Dạng 2: Lập phương trình của Elíp

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
#1
Phương pháp thực hiện
Ta lựa chọn một trong hai cách sau:
  • Cách 1: Sử dụng phương trình chính tắc của Elíp (E): $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$
Từ đó cần tìm a, b (hoặc a$^2$, b$^2$) bằng cách thiết lập một hệ hai phương trình với ẩn a, b (hoặc a$^2$, b$^2$).
  • Cách 2: Sử dụng định nghĩa
Nếu biết hai tiêu điểm F$_1$(x$_1$, y$_1$), F$_2$(x$_2$, y$_2$) và độ dài trục lớn bằng 2a thì ta thực hiện theo các bước:
  • Bước 1: Lấy điểm M(x, y)∈(E).
  • Bước 2: Chuyển MF$_1$ + MF$_2$ = 2a (1)
thành biểu thức giải tích nhờ:
$MF_1^2 = {(x - {x_1})^2} + {(y - {y_1})^2}$ (2)
$MF_2^2 = {(x - {x_2})^2} + {(y - {y_2})^2}$ (3)
  • Bước 3: Suy ra MF$_1$ - MF$_2$ = $\frac{{MF_1^2 - MF_2^2}}{{M{F_1} + M{F_2}}}$ = $\frac{{(x_1^2 - x_2^2) + (y_1^2 - y_2^2) - 2x({x_1} - {x_2}) - 2y({y_1} - {y_2})}}{{2a}}$ (4)
  • Bước 4: Lấy (1) + (4) ta được MF1, rồi thay vào (2) ta sẽ được phương trình của (E).
Chú ý:
  1. Cần phải cân nhắc giả thiết của bài toán thật kỹ càng để lựa chọn dạng phương trình thích hợp. Trong trường hợp không có gì đặc biệt, ta luôn giả sử Elíp (E) có phương trình: (E): $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$.
  2. 2. Trong nhiều trường hợp đặc thù chúng ta còn sử dụng phương pháp quỹ tích để xác phương trình Elíp hoặc chứng minh tập hợp điểm là Elíp.

Thí dụ 1. Lập phương trình chính tắc của elíp, biết:
a. Độ dài trục lớn và trục nhỏ lần lượt là 8 và 6.
b. Độ dài trục lớn bằng 10 và tiêu cự bằng 6.
c. Trục lớn thuộc Oy có độ dài trục lớn bằng 26 và tâm sai e = $\frac{{12}}{{13}}$.
a. Ta có ngay a = 4 và b = 3, suy ra phương trình của elíp $\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1$.

b. Ta có ngay a = 5 và c = 3, suy ra b = $\sqrt {{a^2} - {c^2}} $ = 4 nên phương trình của elíp $\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1$.

c. Từ giải thiết ta giả sử Elíp (E) có phương trình(E): $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$, với a<b.
  • Độ dài trục lớn bằng 26 ⇔ 2b = 26 ⇔ b = 13.
  • Tâm sai e = $\frac{{12}}{{13}}$ = $\frac{c}{b}$ = $\frac{{\sqrt {{{13}^2} - {a^2}} }}{{13}}$ ⇔ a$^2$ = = 25.
Vậy Elíp (E) có phương trình: (E): $\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{169}} = 1$.

Thí dụ 2. Lập phương trình chính tắc của elíp, biết:
a. Elíp đi qua các điểm M(0, 3) và N(3, - $\frac{{12}}{5}$).
b. Elíp có một tiêu điểm F1( - $\sqrt 3 $, 0) và điểm M(1, $\frac{{\sqrt 3 }}{2}$) nằm trên elíp.
a. Giả sử Elíp (E) có phương trình: (E): $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$.
  • Vì M ∈ (E) ⇔ $\frac{9}{{{b^2}}} = 1$⇔ b$^2$ = 9.
  • Vì N(3, - $\frac{{12}}{5}$) ∈ (E) ⇔ $\frac{9}{{{a^2}}} + \frac{{144}}{{25.9}} = 1$ ⇔ a$^2$ = 25.
Vậy, Elíp (E) có phương trình: $\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1$.

b. Giả sử Elíp (E) có phương trình: (E): $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$.
  • Vì (E) có một tiêu điểm F1( - $\sqrt 3 $, 0) nên : c = $\sqrt 3 $ ⇔ a$^2$ - b$^2$ = 3. (1)
  • Vì M(1, $\frac{{\sqrt 3 }}{2}$) ∈ (E) ⇔ $\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{3}{{4{b^2}}} = 1$. (2)
Giải hệ phương trình tạo bởi (1) và (2) ta được a$^2$ = 4 và b$^2$ = 1, suy ra: (E): $\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1$.

Thí dụ 3. Cho điểm A(3, 3) và đường tròn (C) có phương trình: (C$_1$): (x + 1)$^2$ + y$^2$ = 16 và (C$_2$): (x - 1)$^2$ + y$^2$ = 1.Gọi M là tâm đường tròn (C) di động tiếp xúc với (C$_1$), (C$_2$). Tìm quỹ tích điểm M, biết:
a. (C) tiếp xúc trong với (C$_1$) và tiếp xúc ngoài với (C$_2$).
b. (C) tiếp xúc trong với cả (C$_1$) và (C$_2$).
- Bạn đọc tự vẽ hình
Xét đường tròn (C$_1$), (C$_2$), ta được: (C$_1$): $\left\{ \begin{array}{l}Tam\,\,\,{O_1}( - 1;\,0)\\Bkinh\,\,\,{R_1} = 4\end{array} \right.$ và (C$_2$): $\left\{ \begin{array}{l}Tam\,\,\,{O_2}(1;\,0)\\Bkinh\,\,\,{R_2} = 1\end{array} \right.$.
a. Giả sử M(x, y) là tâm và R là bán kính đường tròn (C) tiếp xúc trong với (C$_1$) và tiếp xúc ngoài với (C$_2$), ta được:
$\left\{ \begin{array}{l}{R_1} - R = M{O_1}\\{R_2} + R = M{O_2}\end{array} \right.$ ⇒ MO$_1$ + MO$_2$ = R$_1$ + R$_2$ = 5.
Vậy tập hợp các điểm M thuộc Elíp (E) nhận O$_1$, O$_2$ làm tiêu điểm và có độ dài trục lớn bằng 5.
* Xác định phương trình của Elíp (E): Vì O$_1$, O$_2$ thuộc Ox và đối xứng qua O nên phương trình của (E) có dạng:
(E): $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$, với 0 < b < a.
trong đó: 2a = 5 ⇔ a = \(\frac{5}{2}\), b$^2$ = a$^2$ - c$^2$ = \(\frac{{25}}{4}\) - ${\left( {\frac{{{O_1}{O_2}}}{2}} \right)^2}$ = \(\frac{{25}}{4}\) - 1 = \(\frac{{21}}{4}\).
Vậy tập hợp các điểm M thuộc Elíp (E) có phương trình $\frac{{{x^2}}}{{25/4}} + \frac{{{y^2}}}{{21/4}} = 1$.

b. Giả sử M(x, y) là tâm và R là bán kính đường tròn (C) tiếp xúc trong với cả (C$_1$) và (C$_2$), ta được:
$\left\{ \begin{array}{l}{R_1} - R = M{O_1}\\R - {R_2} = M{O_2}\end{array} \right.$ ⇒ MO$_1$ + MO$_2$ = R$_1$ - R$_2$ = 3
Vậy tập hợp các điểm M thuộc Elíp (E) nhận O$_1$, O$_2$ làm tiêu điểm và có độ dài trục lớn bằng 3.
Xác định phương trình của Elíp (E)
Vì O$_1$, O$_2$ thuộc Ox và đối xứng qua O nên phương trình của (E) có dạng: (E): $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$, với 0 < b < a. trong đó: 2a = 3 ⇔ a = \(\frac{3}{2}\),
b$^2$ = a$^2$ - c$^2$ = \(\frac{9}{4}\) - ${\left( {\frac{{{O_1}{O_2}}}{2}} \right)^2}$ = \(\frac{9}{4}\) - 1 = \(\frac{5}{4}\).
Vậy tập hợp các điểm M thuộc Elíp (E) có phương trình $\frac{{{x^2}}}{{9/4}} + \frac{{{y^2}}}{{5/4}} = 1$.
 
Sửa lần cuối:

Bình luận bằng Facebook