Dạng 2: Biểu diễn vectơ $\overrightarrow c $(c$_1$; c$_2$) theo các vectơ $\overrightarrow a $(a$_1$; a$_2$), $\overrightarrow b $(b$_1$; b$_2$)

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Phương pháp áp dụng
Ta thực hiện theo các bước:
  • Bước 1: Giả sử $\overrightarrow c $ = α$\overrightarrow a $ + β$\overrightarrow b $. (1)
  • Bước 2: Ta có: α$\overrightarrow a $ + β$\overrightarrow b $ = α(a$_1$, a$_2$) + β(b$_1$, b$_2$) = (αa$_1$ + βb$_1$, αa$_2$ + βb$_2$).
Vậy (1) xảy ra khi và chỉ khi:​
$\left\{ \begin{array}{l}{c_1} = \alpha {a_1} + \beta {b_1}\\{c_2} = \alpha {a_2} + \beta {b_2}\end{array} \right.$. (I)​
Giả hệ (I), ta nhận được giá trị của cặp (α, β)​

  • Bước 3: Kết luận.

Thí dụ 1: Hãy biểu diễn vectơ $\overrightarrow c $ theo các vectơ $\overrightarrow a $, $\overrightarrow b $, biết:
$\overrightarrow a $(2; -1), $\overrightarrow b $(-3; 4) và $\overrightarrow c $(-4; 7).
Giả sử $\overrightarrow c $ = α$\overrightarrow a $ + β$\overrightarrow b $. (1)
Ta có: α$\overrightarrow a $ + β$\overrightarrow b $ = α(2; - 1) + β( - 3; 4) = (2α - 3β; - α + 4β).
Khi đó (1) xảy ra khi và chỉ khi:
$\left\{ \begin{array}{l} - 4 = 2\alpha - 3\beta \\7 = - \alpha + 4\beta \end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}\alpha = 1\\\beta = 2\end{array} \right.$.
Vậy, ta được $\overrightarrow c $ = $\overrightarrow a $ + 2$\overrightarrow b $.

Thí dụ 2: Cho bốn điểm A(1; 1), B(2; - 1), C(4; 3) và D(16; 3). Hãy biểu diễn vectơ $\overrightarrow {AD} $ theo các vectơ $\overrightarrow {AB} $, $\overrightarrow {AC} $
Giả sử $\overrightarrow {AD} $ = α$\overrightarrow {AB} $ + β$\overrightarrow {AC} $. (1)
Ta có: $\overrightarrow {AD} $(15; 2), $\overrightarrow {AB} $(1; - 2), $\overrightarrow {AC} $(3; 2)
⇒ α$\overrightarrow {AB} $ + β$\overrightarrow {AC} $ = α(1; - 2) + β(3; 2) = (α + 3β; - 2α + 2β)
Khi đó (1) xảy ra khi và chỉ khi: $\left\{ \begin{array}{l}\alpha + 3\beta = 15\\ - 2\alpha + 2\beta = 2\end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}\alpha = 3\\\beta = 4\end{array} \right.$.
Vậy, ta được $\overrightarrow {AD} $ = 3$\overrightarrow {AB} $ + 4$\overrightarrow {AC} $.
 

Chương 7: Vector, tích vô hướng hai vecto

Lý thuyết vecto

Tọa độ vecto

Tích vô hướng

Góc trong tam giác