I. Phương pháp giải :
a) Cắt lò xo. Giả sử ban đầu lò xo có chiều dài l$_{0}$;k$_{0}$ được cắt thành các lò xo l$_{1}$,k$_{1}$;l$_{2}$,k$_{2}$…..l$_{n}$,k$_{n}$
Ta có ${l_0}.{k_0} = {l_1}.{k_1} = {l_2}.{k_2} = ...... = {l_n}.{k_n}$
b) Ghép lò xo
Ghép nối tiếp: Ta có $F = {F_1} = {F_2}$
Mà $\Delta l = \Delta {l_1} + \Delta {l_2}$
$ \Rightarrow {\textstyle{F \over k}} = {\textstyle{{{F_1}} \over {{k_1}}}} + {\textstyle{{{F_2}} \over {{k_2}}}} \Rightarrow {\textstyle{1 \over k}} = {\textstyle{1 \over {{k_1}}}} + {\textstyle{1 \over {{k_2}}}}$
$ \Rightarrow k = {\textstyle{{{k_1}.{k_2}} \over {{k_1} + {k_2}}}}$
Ghép song song:
Ta có $\Delta l = \Delta {l_1} = \Delta {l_2}$$F = {F_1} = {F_2}$
Mà $F = {F_1} + {F_2}$
$ \Rightarrow k\Delta l = {k_1}.\Delta {l_1} + {k_2}.\Delta {l_2}$
$ \Rightarrow k = {k_1} + {k_2}$
II. Ví dụ minh họa
Câu 1: Một lò xo có độ cứng là 100N/m. Nếu cắt lò xo ra làm 3 phần bằng nhau thì mỗi phần sẽ có độ cứng là bao nhiêu ?
Ta có khi cắt lò xo ban đầu thành ba phần bằng nhau thì
${l_0}.{k_0} = {l_1}.{k_1} = {l_2}.{k_2} = {l_3}.{k_3}$
Vì ba phần bằng nhau nên độ cứng của ba phần
${k_1} = {k_2} = {k_3} = {\textstyle{{{k_0}{l_0}} \over {{\textstyle{{{l_0}} \over 3}}}}} = 3k = 3.100 = 300(N/m)$
Câu 2: Tìm độ cứng của hệ hai lò xo được nối với nhau như hai hình vẽ. Hình 1, 2. Tìm độ dãn của mỗi lò xo khi treo vật m = 1kg. Biết k$_{1}$ = k$_{2}$ = 100$\frac{N}{m}.$; g = 10m/s$^{2}$.
Đối với hình 1 lò xo ghép nối tiếp:
Ta có $F = {F_1} = {F_2}$
Mà $\Delta l = \Delta {l_1} + \Delta {l_2}$
$ \Rightarrow {\textstyle{F \over k}} = {\textstyle{{{F_1}} \over {{k_1}}}} + {\textstyle{{{F_2}} \over {{k_2}}}} \Rightarrow {\textstyle{1 \over k}} = {\textstyle{1 \over {{k_1}}}} + {\textstyle{1 \over {{k_2}}}}$
$ \Rightarrow k = {\textstyle{{{k_1}.{k_2}} \over {{k_1} + {k_2}}}} = {\textstyle{{100.100} \over {100 + 100}}} = 50(N/m)$
Khi vật cân bằng $P = {F_{dh}} \Rightarrow mg = k.\Delta l$
$ \Rightarrow 1.10 = 50.\Delta l \Rightarrow \Delta l = 0,2m = 20cm$
Đối với hình 1 lò xo ghép song song:
Ta có $\Delta l = \Delta {l_1} = \Delta {l_2}$$F = {F_1} = {F_2}$
Mà $F = {F_1} + {F_2}$ $ \Rightarrow k\Delta l = {k_1}.\Delta {l_1} + {k_2}.\Delta {l_2}$
$ \Rightarrow k = {k_1} + {k_2} = 100 + 100 = 200(N/m)$
Khi vật cân bằng $P = {F_{dh}} \Rightarrow mg = k.\Delta l$
$ \Rightarrow 1.10 = 200.\Delta l \Rightarrow \Delta l = 0,05m = 5cm$
Câu 3: Hai lò xo có khối lượng không đáng kể, độ cứng lần lượt là K$_{1}$ = 100N/m, K$_{2}$ = 150N/m có cùng độ dài tự nhiên l$_{0}$ = 20cm được treo thẳng đứng như hình vẽ (Hình 3). Đầu dưới 2 lò xo nối với 1 vật có khối lượng m = 1kg. Tính chiều dài lò xo khi vật cân bằng. Lấy g = 10m/s$^{2}$.
