Thí dụ 1. Cho hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}(2a - 1)x - y = 1\\x + (a + 1)y = - 1\end{array} \right.$.
a. Xét nghiệm của hệ đó với a = 0, a = $\frac{1}{2}$.
b. Giải và biện luận hệ phương trình.
Trường hợp 1: Nếu D ≠ 0, tức là: 2a$^2$ + a ≠ 0 <=> $\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\a \ne - 1/2\end{array} \right.$. Hệ có nghiệm duy nhất x = $\frac{1}{{2a + 1}}$ và y = -$\frac{2}{{2a + 1}}$.
Trường hợp 2: Nếu D = 0, tức là: 2a$^2$ + a = 0 <=> a = 0 hoặc a = –$\frac{1}{2}$.
Trong nhiều trường hợp việc khử tham số cần áp dụng các hằng đẳng thức lượng giác, ví dụ như: sin$^2$α + cos$^2$α = 1, tanα.cotα = 1, $\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}$-tan$^2$α = 1, $\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}$-cot$^2$α = 1,...
Thí dụ 2. Giải và biện luận hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x(1 + \cos 2\alpha ) + y\sin 2\alpha = \sin 2\alpha \\x(1 + \cos 2\alpha ) - y.\sin 2\alpha = \cos 2\alpha \end{array} \right.$. Tìm hệ thức liên hệ giữa nghiệm x, y của hệ không phụ thuộc vào α.
b. Hướng dẫn: Viết lại hệ dưới dạng:
$\left\{ \begin{array}{l}x.\cos 2\alpha + (y - 1)\sin 2\alpha = - x\$x - 1)\cos 2\alpha - y.\sin 2\alpha = - x\end{array} \right.$
coi cos2α và sin2α làm ẩn ta đi tính các D, D$_{cos2α}$ và D$_{sin2α}$ từ đó suy ra:
$\left\{ \begin{array}{l}\cos 2\alpha = f(x,\,y)\\\sin 2\alpha = g(x,\,y)\end{array} \right.$ $\mathop \Rightarrow \limits^{{{\sin }^2}2\alpha + {{\cos }^2}2\alpha = 1} $ f$^2$(x, y) + g$^2$(x, y) = 1.
Đó chính là hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào α.
Thí dụ 3. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: $\left\{ \begin{array}{l}mx + y = 1\,\,\,\,(1)\\x + my = 1\,\,\,\,(2)\\x + y = m\,\,\,\,\,\,\,(3)\end{array} \right.$ . (I)
Ta có D = 1 - m, D$_x$ = 1 - m$^2$, D$_y$ = m - 1.
Trường hợp 1: Nếu D ≠ 0 <=> 1 - m ≠ 0 <=> m ≠ 1.
Khi đó, hệ (II) hệ (II) có nghiệm duy nhất x = 1 + m và y = -1.
Nghiệm trên thoả mãn (1) <=> m(1 + m) - 1 = 1 <=> m$^2$ + m - 2 = 0 <=> $\left[ \begin{array}{l}m = 1\,\,(l)\\m = - 2\end{array} \right.$.
Trường hợp 2: Nếu D = 0 <=> 1 - m = 0 <=> m = 1. Khi đó hệ (I) có dạng: x + y = 1, có vô số nghiệm.
Vậy, với m = 1 hoặc m = -2 hệ có nghiệm.
* Chú ý: Với bài toán yêu cầu "Tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trước", ta có các nhận xét sau:
Thí dụ 4. Cho hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x + my = 1\\mx - y = - m\end{array} \right.$.
a. Chứng tỏ rằng với mọi m hệ luôn có nghiệm duy nhất.
b. Tìm giá trị của m để hệ có nghiệm (x; y) là một điểm thuộc góc phần tư thứ I.
D$_x$ = 1 - m$^2$, D$_y$ = 2m.
Vậy, với mọi m hệ luôn có nghiệm duy nhất $\left( {\frac{{1 - {m^2}}}{{{m^2} + 1}}} \right.$; $\left. {\frac{{2m}}{{{m^2} + 1}}} \right)$.
b. Để nghiệm (x; y) là một điểm thuộc góc phần tư thứ I, điều kiện là:
$\left\{ \begin{array}{l}\frac{{1 - {m^2}}}{{{m^2} + 1}} > 0\\\frac{{2m}}{{{m^2} + 1}} > 0\end{array} \right.$ <=> $\left\{ \begin{array}{l}1 - {m^2} > 0\\2m > 0\end{array} \right.$ <=> $\left\{ \begin{array}{l}{m^2} < 1\\m > 0\end{array} \right.$ <=> 0 < m < 1.
Vậy, với 0 < m < 1 thoả mãn điều kiện đầu bài.
Thí dụ 5. Cho hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}(m - 2)x + 2y = m\$2m - 1)x - y = 2m + 5\end{array} \right.$.
a. Tìm hệ thức liên hệ giữa nghiệm x, y không phụ thuộc vào m.
b. Khi hệ có nghiệm duy nhất, tìm m∈$\mathbb{Z}$ để hệ có nghiệm nguyên.
<=> $\left\{ \begin{array}{l}5m(x - 1) = 4x + 10\\m(5y + 2) = 4y + 10\end{array} \right.$
=> $\frac{{5(x - 1)}}{{5y + 2}} = \frac{{4x + 10}}{{4y + 10}}$
<=> 21x - 35y + 75 = 0.
Đó là hệ thức liên hệ giữa nghiệm x, y của hệ không phụ thuộc vào m.
b. Từ công thức nghiệm x, ta biến đổi $x = 1 + \frac{{14}}{{5m - 4}}$.
Khi đó, để x nguyên điều kiện là 5m - 4 phải là ước của 14 (tức bằng ±1, ±2, ±7, ±14) từ đó ta lập bảng:
Vậy, ta nhận được:
a. Xét nghiệm của hệ đó với a = 0, a = $\frac{1}{2}$.
b. Giải và biện luận hệ phương trình.
Giải
a. Ta có:- Với a = 0, hệ có vô số nghiệm.
- Với a = $\frac{1}{2}$, hệ có nghiệm (-$\frac{1}{2}$; -1)
Trường hợp 1: Nếu D ≠ 0, tức là: 2a$^2$ + a ≠ 0 <=> $\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\a \ne - 1/2\end{array} \right.$. Hệ có nghiệm duy nhất x = $\frac{1}{{2a + 1}}$ và y = -$\frac{2}{{2a + 1}}$.
Trường hợp 2: Nếu D = 0, tức là: 2a$^2$ + a = 0 <=> a = 0 hoặc a = –$\frac{1}{2}$.
- Với a = 0, suy ra D$_x$ = D$_y$ = 0 nên hệ có vô số nghiệm.
- Với a = –$\frac{1}{2}$, suy ra D$_x$ ≠ 0 nên hệ vô nghiệm.
- Với a ≠ 0 và a ≠ –$\frac{1}{2}$, hệ có nghiệm $\frac{1}{{2a + 1}}$ và y = -$\frac{2}{{2a + 1}}$.
- Với a = 0, hệ có vô số nghiệm.
- Với a = –$\frac{1}{2}$, hệ vô nghiệm.
Trong nhiều trường hợp việc khử tham số cần áp dụng các hằng đẳng thức lượng giác, ví dụ như: sin$^2$α + cos$^2$α = 1, tanα.cotα = 1, $\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}$-tan$^2$α = 1, $\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}$-cot$^2$α = 1,...
Thí dụ 2. Giải và biện luận hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x(1 + \cos 2\alpha ) + y\sin 2\alpha = \sin 2\alpha \\x(1 + \cos 2\alpha ) - y.\sin 2\alpha = \cos 2\alpha \end{array} \right.$. Tìm hệ thức liên hệ giữa nghiệm x, y của hệ không phụ thuộc vào α.
Giải
a. Bạn đọc tự giải.b. Hướng dẫn: Viết lại hệ dưới dạng:
$\left\{ \begin{array}{l}x.\cos 2\alpha + (y - 1)\sin 2\alpha = - x\$x - 1)\cos 2\alpha - y.\sin 2\alpha = - x\end{array} \right.$
coi cos2α và sin2α làm ẩn ta đi tính các D, D$_{cos2α}$ và D$_{sin2α}$ từ đó suy ra:
$\left\{ \begin{array}{l}\cos 2\alpha = f(x,\,y)\\\sin 2\alpha = g(x,\,y)\end{array} \right.$ $\mathop \Rightarrow \limits^{{{\sin }^2}2\alpha + {{\cos }^2}2\alpha = 1} $ f$^2$(x, y) + g$^2$(x, y) = 1.
Đó chính là hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào α.
Thí dụ 3. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: $\left\{ \begin{array}{l}mx + y = 1\,\,\,\,(1)\\x + my = 1\,\,\,\,(2)\\x + y = m\,\,\,\,\,\,\,(3)\end{array} \right.$ . (I)
Giải
Xét hệ phương trình tạo bởi (2) và (3): $\left\{ \begin{array}{l}x + my = 1\\x + y = m\end{array} \right.$. (II)Ta có D = 1 - m, D$_x$ = 1 - m$^2$, D$_y$ = m - 1.
Trường hợp 1: Nếu D ≠ 0 <=> 1 - m ≠ 0 <=> m ≠ 1.
Khi đó, hệ (II) hệ (II) có nghiệm duy nhất x = 1 + m và y = -1.
Nghiệm trên thoả mãn (1) <=> m(1 + m) - 1 = 1 <=> m$^2$ + m - 2 = 0 <=> $\left[ \begin{array}{l}m = 1\,\,(l)\\m = - 2\end{array} \right.$.
Trường hợp 2: Nếu D = 0 <=> 1 - m = 0 <=> m = 1. Khi đó hệ (I) có dạng: x + y = 1, có vô số nghiệm.
Vậy, với m = 1 hoặc m = -2 hệ có nghiệm.
* Chú ý: Với bài toán yêu cầu "Tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trước", ta có các nhận xét sau:
- a. Với D ≠ 0, hệ phương trình có nghiệm duy nhất x = $\frac{{{D_x}}}{D}$ và y = $\frac{{{D_y}}}{D}$.
- b. Với D = D$_x$ = D$_y$ = 0, hệ phương trình có vô số nghiệm.
- c. Với D = 0 và D$_x$ ≠ 0 hoặc D$_y$ ≠ 0, hệ phương trình vô nghiệm.
Thí dụ 4. Cho hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x + my = 1\\mx - y = - m\end{array} \right.$.
a. Chứng tỏ rằng với mọi m hệ luôn có nghiệm duy nhất.
b. Tìm giá trị của m để hệ có nghiệm (x; y) là một điểm thuộc góc phần tư thứ I.
Giải
a. Ta có: D = m$^2$ + 1 ≠ 0 với ∀m, nên hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất.D$_x$ = 1 - m$^2$, D$_y$ = 2m.
Vậy, với mọi m hệ luôn có nghiệm duy nhất $\left( {\frac{{1 - {m^2}}}{{{m^2} + 1}}} \right.$; $\left. {\frac{{2m}}{{{m^2} + 1}}} \right)$.
b. Để nghiệm (x; y) là một điểm thuộc góc phần tư thứ I, điều kiện là:
$\left\{ \begin{array}{l}\frac{{1 - {m^2}}}{{{m^2} + 1}} > 0\\\frac{{2m}}{{{m^2} + 1}} > 0\end{array} \right.$ <=> $\left\{ \begin{array}{l}1 - {m^2} > 0\\2m > 0\end{array} \right.$ <=> $\left\{ \begin{array}{l}{m^2} < 1\\m > 0\end{array} \right.$ <=> 0 < m < 1.
Vậy, với 0 < m < 1 thoả mãn điều kiện đầu bài.
Thí dụ 5. Cho hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}(m - 2)x + 2y = m\$2m - 1)x - y = 2m + 5\end{array} \right.$.
a. Tìm hệ thức liên hệ giữa nghiệm x, y không phụ thuộc vào m.
b. Khi hệ có nghiệm duy nhất, tìm m∈$\mathbb{Z}$ để hệ có nghiệm nguyên.
Giải
a. Hướng dẫn: Từ hệ thức về nghiệm: $\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{5m + 10}}{{5m - 4}}\\y = \frac{{2m - 10}}{{4 - 5m}}\end{array} \right.$ <=> $\left\{ \begin{array}{l}5m(x - 1) = 4x + 10\\m(5y + 2) = 4y + 10\end{array} \right.$
=> $\frac{{5(x - 1)}}{{5y + 2}} = \frac{{4x + 10}}{{4y + 10}}$
<=> 21x - 35y + 75 = 0.
Đó là hệ thức liên hệ giữa nghiệm x, y của hệ không phụ thuộc vào m.
b. Từ công thức nghiệm x, ta biến đổi $x = 1 + \frac{{14}}{{5m - 4}}$.
Khi đó, để x nguyên điều kiện là 5m - 4 phải là ước của 14 (tức bằng ±1, ±2, ±7, ±14) từ đó ta lập bảng:
Vậy, ta nhận được:
- Với m = -2 thì hệ có cặp nghiệm nguyên là (0; -1).
- Với m = 1 thì hệ có cặp nghiệm nguyên là (15; 8).
Sửa lần cuối: