⇔ [( - 4 - x$_0$)$^2$ + $y_0^2$] = 4.16 ⇔ [(4 + x$_0$)$^2$ + $y_0^2$] = 64 (4)
Mặt khác M(x$_0$, y$_0$)∈(H)⇔ $\frac{{x_0^2}}{4} - \frac{{y_0^2}}{{12}} = 1$ (5)
Giải hệ tạo bởi (4), (5), ta được M$_1$( - 3, - $\sqrt {15} $), M$_2$( - 3, $\sqrt {15} $).

Thí dụ 2. Lập phương trình chính tắc và vẽ hình của Hyperbol biết:
a. Đi qua điểm M(2, 2) và mỗi đường tiệm cận tạo với Ox một góc 60$^0$.
b. Đi qua điểm N($\sqrt 2 $, 2) và hai đường tiệm cận có phương trình y = ± 2x.
c. Hai trục trùng với trục toạ độ và đi qua 2 điểm A($\sqrt 6 $, -1) và B(4, $\sqrt 6 $).
- Bạn đọc tự vẽ hình
a. Hyperbol (H) có " mỗi đường tiệm cận tạo với trục hoành một góc 30$^0$ ". Không mất tính tổng quát ta giả sử Hyperbol (H) có phương trình: (H): $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}$ = ± 1 (1)
  • Điểm M(2, 2)∈(H) ⇔ 4b$^2$ - 4a$^2$ = ±a$^2$b$^2$ . (2)
  • Tiệm cận của (H) tạo với trục hoành một góc 30$^0$⇔ $\frac{b}{a}$ = tan60$^0$ ⇔ b = a$\sqrt 3 $ (3)
Giải hệ phương trình tạo bởi (2), (3) ta được a$^2$ = \(\frac{8}{3}\) và b2 = 8.
Vậy phương trình chính tắc của Hypebol (H): $\frac{{{x^2}}}{{8/3}} - \frac{{{y^2}}}{8} = 1$.

b. Giả sử Hyperbol (H) có phương trình ( H ): $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}$ = ± 1 (1)
  • Điểm N($\sqrt 2 $, 2)∈(H) ⇔ 2b$^2$ - 4a$^2$ = ±a$^2$b$^2$ . (2)
  • Hai đường tiệm cận có phương trình y = ± 2x, suy ra:⇔ $\frac{b}{a}$ = 2 ⇔ b = 2a. (3)
Giải hệ phương trình tạo bởi (2), (3) ta được a$^2$ = 1 và b$^2$ = 4.
Vậy phương trình chính tắc của Hypebol (H): $\frac{{{x^2}}}{1} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1$.

c. Giả sử Hyperbol (H) có phương trình: (H): $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}$ = ± 1 (1)
  • Điểm A($\sqrt 6 $, -1)∈(H) ⇔ 6b$^2$ - a$^2$ = ±a$^2$b$^2$ . (2)
  • Điểm B(4, $\sqrt 6 $)∈(H) ⇔ 16b$^2$ - 6a$^2$ = ±a$^2$b$^2$ . (3)
Giải hệ phương trình tạo bởi (2), (3) ta được a$^2$ = 4 và b$^2$ = 2.
Vậy phương trình chính tắc của Hypebol (H): $\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{2} = 1$.

Thí dụ 3. Cho đường tròn (C): x$^2$ + y$^2$ = 9. Tiếp tuyến của (C) tại M cắt Ox tại N. Trên đường thẳng vuông góc với Ox tại N lấy điểm P sao cho PN = $\sqrt 3 $MN với k > 0. Lập phương trình quỹ tích các điểm P khi M di động trên (C).
Giả sử P(x, y), ta có:N(x, 0), PN$^2$ = y$^2$ và MN$^2$ = ON$^2$ - OM$^2$ = x$^2$ - 9
Khi đó: PN = $\sqrt 3 $MN ⇔ PN$^2$ = 3MN$^2$ ⇔ y$^2$ = 3(x$^2$ - 9) ⇔ $\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{{27}} = 1$.
Vậy quỹ tích các điểm M thuộc Hypebol (H)có phương trình: (H): $\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{{27}} = 1$.
 
Sửa lần cuối:

Bình luận bằng Facebook