Dạng 2: Chứng minh một đẳng thức vectơ

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Phương pháp áp dụng
Ta lựa chọn một trong các hướng biến đổi sau:
Hướng 1: Biến đổi một vế thành vế còn lại (VT ⇒ VP hoặc VP ⇒ VT). Khi đó:
  • Nếu xuất phát từ vế phức tạp ta cần thực hiện việc đơn giản biểu thức.
  • Nếu xuất phát từ vế đơn giản ta cần thực hiện việc phân tích vectơ.
Hướng 2: Biến đổi đẳng thức cần chứng minh về một đẳng thức đã biết là luôn đúng.
Hướng 3: Biến đổi một đẳng thức vectơ đã biết là luôn đúng thành đẳng thức cần chứng minh.
Hướng 4: Tạo dựng các hình phụ.

Khi thực hiện các phép biến đổi ta sử dụng:
  • Quy tắc ba điểm: $\overrightarrow {AB} $ = $\overrightarrow {AC} $ + $\overrightarrow {CB} $.
  • Quy tắc hình bình hành: Với hình bình hành ABCD luôn có: $\overrightarrow {AC} $ = $\overrightarrow {AB} $ + $\overrightarrow {AD} $.
  • Hiệu hai vectơ cùng gốc $\overrightarrow {AB} $ - $\overrightarrow {AC} $ = $\overrightarrow {CB} $.
  • Tính chất trung điểm: Với điểm M tuỳ ý và I là trung điểm của AB luôn có: $\overrightarrow {MI} $ = $\frac{1}{2}$($\overrightarrow {MA} $ + $\overrightarrow {MB} $).
  • Tính chất trọng tâm tam giác: Với ΔABC có trọng tâm G ta có:
$\overrightarrow {GA} $ + $\overrightarrow {GB} $ + $\overrightarrow {GC} $ = $\vec 0$.
$\overrightarrow {MA} $ + $\overrightarrow {MB} $ + $\overrightarrow {MC} $ = 3$\overrightarrow {MG} $, với M tuỳ ý.​

  • Các tính chất của phép cộng, trừ vectơ và phép nhân một số với một vectơ.
Thí dụ 1: Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng $\overrightarrow {AB} $ + $\overrightarrow {CD} $ + $\overrightarrow {BC} $ = $\overrightarrow {AD} $.
Ta có thể trình bày theo ba cách sau:
Cách 1: Sử dụng quy tắc ba điểm, ta có:
VT = ($\overrightarrow {AB} $ + $\overrightarrow {BC} $) + $\overrightarrow {CD} $ = $\overrightarrow {AC} $ + $\overrightarrow {CD} $ = $\overrightarrow {AD} $, đpcm.

Cách 2: Sử dụng quy tắc ba điểm, ta có:
VT = $\overrightarrow {AB} $ + ($\overrightarrow {BC} $ + $\overrightarrow {CD} $) = $\overrightarrow {AB} $ + $\overrightarrow {BD} $ = $\overrightarrow {AD} $, đpcm.

Cách 3: Sử dụng quy tắc ba điểm, ta có:
$\overrightarrow {AD} $ = $\overrightarrow {AC} $ + $\overrightarrow {CD} $ = $\overrightarrow {AB} $ + $\overrightarrow {BC} $ + $\overrightarrow {CD} $, đpcm.

Cách 4: Sử dụng quy tắc ba điểm, ta có:
$\overrightarrow {AD} $ = $\overrightarrow {AB} $ + $\overrightarrow {BD} $ = $\overrightarrow {AB} $ + $\overrightarrow {BC} $ + $\overrightarrow {CD} $, đpcm.

Nhận xét: Việc trình bày thí dụ trên theo bốn cách chỉ mang tính chất minh hoạ cho những ý tưởng sau:
  1. Với cách 1 và cách 2, chúng ta gom hai vectơ có "điểm cuối của vectơ thứ nhất trùng với điểm đầu của vectơ thứ hai" từ đó sử dụng chiều thuận của quy tắc ba điểm.
  2. Với cách 3 và cách 4, chúng ta sử dụng chiều ngược lại của quy tắc ba điểm, cụ thể "với một vectơ $\overrightarrow {AB} $ bất kì chúng ta đều có thể xen thêm vào giữa một điểm tuỳ ý để từ đó phân tích được vectơ $\overrightarrow {AB} $ thành tổng của hai vectơ".

Thí dụ 2: Cho 4 điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng $\overrightarrow {AB} $ + $\overrightarrow {CD} $ = $\overrightarrow {AD} $ + $\overrightarrow {CB} $.
Ta có thể trình bày theo các cách sau:
Cách 1: Ta có:
VT = ($\overrightarrow {AD} $ + $\overrightarrow {DB} $) + $\overrightarrow {CD} $ = $\overrightarrow {AD} $ + $\overrightarrow {CD} $ + $\overrightarrow {DB} $ = $\overrightarrow {AD} $ + $\overrightarrow {CB} $ = VP.

Cách 2: Ta có:
VT = ($\overrightarrow {AC} $ + $\overrightarrow {CB} $) + $\overrightarrow {CD} $ = $\overrightarrow {AC} $ + $\overrightarrow {CD} $ + $\overrightarrow {CB} $ = $\overrightarrow {AD} $ + $\overrightarrow {CB} $ = VP.

Cách 3: Biến đổi tương đương biểu thức về dạng:
$\overrightarrow {AB} $ - $\overrightarrow {AD} $ = $\overrightarrow {CB} $ - $\overrightarrow {CD} $ $ \Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {DB} = \overrightarrow {DB} $, đúng ⇒ Điều phải chứng minh.

Cách 4: Biến đổi tương đương đẳng thức về dạng:
$\overrightarrow {AB} $ - $\overrightarrow {CB} $ = $\overrightarrow {AD} $ - $\overrightarrow {CD} $ ⇔ $\overrightarrow {AB} $ + $\overrightarrow {BC} $ = $\overrightarrow {AD} $ + $\overrightarrow {DC} $ ⇔ $\overrightarrow {AC} $ = $\overrightarrow {AC} $, luôn đúng.

Nhận xét:
1. Để thực hiện chứng minh đẳng thức vectơ đã cho chúng ta lựa chọn hướng biến đổi VT thành VP và hai cách giải trên đều có chung một ý tưởng, cụ thể bằng việc lựa chọn vectơ xuất phát là $\overrightarrow {AB} $ ta có:
  • Trong cách 1, ta ý thức được rằng cần tạo ra sự xuất hiện của vectơ $\overrightarrow {AD} $ do đó ta xen vào điểm D.
  • Trong cách 2, ta ý thức được rằng cần tạo ra sự xuất hiện của vectơ $\overrightarrow {CB} $ do đó ta xen vào điểm C.
2. Từ nhận xét trên hẳn các em học sinh thấy được thêm rằng còn có 4 cách khác để giải bài toán, cụ thể:
  • Hai cách với việc lựa chọn vectơ xuất phát là $\overrightarrow {CD} $.
  • Hai cách theo hướng biến đổi VP thành VT.
Thí dụ 3: Cho M và N lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AB và CD. Chứng minh rằng:
2$\overrightarrow {MN} $ = $\overrightarrow {AC} $ + $\overrightarrow {BD} $ = $\overrightarrow {AD} $ + $\overrightarrow {BC} $.
a. Ta có thể trình bày theo các cách sau:
Cách 1: Ta có phân tích:
đẳng thức vectơ 4.png
$\overrightarrow {AC} $ = $\overrightarrow {AM} $ + $\overrightarrow {MN} $ + $\overrightarrow {NC} $, (1)
$\overrightarrow {BD} $ = $\overrightarrow {BM} $ + $\overrightarrow {MN} $ + $\overrightarrow {ND} $. (2)
Cộng theo vế (1) và (2) với lưu ý $\overrightarrow {AM} $ + $\overrightarrow {BM} $ = $\overrightarrow 0 $ và $\overrightarrow {NC} $ + $\overrightarrow {ND} $ = $\overrightarrow 0 $ (vì M và N lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AB và CD), ta được:
$\overrightarrow {AC} $ + $\overrightarrow {BD} $ = 2$\overrightarrow {MN} $, đpcm. (*)

Cách 2: Ta có phân tích:
$\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CN} $, (3)
$\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DN} $, (4)
Cộng theo vế (3) và (4) với lưu ý $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 $ và $\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {ND} = \overrightarrow 0 $ (vì M và N lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AB và CD), ta được:
2$\overrightarrow {MN} $ = $\overrightarrow {AC} $ + $\overrightarrow {BD} $, đpcm.

b. Ta có:
$\overrightarrow {AC} $ + $\overrightarrow {BD} $ = $\overrightarrow {AD} $ + $\overrightarrow {DC} $ + $\overrightarrow {BC} $ + $\overrightarrow {CD} $ = $\overrightarrow {AD} $ + $\overrightarrow {BC} $, đpcm. (**)
Từ (*) và (**) ta được đẳng thức cần chứng minh.

Thí dụ 4: Cho O là tâm của hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng với điểm M bất kì, ta có:
$\overrightarrow {MO} $ = $\frac{1}{4}$($\overrightarrow {MA} $ + $\overrightarrow {MB} $ + $\overrightarrow {MC} $ + $\overrightarrow {MD} $).
Ta có: $\overrightarrow {MA} $ + $\overrightarrow {MB} $ + $\overrightarrow {MC} $ + $\overrightarrow {MD} $
= $\overrightarrow {MO} $ + $\overrightarrow {OA} $ + $\overrightarrow {MO} $ + $\overrightarrow {OB} $ + $\overrightarrow {MO} $ + $\overrightarrow {OC} $ + $\overrightarrow {MO} $ + $\overrightarrow {OD} $
= 4$\overrightarrow {MO} $ + ($\overrightarrow {OA} $ + $\overrightarrow {OC} $) + ($\overrightarrow {OB} $ + $\overrightarrow {OD} $) = 4$\overrightarrow {MO} $
⇔ $\frac{1}{4}$($\overrightarrow {MA} $ + $\overrightarrow {MB} $ + $\overrightarrow {MC} $ + $\overrightarrow {MD} $) = $\overrightarrow {MO} $, đpcm.

Chú ý: Các em học sinh hãy trình bày thêm cách biến đổi VT thành VP.

Thí dụ 5: Cho ΔABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh rằng:
$\overrightarrow {AM} $ + $\overrightarrow {BN} $ + $\overrightarrow {CP} $ = $\vec 0$.
Sử dụng quy tắc trung điểm ta biến đổi:
VT = \(\frac{1}{2}\)$(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} )$ + \(\frac{1}{2}\)$(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} )$ + \(\frac{1}{2}\)$(\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} )$
= \(\frac{1}{2}\)$(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CB} )$, đpcm.

Thí dụ 6: Cho ΔA$_1$B$_1$C$_1$ và ΔA$_2$B$_2$C$_2$ lần lượt có trọng tâm là G$_1$, G$_2$. Chứng minh rằng:
$\overrightarrow {{A_1}{A_2}} $ + $\overrightarrow {{B_1}{B_2}} $ + $\overrightarrow {{C_1}{C_2}} $ = 3$\overrightarrow {{G_1}{G_2}} $.
Với G$_1$, G$_2$ là trong tâm các ΔA$_1$B$_1$C$_1$ và ΔA$_2$B$_2$C$_2$, ta có:
$\overrightarrow {{G_1}{A_1}} $ + $\overrightarrow {{G_1}{B_1}} $ + $\overrightarrow {{G_1}{C_1}} $ = $\vec 0$. (1)
$\overrightarrow {{G_2}{A_2}} $ + $\overrightarrow {{G_2}{B_2}} $ + $\overrightarrow {{G_2}{C_2}} $ = $\vec 0$. (2)
Mặt khác, ta có:
$\overrightarrow {{A_1}{A_2}} $ = $\overrightarrow {{A_1}{G_1}} $ + $\overrightarrow {{G_1}{G_2}} $ + $\overrightarrow {{G_2}{A_2}} $. (3)
$\overrightarrow {{B_1}{B_2}} $ = $\overrightarrow {{B_1}{G_1}} $ + $\overrightarrow {{G_1}{G_2}} $ + $\overrightarrow {{G_2}{B_2}} $. (4)
$\overrightarrow {{C_1}{C_2}} $ = $\overrightarrow {{C_1}{G_1}} $ + $\overrightarrow {{G_1}{G_2}} $ + $\overrightarrow {{G_2}{C_2}} $. (5)
Cộng theo vế (3), (4), (5) và sử dụng các kết quả trong (1) và (2), ta được:
$\overrightarrow {{A_1}{A_2}} $ + $\overrightarrow {{B_1}{B_2}} $ + $\overrightarrow {{C_1}{C_2}} $ = 3$\overrightarrow {{G_1}{G_2}} $, đpcm.

Thí dụ 7: Cho ΔABC. Gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh AC, sao cho NC = 2NA. Gọi K là trung điểm của MN.
a. Chứng minh rằng $\overrightarrow {AK} $ = $\frac{1}{4}$$\overrightarrow {AB} $ + $\frac{1}{6}$$\overrightarrow {AC} $.
b. Gọi D là trung điểm của BC. Chứng minh rằng $KD$ = $\frac{1}{4}$$\overrightarrow {AB} $ + $\frac{1}{3}$$\overrightarrow {AC} $.
a. Từ giả thiết ta nhận thấy:
$\left\{ \begin{array}{l}AB = 2AM\\\overrightarrow {AB} \uparrow \uparrow \overrightarrow {AM} \end{array} \right.$ ⇔ $\overrightarrow {AB} $ = 2$\overrightarrow {AM} $; $\left\{ \begin{array}{l}AC = 3AN\\\overrightarrow {AC} \uparrow \uparrow \overrightarrow {AN} \end{array} \right.$ ⇔ $\overrightarrow {AC} $ = 3$\overrightarrow {AN} $.
Vì K là trung điểm MN nên:
$\overrightarrow {AK} $ = $\frac{1}{2}$($\overrightarrow {AM} $ + $\overrightarrow {AN} $) = $\frac{1}{2}$($\frac{1}{2}$$\overrightarrow {AB} $ + $\frac{1}{3}$$\overrightarrow {AC} $) = $\frac{1}{4}$$\overrightarrow {AB} $ + $\frac{1}{6}$$\overrightarrow {AC} $, đpcm.

b. Vì D là trung điểm BC nên:
$\overrightarrow {AD} $ = $\frac{1}{2}$($\overrightarrow {AB} $ + $\overrightarrow {AC} $)
từ đó, suy ra:
$KD$ = $\overrightarrow {AD} $ - $\overrightarrow {AK} $ = $\frac{1}{2}$($\overrightarrow {AB} $ + $\overrightarrow {AC} $) - ($\frac{1}{4}$$\overrightarrow {AB} $ + $\frac{1}{6}$$\overrightarrow {AC} $) = $\frac{1}{4}$$\overrightarrow {AB} $ + $\frac{1}{3}$$\overrightarrow {AC} $, đpcm.
 
Sửa lần cuối:

Chương 7: Vector, tích vô hướng hai vecto

Lý thuyết vecto

Tọa độ vecto

Tích vô hướng

Góc trong tam giác