Dạng 2: góc giữa hai mặt phẳng

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Phương pháp:
Để tính góc giữa hai mặt phẳng H và (β) ta có thể thực hiện theo một trong các cách sau:
Cách 1. Tìm hai đường thẳng MN lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng H và Ox,Oy,Oz. Khi đó góc giữa hai đường thẳng A,B,C chính là góc giữa hai mặt phẳng OA = OB + OC = 1 và OABC.
$\widehat {OBA} + \widehat {ABC} + \widehat {OCB}$.
Cách 2. Tìm hai vec tơ ABC.A'B'C' có giá lần lượt vuông góc với $AB = AC = a,AA' = a\sqrt 2 $ và M khi đó góc giữa hai mặt phẳng AB và (α) xác định bởi M.
Cách 3. Sử dụng công thức hình chiếu $B'C$, từ đó để tính $\cos \varphi $ thì ta cần tính a và b.
Cách 4. Xác định cụ thể góc giữa hai mặt phẳng rồi sử dụng hệ thức lượng trong tam giác để tính. Ta thường xác định góc giữa hai mặt phẳng theo một trong hai cách sau:
a)
GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG _1.png

  • Tìm giao tuyến M,N
  • Chọn mặt phẳng AB,BC
  • Tìm các giao tuyến (α)
  • $\widehat {\left( {\left( \alpha \right),\left( \beta \right)} \right)} = \widehat {\left( {a,b} \right)}$
b)
GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG_2.png

  • Tìm giao tuyến SB
  • Lấy M, N, P.Dựng hình chiếu AB,BC,C'D' của ABCD.A'B'C'D' trên MN
  • Dựng BD.
Phương pháp này có nghĩa là tìm hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng AD' và vuông góc với giao tuyến MN tại một điểm trên giao tuyến.

Câu 1: Cho tứ diện ABCD có AC = AD và BC = BD. Gọi I là trung điểm của CD. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Góc giữa hai mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ và $\left( {ABD} \right)$ là $\widehat {CBD}$.
B. Góc giữa hai mặt phẳng $\left( {ACD} \right)$ và $\left( {BCD} \right)$ là $\widehat {AIB}$.
C. $\left( {BCD} \right) \bot \left( {AIB} \right)$.
D. $\left( {ACD} \right) \bot \left( {AIB} \right)$.
GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG _01.png

Tam giác BCD cân tại B có I trung điểm đáy CD =>$CD \bot BI$ (1)
Tam giác ACD cân tại A có I trung điểm đáy CD =>$CD \bot AI$ (2)
(1) và (2) =>$CD \bot \left( {ABI} \right)$. Vậy A: sai
Chọn A
Câu 2: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy ABCD là hình thoi tâm I cạnh bằng A và góc $\widehat A = {60^0}$, cạnh $SC = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}$ và SC vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$. Trong tam giác SAC kẻ $IK \bot SA$ tại K. Tính số đo góc $\widehat {{\rm{BKD}}}$.
A. ${60^0}$.
B. ${45^0}$.
C. ${90^0}$.
D. ${30^0}$.
GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG _02.png

Ta có $CH = \frac{{CS.CA}}{{\sqrt {C{S^2} + C{A^2}} }} = a;\,(\,CA = 2AI = a\sqrt 3 )$ ; $IK = \frac{1}{2}CH = \frac{1}{2}a = IB = ID$.
với H là hình chiếu của C lên SA, K là hình chiếu của I lên SA.
Vậy chọn đáp án C.
Câu 3: Cho tứ diện đều ABCD. Góc giữa $\left( {ABC} \right)$ và $\left( {ABD} \right)$ bằng α. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
A. $\cos \alpha = \frac{1}{3}$.
B. $\cos \alpha = \frac{1}{4}$.
C. $\alpha = {60^0}$.
D. $\cos \alpha = \frac{1}{5}$.
Đặt AB = a. Gọi I là trung điểm của AB.
Tam giác ABC đều cạnh a nên $CI \bot AB$ và $CI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.
Tam giác $ABD$ đều nên $DI \bot AB$ và $DI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.
Do đó, $\left( {\left( {ABC} \right),\left( {ABD} \right)} \right) = \left( {CI,DI} \right) = \widehat {CID} = \alpha $.
Tam giác $CID$ có $\cos \alpha = \frac{{I{C^2} + I{D^2} - C{D^2}}}{{2.IC.ID}} = \frac{{\frac{{3{a^2}}}{4} + \frac{{3{a^2}}}{4} - {a^2}}}{{2.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{\frac{{{a^2}}}{2}}}{{\frac{{3{a^2}}}{2}}} = \frac{1}{3}$. Chọn A.
Câu 4: Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính ${\mathop{\rm cosin}\nolimits} $của góc giữa một mặt bên và một mặt đáy.
A. $\frac{1}{2}$.
B. $\frac{1}{3}$.
C. $\frac{1}{{\sqrt 3 }}$.
D. $\frac{1}{{\sqrt 2 }}$.
Chọn C.
GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG _04.png

Giả sử gọi hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a là S.ABCD có đường cao $SH$.
Ta có: $\left( {SCD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD$. Gọi M là trung điểm CD.
Dễ chứng minh được $SM \bot CD$ và $HM \bot CD$ $ \Rightarrow \left( {\left( {SCD} \right),\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SM,HM} \right) = \widehat {SMH} = \alpha $.
Từ giả thiết suy ra $\Delta SCD$ là tam giác đều cạnh a có $SM$ là đường trung tuyến $ \Rightarrow SM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.
$ \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{HM}}{{SM}} = \frac{{\frac{a}{2}}}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$.
Câu 5: Cho hình chóp S.ABC có hai mặt bên $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SAC} \right)$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$, tam giác ABC vuông cân ở A và có đường cao $AH$ $\left( {H \in BC} \right)$. Gọi O là hình chiếu vuông góc của A lên $\left( {SBC} \right)$. Khẳng định nào sau đây sai ?
A. $SC \bot \left( {ABC} \right)$.
B. $O \in SH$.
C. $\left( {SAH} \right) \bot \left( {SBC} \right)$.
D. $\left( {\widehat {\left( {SBC} \right),\left( {ABC} \right)}} \right) = \widehat {SBA}$.
GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG _05.png

Ta có $\left. \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {SAC} \right) = SA\end{array} \right\} \Rightarrow SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC$.
$\left. \begin{array}{l}BC \bot AH\\BC \bot SA\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {SAH} \right) \Rightarrow BC \bot SH$.
Mặt khác, $AH \bot BC$ nên $\left( {\left( {SBC} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SH,AH} \right) = \widehat {SHA}$. Chọn D.
Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a và có góc $\widehat {BAD} = {60^0}$. Đường thẳng $SO$ vuông góc với mặt phẳng đáy $\left( {ABCD} \right)$ và $SO = \frac{{3a}}{4}$. Gọi $E$ là trung điểm BC và $F$ là trung điểm $BE$. Góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SOF} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$ là
A. ${90^{\rm{o}}}.$
B. ${60^{\rm{o}}}.$
C. ${30^{\rm{o}}}.$
D. ${45^{\rm{o}}}.$
GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG _06.png

 $\Delta BCD$ đều nên $DE \bot BC$. Mặt khác $OF{\rm{//}}DE \Rightarrow BC \bot OF$ (1).
 Do $SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow BC \bot SO$ (2).
 Từ (1) và (2), suy ra $BC \bot \left( {SOF} \right) \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {SOF} \right).$
Vậy, góc giữa$\left( {SOF} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$ bằng ${90^{\rm{o}}}.$
Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và có $SA = SB = SC = a$. Góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$ và $\left( {ABCD} \right)$ bằng
A. ${30^o}$.
B. ${90^o}$.
C. ${60^o}$.
D. ${45^o}$.
GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG _07.png

Gọi H là chân đường vuông góc của S xuống mặt phẳng đáy $\left( {ABCD} \right)$ ($SH \bot \left( {ABCD} \right)$)
$SA = SB = SC = a$ => các hình chiếu: $HA = HB = HC$ =>H là tâm đường tròn $\left( {ABC} \right)$
Mà tam giác ABC cân tại B (vì $BA = BC = a$) => tâm H phải nằm trên BD =>$SH \subset \left( {SBD} \right)$
Vậy có $\left. \begin{array}{l}SH \bot \left( {ABCD} \right)\\SH \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {SBD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)$ nên góc $\left[ {\left( {SBD} \right),\left( {ABCD} \right)} \right] = {90^o}$.
Chọn B
Câu 8: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông tâm O. Các cạnh bên và các cạnh đáy đều bằng a. Gọi M là trung điểm SC. Góc giữa hai mặt phẳng $\left( {MBD} \right)$ và $\left( {ABCD} \right)$ bằng:
A. ${90^0}$.
B. ${60^0}$.
C. ${45^0}$.
D. ${30^0}$.
GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG _08.png

Gọi $M'$ là trung điểm $OC$. Có ${S_{\Delta MBD}} = \frac{1}{2}MO.BD = \frac{1}{2}.\frac{a}{2}.a\sqrt 2 = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{4}$ ;
${S_{\Delta BM'D}} = \frac{1}{2}M'O.BD = \frac{1}{2}.\frac{1}{4}.a\sqrt 2 .a\sqrt 2 = \frac{{{a^2}}}{4}$. Do đó $\cos \alpha = \frac{{{S_{\Delta BM'D}}}}{{{S_{\Delta BMD}}}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \alpha = {45^0}$
Vậy chọn đáp án C.
Câu 9: Cho tam giác ABC vuông tại A. Cạnh AB = a nằm trong mặt phẳng (P), cạnh $AC = a\sqrt 2 $, AC tạo với (P) một góc ${60^0}$. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
A. $\left( {ABC} \right)$ tạo với (P) góc ${45^0}$.
B. BC tạo với (P) góc ${30^0}$.
C. BC tạo với (P) góc ${45^0}$.
D. BC tạo với (P) góc ${60^0}$.
GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG _09.png

Gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên mặt phẳng (P).
Khi đó, $\left( {AC,\left( P \right)} \right) = \left( {AC,AH} \right) = \widehat {CAH} = {60^0}$ và $\left( {BC,\left( P \right)} \right) = \left( {BC,AH} \right) = \widehat {CBH} = \alpha $.
Tam giác $AHC$ vuông tại H nên $\sin \widehat {CAH} = \frac{{CH}}{{AC}} \Rightarrow CH = AC.\sin \widehat {CAH} = a\sqrt 2 .\sin {60^0} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}$.
Tam giác $CHB$ vuông tại H nên $\sin \alpha = \frac{{CH}}{{BC}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 6 }}{2}}}{{\sqrt {{a^2} + {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}} }} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \alpha = {45^0}$.
Chọn C.
Câu 10: Cho hình chóp S.ABC có $SA \bot \left( {ABC} \right)$ và đáy ABC vuông ở A. Khẳng định nào sau đây sai ?
A. $\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)$.
B. $\left( {SAB} \right) \bot \left( {SAC} \right)$.
C. Vẽ $AH \bot BC,{\rm{ }}H \in BC \Rightarrow $ góc $AHS$ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$.
D. Góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ và $\left( {SAC} \right)$ là góc $\widehat {SCB}$.
Chọn D.
Ta có: $SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow \left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)$ nên đáp án A đúng.
$AB \bot AC,AB \bot SA \Rightarrow AB \bot \left( {SAC} \right)$ $ \Rightarrow \left( {SAB} \right) \bot \left( {SAC} \right)$. Nên đáp án B đúng
$AH \bot BC;BC \bot SA \Rightarrow BC \bot \left( {SAH} \right)$ $ \Rightarrow SH \bot BC \Rightarrow \left( {\widehat {\left( {SBC} \right),\left( {ABC} \right)}} \right) = \widehat {SHA}$.
Nên đáp án C đúng.
Ta có: $\left( {SBC} \right) \cap \left( {SAC} \right) = SC$ nên đáp án D sai.
Câu 12: Cho hình chóp S.ABC có $SA \bot \left( {ABC} \right)$ và $AB \bot BC$, gọi I là trung điểm BC. Góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$ là góc nào sau đây?
A. Góc SBA.
B. Góc SCA.
C. Góc SCB.
D. Góc SIA.
GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG _12.png

Chọn A.
Ta có: $BC \bot SA,BC \bot AB \Rightarrow BC \bot SB$
$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC}\\{AB \bot BC,AB \subset \left( {ABC} \right)}\\{SB \bot BC,SB \subset \left( {SBC} \right)}\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SBC} \right),\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {SBA}$.
Câu 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và $SA \bot \left( {ABCD} \right)$, gọi O là tâm hình vuông ABCD. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ và $\left( {ABCD} \right)$ là góc $\widehat {ABS}$.
B. Góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$ và $\left( {ABCD} \right)$ là góc $\widehat {SOA}$.
C. Góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$ và $\left( {ABCD} \right)$ là góc $\widehat {SDA}$.
D. $\left( {SAC} \right) \bot \left( {SBD} \right)$.
Chọn C.
GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG _13.png

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {SAD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AD}\\{AB \bot AD,AB \subset \left( {ABCD} \right)}\\{SA \bot A{\rm{D}},SA \subset \left( {SAD} \right)}\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SAD} \right),\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {SAB}$.
Nên đáp án C sai.
Câu 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O. Biết $SO \bot \left( {ABCD} \right)$, $SO = a\sqrt 3 $ và đường tròn ngoại tiếp ABCD có bán kính bằng a. Gọi α là góc hợp bởi mặt bên $\left( {SCD} \right)$ với đáy. Khi đó $\tan \alpha = ?$
A. $\frac{{\sqrt 3 }}{2}$.
B. $\frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }}$.
C. $\frac{{\sqrt 6 }}{6}$.
D. $\sqrt 6 $.
Chọn D.
GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG _14.png

Gọi M là trung điểm của CD.
Khi đó $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{CD \bot OM}\\{CD \bot SO}\end{array}} \right.$
$ \Rightarrow CD \bot SM \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SCD} \right),\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {SMO} = \alpha $.
Ta có: $R = OA = a \Rightarrow AC = 2a \Rightarrow AB = AD = a\sqrt 2 $.
$ \Rightarrow OM = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \tan \alpha = \frac{{SO}}{{OM}} = \sqrt 6 $.
Câu 15: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với $SA = 2AB$. Góc giữa $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$ bằng α. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
A. $\alpha = {\rm{6}}{0^0}$.
B. $\cos \alpha = \frac{1}{{3\sqrt 5 }}$.
C. $\cos \alpha = \frac{1}{{4\sqrt 5 }}$.
D. $\cos \alpha = \frac{1}{{2\sqrt 5 }}$.
C
GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG _15.png

Gọi O là tâm của tam giác đều ABC
Gọi $CO \cap AB = H$suy ra H là trung điểm AB( vì $\Delta ABC$đều)
$ \Rightarrow OH \bot AB$và $OH = \frac{1}{3}CH = \frac{1}{3}.\frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = \frac{{AB\sqrt 3 }}{6}$
Tìm góc giữa $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AB}\\{OH \bot AB}\\{SO \bot AB{\rm{ }}\left( {SO \bot (ABC)} \right){\rm{ }}}\end{array}} \right.$
$ \Rightarrow SH \bot AB$ (1)
Ta có
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AB}\\{OH \bot AB,{\rm{ }}OH \subset (ABC)}\\{SH \bot AB,SH \subset (SAB){\rm{ }}}\end{array}} \right.$
$ \Rightarrow \left( {\widehat {(SAB);(ABC)}} \right) = \left( {\widehat {SH;OH}} \right) = \widehat {SHO} = \alpha $
Từ (1) suy ra $SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}} = \sqrt {{{\left( {2AB} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{AB}}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {15} }}{2}AB$
Từ đó ta có :$\cos \alpha = \frac{{OH}}{{SH}} = \frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{6}AB}}{{\frac{{\sqrt {15} }}{2}AB}} = \frac{1}{{3\sqrt 5 }}$
Chọn B
 

Chương 8: Vector trong không gian

Các dạng toán liên quan giữa hai đường thẳng trong không gian Các dạng toán liên quan giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Các dạng toán liên quan giữa hai mặt phẳng trong không gian Các dạng toán tính khoảng cách trong không gian