Lò xo ghép song song:
Ta có $\Delta l = \Delta {l_1} = \Delta {l_2}$$F = {F_1} = {F_2}$
Mà $F = {F_1} + {F_2}$ $ \Rightarrow k\Delta l = {k_1}.\Delta {l_1} + {k_2}.\Delta {l_2}$
$ \Rightarrow k = {k_1} + {k_2} = 100 + 150 = 250(N/m)$
Khi vật cân bằng $P = {F_{dh}} \Rightarrow mg = k.\Delta l$
$ \Rightarrow 1.10 = 250.\Delta l \Rightarrow \Delta l = 0,04m = 4cm$
Khiều dài lò xo khi vật cân bằng ${l_{cb}} = {l_0} + \Delta l = 20 + 4 = 24cm$
Câu 4: Hai lò xo độ cứng k$_{1}$=100N/m;k$_{2}$=300N/m.Tìm độ cứng của hệ lò xo mắc theo hai trường hợp mắc nối tiếp và song song.
Ghép nối tiếp:
Ta có $F = {F_1} = {F_2}$
Mà $\Delta l = \Delta {l_1} + \Delta {l_2}$
$ \Rightarrow {\textstyle{F \over k}} = {\textstyle{{{F_1}} \over {{k_1}}}} + {\textstyle{{{F_2}} \over {{k_2}}}} \Rightarrow {\textstyle{1 \over k}} = {\textstyle{1 \over {{k_1}}}} + {\textstyle{1 \over {{k_2}}}}$
$ \Rightarrow k = {\textstyle{{{k_1}.{k_2}} \over {{k_1} + {k_2}}}} = {\textstyle{{100.300} \over {100 + 300}}} = 75(N/m)$
Ghép song song:
Ta có $\Delta l = \Delta {l_1} = \Delta {l_2}$$F = {F_1} = {F_2}$
Mà $F = {F_1} + {F_2}$
$ \Rightarrow k\Delta l = {k_1}.\Delta {l_1} + {k_2}.\Delta {l_2}$
$ \Rightarrow k = {k_1} + {k_2} = 100 + 300 = 400(N/m)$
Câu 5:Hai lò xo L$_{1}$ và L$_{2}$ có độ cứng lần lượt là k$_{1}$ và k$_{2}$ được móc vào một quả cầu (Hình 4). Cho biết tỉ số ${\textstyle{{{k_1}} \over {{k_2}}}} = {\textstyle{3 \over 2}}$ và 2 lò xo đều ở trạng thái tự nhiên. Nếu dùng một lực 5N thì có thể đẩy quả cầu theo phương ngang đi 1 đoạn 1cm. Tính độ cứng K$_{1}$ và K$_{2}$ của 2 lò xo.
Khi đẩy quả cầu theo phương ngang 1cm thì lò xo một nén 1cm còn lò xo hai dãn 1cm ta có:$P = {F_1} + {F_2} \Rightarrow 5 = {k_1}.\Delta {l_1} + {k_2}.\Delta {l_2}$
Mà $\Delta {l_1} = \Delta {l_2} = 1cm = 0,01m$
Vậy $ \Rightarrow 5 = 0.01.{k_1} + 0.01.{k_2} \Rightarrow {k_1} + {k_2} = 500(N/m)\begin{array}{*{20}{c}}{}&{(1)}\end{array}$
Theo bài ra ta có${\textstyle{{{k_1}} \over {{k_2}}}} = {\textstyle{3 \over 2}} \Rightarrow {k_1} = 1,5{k_2}\begin{array}{*{20}{c}}{}&{(2)}\end{array}$
Thay (2) vào (1) ta có ${k_1} = 300(N/m);{k_2} = 200(N/m)$
a) Cắt lò xo. Giả sử ban đầu lò xo có chiều dài l$_{0}$;k$_{0}$ được cắt thành các lò xo l$_{1}$,k$_{1}$;l$_{2}$,k$_{2}$…..l$_{n}$,k$_{n}$
Ta có ${l_0}.{k_0} = {l_1}.{k_1} = {l_2}.{k_2} = ...... = {l_n}.{k_n}$
b) Ghép lò xo
Ghép nối tiếp: Ta có $F = {F_1} = {F_2}$
$ \Rightarrow {\textstyle{F \over k}} = {\textstyle{{{F_1}} \over {{k_1}}}} + {\textstyle{{{F_2}} \over {{k_2}}}} \Rightarrow {\textstyle{1 \over k}} = {\textstyle{1 \over {{k_1}}}} + {\textstyle{1 \over {{k_2}}}}$
$ \Rightarrow k = {\textstyle{{{k_1}.{k_2}} \over {{k_1} + {k_2}}}}$
Ghép song song:
Mà $F = {F_1} + {F_2}$
$ \Rightarrow k\Delta l = {k_1}.\Delta {l_1} + {k_2}.\Delta {l_2}$
$ \Rightarrow k = {k_1} + {k_2}$
II. Ví dụ minh họa
Câu 1: Một lò xo có độ cứng là 100N/m. Nếu cắt lò xo ra làm 3 phần bằng nhau thì mỗi phần sẽ có độ cứng là bao nhiêu ?
Ta có khi cắt lò xo ban đầu thành ba phần bằng nhau thì
${l_0}.{k_0} = {l_1}.{k_1} = {l_2}.{k_2} = {l_3}.{k_3}$
Vì ba phần bằng nhau nên độ cứng của ba phần
${k_1} = {k_2} = {k_3} = {\textstyle{{{k_0}{l_0}} \over {{\textstyle{{{l_0}} \over 3}}}}} = 3k = 3.100 = 300(N/m)$
Câu 2: Tìm độ cứng của hệ hai lò xo được nối với nhau như hai hình vẽ. Hình 1, 2. Tìm độ dãn của mỗi lò xo khi treo vật m = 1kg. Biết k$_{1}$ = k$_{2}$ = 100$\frac{N}{m}.$; g = 10m/s$^{2}$.
Đối với hình 1 lò xo ghép nối tiếp:
Mà $\Delta l = \Delta {l_1} + \Delta {l_2}$
$ \Rightarrow {\textstyle{F \over k}} = {\textstyle{{{F_1}} \over {{k_1}}}} + {\textstyle{{{F_2}} \over {{k_2}}}} \Rightarrow {\textstyle{1 \over k}} = {\textstyle{1 \over {{k_1}}}} + {\textstyle{1 \over {{k_2}}}}$
$ \Rightarrow k = {\textstyle{{{k_1}.{k_2}} \over {{k_1} + {k_2}}}} = {\textstyle{{100.100} \over {100 + 100}}} = 50(N/m)$
Khi vật cân bằng $P = {F_{dh}} \Rightarrow mg = k.\Delta l$
$ \Rightarrow 1.10 = 50.\Delta l \Rightarrow \Delta l = 0,2m = 20cm$
Đối với hình 1 lò xo ghép song song:
Mà $F = {F_1} + {F_2}$ $ \Rightarrow k\Delta l = {k_1}.\Delta {l_1} + {k_2}.\Delta {l_2}$
$ \Rightarrow k = {k_1} + {k_2} = 100 + 100 = 200(N/m)$
Khi vật cân bằng $P = {F_{dh}} \Rightarrow mg = k.\Delta l$
$ \Rightarrow 1.10 = 200.\Delta l \Rightarrow \Delta l = 0,05m = 5cm$
Câu 3: Hai lò xo có khối lượng không đáng kể, độ cứng lần lượt là K$_{1}$ = 100N/m, K$_{2}$ = 150N/m có cùng độ dài tự nhiên l$_{0}$ = 20cm được treo thẳng đứng như hình vẽ (Hình 3). Đầu dưới 2 lò xo nối với 1 vật có khối lượng m = 1kg. Tính chiều dài lò xo khi vật cân bằng. Lấy g = 10m/s$^{2}$.
Lò xo ghép song song:
Mà $F = {F_1} + {F_2}$ $ \Rightarrow k\Delta l = {k_1}.\Delta {l_1} + {k_2}.\Delta {l_2}$
$ \Rightarrow k = {k_1} + {k_2} = 100 + 150 = 250(N/m)$
Khi vật cân bằng $P = {F_{dh}} \Rightarrow mg = k.\Delta l$
$ \Rightarrow 1.10 = 250.\Delta l \Rightarrow \Delta l = 0,04m = 4cm$
Khiều dài lò xo khi vật cân bằng ${l_{cb}} = {l_0} + \Delta l = 20 + 4 = 24cm$
Câu 4: Hai lò xo độ cứng k$_{1}$=100N/m;k$_{2}$=300N/m.Tìm độ cứng của hệ lò xo mắc theo hai trường hợp mắc nối tiếp và song song.
Ghép nối tiếp:
Mà $\Delta l = \Delta {l_1} + \Delta {l_2}$
$ \Rightarrow {\textstyle{F \over k}} = {\textstyle{{{F_1}} \over {{k_1}}}} + {\textstyle{{{F_2}} \over {{k_2}}}} \Rightarrow {\textstyle{1 \over k}} = {\textstyle{1 \over {{k_1}}}} + {\textstyle{1 \over {{k_2}}}}$
$ \Rightarrow k = {\textstyle{{{k_1}.{k_2}} \over {{k_1} + {k_2}}}} = {\textstyle{{100.300} \over {100 + 300}}} = 75(N/m)$
Ghép song song:
Mà $F = {F_1} + {F_2}$
$ \Rightarrow k\Delta l = {k_1}.\Delta {l_1} + {k_2}.\Delta {l_2}$
$ \Rightarrow k = {k_1} + {k_2} = 100 + 300 = 400(N/m)$
Câu 5:Hai lò xo L$_{1}$ và L$_{2}$ có độ cứng lần lượt là k$_{1}$ và k$_{2}$ được móc vào một quả cầu (Hình 4). Cho biết tỉ số ${\textstyle{{{k_1}} \over {{k_2}}}} = {\textstyle{3 \over 2}}$ và 2 lò xo đều ở trạng thái tự nhiên. Nếu dùng một lực 5N thì có thể đẩy quả cầu theo phương ngang đi 1 đoạn 1cm. Tính độ cứng K$_{1}$ và K$_{2}$ của 2 lò xo.
Khi đẩy quả cầu theo phương ngang 1cm thì lò xo một nén 1cm còn lò xo hai dãn 1cm ta có:$P = {F_1} + {F_2} \Rightarrow 5 = {k_1}.\Delta {l_1} + {k_2}.\Delta {l_2}$
Mà $\Delta {l_1} = \Delta {l_2} = 1cm = 0,01m$
Vậy $ \Rightarrow 5 = 0.01.{k_1} + 0.01.{k_2} \Rightarrow {k_1} + {k_2} = 500(N/m)\begin{array}{*{20}{c}}{}&{(1)}\end{array}$
Theo bài ra ta có${\textstyle{{{k_1}} \over {{k_2}}}} = {\textstyle{3 \over 2}} \Rightarrow {k_1} = 1,5{k_2}\begin{array}{*{20}{c}}{}&{(2)}\end{array}$
Thay (2) vào (1) ta có ${k_1} = 300(N/m);{k_2} = 200(N/m)$
Sửa lần cuối: