Giới thiệu với bạn những biến đổi lượng giác đầy đủ nhất, sẽ giúp cho các bạn học tập hiệu quả và đạt kết quả cao.
a. 1 - sinx.
b. 1 + 2cosx.
Cách 1: Ta có: 1 - sinx = sin$^2$$\frac{x}{2}$ + cos$^2$$\frac{x}{2}$ - 2sin$\frac{x}{2}$.cos$\frac{x}{2}$ = (sin$\frac{x}{2}$ - cos$\frac{x}{2}$)$^2$
= ${\left[ {\sqrt 2 \sin \left( {\frac{x}{2} - \frac{\pi }{4}} \right)} \right]^2}$ = 2sin2$\left( {\frac{x}{2} - \frac{\pi }{4}} \right)$.
Cách 2: Ta có: 1 - sinx = 1 - cos$\left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)$ = 1 -$\left[ {1 - 2{{\sin }^2}\left( {\frac{\pi }{4} - \frac{x}{2}} \right)} \right]$= 2sin2$\left( {\frac{\pi }{4} - \frac{x}{2}} \right)$.
Cách 3: Ta có: 1 - sinx = $\sin \frac{\pi }{2} - \sin x$$ = 2\cos \left( {\frac{\pi }{4} + \frac{x}{2}} \right)\sin \left( {\frac{\pi }{4} - \frac{x}{2}} \right)$.
b. Ta có thể trình bày theo các các sau:
Cách 1: Ta có: 1 + 2cosx = 1 + 2cos$^2$.$\frac{x}{2}$ = 1 + 2$\left( {{{\cos }^2}\frac{x}{2} - 1} \right)$
= -1 + 4cos2$\frac{x}{2}$ = $\left( {2\cos \frac{x}{2} - 1} \right)\left( {2\cos \frac{x}{2} + 1} \right)$.
Cách 2: Ta có:
1 + 2cosx$ = 2\left( {\frac{1}{2} + \cos x} \right)$$ = 2\left( {\cos \frac{\pi }{3} + \cos x} \right)$$ = 4\cos \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{x}{2}} \right).\cos \left( {\frac{\pi }{6} - \frac{x}{2}} \right)$.
Nhận xét: Như vậy, để thực hiện biến đổi thành tích của các biểu thức trên:
a. Ở câu a):
Các em học sinh cần ghi nhận tốt cách giải 3 để có thể nhận được một lời giải ngắn gọn.
Thí dụ 2. Biến đổi thành tích biểu thức sau: A = cosa + cos2a + cos3a + cos4a.
= 2(cos2a + cos3a).cosa = 4cos$\frac{{5a}}{2}$.cos$\frac{a}{2}$.cosa.
Nhận xét: Trong lời giải trên ta lựa chọn cách gom theo hiêu (hiệu hai góc bằng nhau) do đó đương nhiên có thể nhóm: A = (cosa + cos2a) + (cos3a + cos4a).
Ngoài ra còn có thể gom theo tổng (tổng hai góc bằng nhau) A = (cosa + cos4a) + (cos2a + cos3a).
Chúng ta sẽ sử dụng lại ý tưởng này trong ví dụ tiếp theo.
Thí dụ 3. Biến đổi thành tích biểu thức sau: A = sina + sin2a + sin3a + sin4a + sin5a + sin6a.
Cách 1: Biến đổi biểu thức về dạng:
A = (sina + sin6a) + (sin2a + sin5a) + (sin3a + sin4a)
= 2sin$\frac{{7a}}{2}$.cos$\frac{{5a}}{2}$ + 2sin$\frac{{7a}}{2}$.cos$\frac{{3a}}{2}$ + 2sin$\frac{{7a}}{2}$.cos$\frac{a}{2}$
= 2(cos$\frac{{5a}}{2}$ + cos$\frac{{3a}}{2}$ + cos$\frac{a}{2}$)sin$\frac{{7a}}{2}$ = 2(2cos$\frac{{3a}}{2}$.cosa + cos$\frac{{3a}}{2}$)sin$\frac{{7a}}{2}$
= 2(2cosa + 1). cos$\frac{{3a}}{2}$.sin$\frac{{7a}}{2}$ = 4(cosa + $\frac{1}{2}$). cos$\frac{{3a}}{2}$.sin$\frac{{7a}}{2}$
= 4(cosa + cos$\frac{\pi }{3}$). cos$\frac{{3a}}{2}$.sin$\frac{{7a}}{2}$
= 8cos($\frac{a}{2}$ + $\frac{\pi }{6}$). cos($\frac{a}{2}$ - $\frac{\pi }{6}$).cos$\frac{{3a}}{2}$.sin$\frac{{7a}}{2}$.
Cách 2: Lựa chọn phép gom: A = (sina + sin2a) + (sin3a + sin4a) + (sin5a + sin6a) - Đề nghị bạn đọc.
Cách 3: Lựa chọn phép gom: A = (sina + sin4a) + (sin2a + sin5a) + (sin3a + sin6a) - Đề nghị bạn đọc.
Chú ý: Trong các bài thi yêu cầu đặt ra đối với thí dụ 2, thí dụ 3 chính là "Giải phương trình". Và để tăng độ khó, các biểu thức thường được nhúng vào yêu cần đánh giá nhân tử chung.
Thí dụ 4. Biến đổi thành tích biểu thức sau:
a. A = 1 + sina - cosa - sin2a.
b. B = 1 + (sina - cosa) - (sin2a + cos2a) + cos3a.
A = (1 - sin2a) + (sina - cosa) = (sina - cosa)2 + (sina - cosa) = (sina - cosa)(sina - cosa + 1).
b. Biến đổi biểu thức về dạng:
B = (1 - cos2a) + sina + (cos3a - cosa) - sin2a
= 2sin$^2$a + sina - 2sin2a.sina - 2sina.cosa
= (2sina + 1 - 4sina.cosa - 2cosa).sina = (2sina + 1)(1 - 2cosa).sina
= 4(sina + $\frac{1}{2}$)($\frac{1}{2}$ - cosa).sina = 4(sina + sin$\frac{\pi }{6}$)(cos$\frac{\pi }{3}$ - cosa).sina
= -16sin($\frac{a}{2}$ + $\frac{\pi }{{12}}$).cos($\frac{a}{2}$ - $\frac{\pi }{{12}}$).sin($\frac{\pi }{6}$ + $\frac{a}{2}$).sin($\frac{\pi }{6}$ - $\frac{a}{2}$).sina.
Nhận xét: Trong lời giải câu b), sở dĩ ta lựa chọn cách gom như vậy bởi nhận thấy rằng chúng đều có chung nhân tử sina.
Thí dụ tiếp theo sẽ minh hoạ cho Dạng 2 - Biến đổi tích thành tổng.
Thí dụ 5. Biến đổi thành tích biểu thức sau: A = 2cosa.cos2a.cos3a - 2sina.sin2a.sin3a - 1.
A = (cos3a + cosa).cos3a + (cos3a - cosa).sin3a - 1
= cos$^2$3a + cos3a.cosa + cos3a.sin3a - sin3a.cosa - 1
= (cosa + sin3a)cos3a - sin3a.cosa - sin23a
= (cosa + sin3a)cos3a - (cosa + sin3a)sin3a
= (cosa + sin3a)(cos3a - sin3a) $ = \left[ {\sin 3a + \sin \left( {\frac{\pi }{2} - a} \right)} \right].\sqrt 2 co{\mathop{\rm s}\nolimits} \left( {3a + \frac{\pi }{4}} \right)$
$ = 2\sqrt 2 .\sin \left( {a + \frac{\pi }{4}} \right).co{\mathop{\rm s}\nolimits} \left( {2a - \frac{\pi }{4}} \right).co{\mathop{\rm s}\nolimits} \left( {3a + \frac{\pi }{4}} \right).$
Nhận xét: Như vậy, để thực hiện biến đổi thành tích của biểu thức trên, trước tiên chúng ta cần thực hiến biến đổi các biểu thức tích thành tổng, rồi sau đó ghép các cặp đôi thích hợp để làm xuất hiện nhân tử chung.
Thí dụ tiếp theo sẽ minh hoạ Dạng 3 - Lựa chọn phép biến đổi cho cos2x.
Thí dụ 6. Biến đổi thành tích biểu thức A = 2cos$^3$a + cos2a + sina.
= 2(cosa + 1)(1 - sin$^2$a) + sina - 1 = (1 - sina)[2(cosa + 1)(1 + sina) - 1]
= (1 - sina)[1 + 2sina.cosa + 2(sina + cosa)]
= (1 - sina)[(sina + cosa)$^2$ + 2(sina + cosa)]
= (1 - sina)(sina + cosa)(sina + cosa + 2).
Nhận xét: Trong lời giải trên:
Thí dụ 7. Biến đổi thành tích biểu thức sau: A = 4sin2a - 3cos2a - 3(4sina - 1) - 6sin$^2$a.
= 4sin2a - 3(1 - 2sin$^2$a) - 12sinx + 3 - 6sin$^2$a
= 8sina.cosa - 12sina = 4(2cosa - 3)sina
Nhận xét: Trong lời giải trên, khi chuyển biểu thức về dạng đơn, ta lựa chọn phép biến đổi cos2a = 1 - 2sin$^2$a bởi khi đó sẽ khử được số hạng tự do và cùng với nhận xét các toán tử còn lại đều chứa sina.
Thí dụ tiếp theo sẽ minh hoạ Dạng 4 - Phương pháp luận hệ số.
Thí dụ 8. Biến đổi thành tích các biểu thức:
a. A = 5sin3a - 3sin5a.
b. B = 3(cota - cosa) - 5(tana - sina) - 2.
= (3 - 4sin$^2$a - 3cos4a).sina = [3 - 2(1 - cos2a) - 3(2cos$^2$2a - 1)].sina
= (3cos$^2$2a - cos2a - 2).sina = (3cos2a + 2)(cos2a - 1).sina
b. Biến đổi biểu thức về dạng: B = 3(cota - cosa + 1) - 5(tana - sina + 1)
= 3($\frac{{\cos a}}{{\sin a}}$ - cosa + 1) - 5($\frac{{\sin a}}{{\cos a}}$ - sina + 1)
= $\frac{{3(\cos a - \sin a.\cos a + \sin a)}}{{\sin a}}$ - $\frac{{5(\sin a - \sin a.\cos a + \cos a)}}{{\cos a}}$
= (sina + cosa - sina.cosa)($\frac{3}{{\sin a}}$ - $\frac{5}{{\cos a}}$).
Nhận xét: Trong lời giải trên:
1. Với câu a), các em học sinh cũng có thể sử dụng phương pháp tách dần:
sin3a = 3sina - 4sin$^3$a,
sin5a = sin(a + 4a) = sina.cos4a + cosa.sin4a
= sina.cos4a + 2cosa.cos2a.sin2a
= sina.cos4a + 4cos$^2$a.cos2a.sina.
Ngoài ra, không sử dụng cách tách: A = 2sin5a - 5(sin5a - sin3a)
bởi chúng ta chỉ có công thức cho sin3a còn sin5a không có.
2. Với câu b), việc lựa chọn cách tách 2 = 5 - 3 được đề xuất khá tự nhiện bởi hai biểu thức đã được gom trước.
Thí dụ 9. Biến đổi thành tích các biểu thức:
a. A = 9sina + 6cosa - 3sin2a + cos2a - 8.
b. B = 2sin2a - cos2a - 7sina - 2cosa + 4.
A = 9sina + 6cosa - 6sina.cosa + 2cos$^2$a - 1 - 8
= 9sina - 9 + 6cosa - 6sina.cosa + 2cos$^2$a = 9(sina - 1) - 6cosa(sina - 1) + 2cos$^2$a
= 9(sina - 1) - 6cosa(sina - 1) - 2(sin$^2$a - 1)
= (sina - 1)(9 - 6cosa - 2sina - 2) = (sina - 1)(7 - 6cosa - 2sina).
b. Biến đổi biểu thức về dạng:
B = 4sina.cosa - 2cosa - (1 - 2sin$^2$a) - 7sina + 4
= 4sina.cosa - 2cosa + 2sin$^2$a - 7sina + 3
= 2cosa(2sina - 1) + (2sina - 1)(sina - 3) = (2sina - 1)(2cosa + sina - 3).
Nhận xét: Trong lời giải trên:
Thí dụ 10. Biến đổi thành tích biểu thức sau:
a. A = sina.cosa + m(sina + 2cosa) + 2m$^2$.
b. B = (cosa + 1).sin$^4$$\frac{a}{2}$ - cosa.sin$^2$$\frac{a}{2}$ - 1.
khi đó A là một tam thức bậc hai theo m có:
Δ$_m$ = (sina + 2cosa)$^2$ - 8sina.cosa = (sina - 2cosa)$^2$,
do đó, phương trình A = 0 có các nghiệm:
$\left[ \begin{array}{l}{m_1} = \frac{{ - \sin a - 2\cos a - (\sin a - 2\cos a)}}{4} = - \frac{{\sin a}}{2}\\{m_2} = \frac{{ - \sin a - 2\cos a + (\sin a - 2\cos a)}}{4} = - \cos a\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}2{m_1} + \sin a = 0\\{m_2} + \cos a = 0\end{array} \right..$
tức là A có thể được phân tích thành: A = (2m + sina)(m + cosa).
b. Đặt t = sin$^2$$\frac{a}{2}$, khi đó biểu thức được viết lại dưới dạng: B = (cosa + 1).t$^2$ - t.cosa - 1 .
Phương trình A = 0 có nghiệm theo t là t = 1 và t = -$\frac{1}{{\cos a + 1}}$ do đó A được phân tích thành:
B = (t - 1)[(cosa + 1).t + 1] = (sin$^2$$\frac{a}{2}$ - 1)(2cos2$\frac{a}{2}$.sin2$\frac{a}{2}$ + 1)
= (sin$^2$$\frac{a}{2}$ - 1)($\frac{1}{2}$sin$^2$a + 1).
Nhận xét: Lời giải của thí dụ trên minh hoạ cho ý tưởng của phương pháp hằng số biến thiên, lẽ đương nhiên chúng ta có thể thực hiện phép nhóm một cách thích hợp để có được các kết quả đó, cụ thểvới câu a) ta có:
A = sina.cosa + m.sina + 2m.cosa + 2m$^2$ = (cosa + m).sina + 2m(cosa + m) = (cosa + m)(sina + 2m).
và chúng ta nhận thấy công việc đó đơn giản hơn nhiều so với những lập luận trong lời giải trên, xong đây luôn là ý tưởng hay để sử dụng cho việc giải các phương trình đại số cũng như lượng giác.
Thí dụ tiếp theo sẽ minh hoạ Dạng 6 - Phương pháp nhân.
Thí dụ 11. Biến đổi thành tích biểu thức sau:
a. A = sin$\frac{{5a}}{2}$ - 5cos$^3$a.sin$\frac{a}{2}$, với a ≠ π + 2kπ, k ∈ $\mathbb{Z}$.
b. A = sina + sin2a + ... + sinna, với n ∈ $\mathbb{N}$.
Nhân cả hai vế của biểu thức với 2cos$\frac{a}{2}$ ≠ 0, ta được:
2Acos$\frac{a}{2}$ = 2sin$\frac{{5a}}{2}$.cos$\frac{a}{2}$ - 10cos3a.sin$\frac{a}{2}$.cos$\frac{a}{2}$
= sin3a + sin2a - 5cos$^3$a.sina = 3sina - 4sin$^3$a + 2sina.cosa - 5cos$^3$a.sina
= (3 - 4sin$^2$a + 2cosa - 5cos$^3$a).sina = (5cos$^3$a - 4cos$^2$a - 2cosa + 1).sina
= 2(5cos$^2$a + cosa - 1)(cosa - 1)sin$\frac{a}{2}$.cos$\frac{a}{2}$
⇔ A = (5cos$^2$a + cosa - 1)(cosa - 1)sin$\frac{a}{2}$.
b. Xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Nếu a = 2kπ, k ∈ $\mathbb{Z}$ thì: sina = sin2a = ... = sinna = 0 ⇒ S = 0.
Trường hợp 2: Nếu a ≠ 2kπ, k∈$\mathbb{Z}$ thì nhân cả hai vế của biểu thức với 2sin$\frac{a}{2}$, ta được:
2Asin$\frac{a}{2}$ = 2sina.sin$\frac{a}{2}$ + 2sin2a.sin$\frac{a}{2}$ + ... + 2sinna.sin$\frac{a}{2}$
= cos$\frac{a}{2}$ - cos$\frac{{3a}}{2}$ + cos$\frac{{3a}}{2}$ - cos$\frac{{5a}}{2}$ + ... + cos$\frac{{(2n - 1)a}}{2}$ - cos$\frac{{(2n + 1)a}}{2}$
= cos$\frac{a}{2}$ - cos$\frac{{(2n + 1)a}}{2}$ = 2sin$\frac{{na}}{2}$.sin$\frac{{(n + 1)a}}{2}$
⇔ A = $\frac{{\sin \frac{{na}}{2}\sin \frac{{(n + 1)a}}{2}}}{{\sin \frac{a}{2}}}$.
Nhận xét: Như vậy, chúng ta đã được làm quen với 6 phương pháp biến đổi tổng thành tích, cuối cùng chúng ta minh hoạ thêm một thí dụ cho phương pháp sử dụng các phép biến đổi hỗn hợp.
Thí dụ 12. Biến đổi thành tích các biểu thức sau:
a. A = cos$^4$a - cos2a + 2sin$^6$a.
b. B = cos$^2$a + cos$^3$a + 2sina - 2.
Cách 1: Biến đổi biểu thức về dạng:
A = cos$^4$a - cos$^2$a + sin$^2$a + 2$^2$sin$^6$a = (cos$^2$a - 1)cos$^2$a + sin$^2$a + $^2$sin$^6$a
= -sin$^2$a.cos$^2$a + sin$^2$a + 2sin$^6$a = (1 - cos$^2$a)sin$^2$a + 2$^2$sin$^6$a
= sin$^4$a + 2sin$^6$a = (2sin$^2$a + 1).sin$^4$a.
Cách 2: Biến đổi biểu thức về dạng:
A = cos$^4$a - (2cos$^2$a - 1) + 2sin$^6$a = (cos$^4$a - 2cos$^2$a + 1) + 2sin$^6$a
= (1 - cos$^2$a)$^2$ + 2sin$^6$a = sin$^4$a + 2sin$^6$a = (2sin$^2$a + 1).sin$^4$a.
b. Biến đổi biểu thức về dạng:
B = (1 + cosa)cos$^2$a - (1 - sina) = (1 + cosa)(1 - sin$^2$a) - 2(1 - sina)
= [(1 + cosa)(1 + sina) - 2](1 - sina)
= (cosa + sina + sina.cosa - 1)(1 - sina).
Nhận xét: Như vậy, để chuyển đổi các biểu thức trên về dạng tích chúng ta đã thực hiện phép nhóm dần.
Thí dụ 13. Biến đổi thành tích biểu thức sau: A = (2sina + 1)(3cos4a + 2sina - 4) + 4cos$^2$a - 3
Cách 1: Biến đổi biểu thức về dạng:
A = (2sina + 1)(3cos4a + 2sina - 4) - 3 + 4(1 – sin$^2$a)
= (2sina + 1)(3cos4a + 2sina - 4) - 4sin$^2$a + 1
= (2sina + 1)(3cos4a + 2sina - 4 - 2sina + 1) = (2sina + 1)(3cos4a - 3).
Cách 2: Biến đổi biểu thức về dạng:
A = 3cos4a.(2sina + 1) + (2sina + 1)(2sina - 4) + 4cos$^2$a - 3
= 3cos4a.(2sina + 1) + 4sin$^2$a - 6sina - 4 + 4cos$^2$a - 3
= 3cos4a.(2sina + 1) - 3(2sina + 1) = (2sina + 1)(3cos4a - 3).
Thí dụ 14. Biến đổi thành tích các biểu thức sau:
a. A = cos$^2$3a + cos$^2$2a - sin$^2$a.
b. B = sin$^2$3a - cos$^2$4a - sin$^2$5a + cos$^2$6a.
= $\frac{1}{2}$(cos6a + cos2a) + cos22a
= cos4a.cos2a + cos22a = (cos4a + cos2a)cos2a = 2cos3a.cosa.cos2a.
b. Biến đổi biểu thức về dạng:
B = $\frac{1}{2}$(1 - cos6a) - $\frac{1}{2}$(1 + cos8a) - $\frac{1}{2}$(1 - cos10a) + $\frac{1}{2}$(1 + cos12a)
= $\frac{1}{2}$(cos12a - cos6a) + $\frac{1}{2}$(cos10a - cos8a) = -sin9a.sin3a - sin9a.sina
= -(sin3a + sina)sin9a = -2sin2a.cosa.sin9a.
I. PHƯƠNG PHÁP ÁP DỤNG
Do bài trước chúng ta đã học rất kỹ lý thuyết lượng giác nên bài này sẽ không nói lại mà chúng ta đi tập trung vào bài tập. Kĩ năng biến đổi một biểu thức lượng giác về dạng tích là rất quan trong bởi nó được sử dụng chủ yếu trong việc giải các phương trình lượng giác không mẫu mực.II. VÍ DỤ VẬN DỤNG
Thí dụ 1. Biến đổi thành tích các biểu thức sau:a. 1 - sinx.
b. 1 + 2cosx.
Giải
a. Ta có thể trình bày theo các các sau:Cách 1: Ta có: 1 - sinx = sin$^2$$\frac{x}{2}$ + cos$^2$$\frac{x}{2}$ - 2sin$\frac{x}{2}$.cos$\frac{x}{2}$ = (sin$\frac{x}{2}$ - cos$\frac{x}{2}$)$^2$
= ${\left[ {\sqrt 2 \sin \left( {\frac{x}{2} - \frac{\pi }{4}} \right)} \right]^2}$ = 2sin2$\left( {\frac{x}{2} - \frac{\pi }{4}} \right)$.
Cách 2: Ta có: 1 - sinx = 1 - cos$\left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)$ = 1 -$\left[ {1 - 2{{\sin }^2}\left( {\frac{\pi }{4} - \frac{x}{2}} \right)} \right]$= 2sin2$\left( {\frac{\pi }{4} - \frac{x}{2}} \right)$.
Cách 3: Ta có: 1 - sinx = $\sin \frac{\pi }{2} - \sin x$$ = 2\cos \left( {\frac{\pi }{4} + \frac{x}{2}} \right)\sin \left( {\frac{\pi }{4} - \frac{x}{2}} \right)$.
b. Ta có thể trình bày theo các các sau:
Cách 1: Ta có: 1 + 2cosx = 1 + 2cos$^2$.$\frac{x}{2}$ = 1 + 2$\left( {{{\cos }^2}\frac{x}{2} - 1} \right)$
= -1 + 4cos2$\frac{x}{2}$ = $\left( {2\cos \frac{x}{2} - 1} \right)\left( {2\cos \frac{x}{2} + 1} \right)$.
Cách 2: Ta có:
1 + 2cosx$ = 2\left( {\frac{1}{2} + \cos x} \right)$$ = 2\left( {\cos \frac{\pi }{3} + \cos x} \right)$$ = 4\cos \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{x}{2}} \right).\cos \left( {\frac{\pi }{6} - \frac{x}{2}} \right)$.
Nhận xét: Như vậy, để thực hiện biến đổi thành tích của các biểu thức trên:
a. Ở câu a):
- Trong cách 1, chúng ta sử dụng sin$^2$α + cos$^2$α = 1 và công thức góc nhân đôi của sin2α = 2sinα.cosα để nhận được một hằng thức, và cuối cùng là sinα - cosα = $\sqrt 2 \sin \left( {\alpha - \frac{\pi }{4}} \right)$.
- Trong cách 2, dựa nhiều vào kinh nghiệm, với mục tiêu làm xuất hiện -1 để khử số hạng tự do của biểu thức. Điều này sẽ được giải thích đầy đủ trong mục sử dụng các công thức biến đổi của cos2α.
- Trong cách 3, chúng ta sử dụng tới giá trị đặc biệt của góc lượng giác để chuyển đổi 1 thành $\sin \frac{\pi }{2}$, từ đó dùng công thức biến đổi tổng thành tích sẵn có.
Các em học sinh cần ghi nhận tốt cách giải 3 để có thể nhận được một lời giải ngắn gọn.
Thí dụ 2. Biến đổi thành tích biểu thức sau: A = cosa + cos2a + cos3a + cos4a.
Giải
Biến đổi biểu thức về dạng: A = (cosa + cos3a) + (cos2a + cos4a) = 2cos2a.cosa + 2cos3a.cosa= 2(cos2a + cos3a).cosa = 4cos$\frac{{5a}}{2}$.cos$\frac{a}{2}$.cosa.
Nhận xét: Trong lời giải trên ta lựa chọn cách gom theo hiêu (hiệu hai góc bằng nhau) do đó đương nhiên có thể nhóm: A = (cosa + cos2a) + (cos3a + cos4a).
Ngoài ra còn có thể gom theo tổng (tổng hai góc bằng nhau) A = (cosa + cos4a) + (cos2a + cos3a).
Chúng ta sẽ sử dụng lại ý tưởng này trong ví dụ tiếp theo.
Thí dụ 3. Biến đổi thành tích biểu thức sau: A = sina + sin2a + sin3a + sin4a + sin5a + sin6a.
Giải
Ta có thể lựa chọn một trong các cách sau:Cách 1: Biến đổi biểu thức về dạng:
A = (sina + sin6a) + (sin2a + sin5a) + (sin3a + sin4a)
= 2sin$\frac{{7a}}{2}$.cos$\frac{{5a}}{2}$ + 2sin$\frac{{7a}}{2}$.cos$\frac{{3a}}{2}$ + 2sin$\frac{{7a}}{2}$.cos$\frac{a}{2}$
= 2(cos$\frac{{5a}}{2}$ + cos$\frac{{3a}}{2}$ + cos$\frac{a}{2}$)sin$\frac{{7a}}{2}$ = 2(2cos$\frac{{3a}}{2}$.cosa + cos$\frac{{3a}}{2}$)sin$\frac{{7a}}{2}$
= 2(2cosa + 1). cos$\frac{{3a}}{2}$.sin$\frac{{7a}}{2}$ = 4(cosa + $\frac{1}{2}$). cos$\frac{{3a}}{2}$.sin$\frac{{7a}}{2}$
= 4(cosa + cos$\frac{\pi }{3}$). cos$\frac{{3a}}{2}$.sin$\frac{{7a}}{2}$
= 8cos($\frac{a}{2}$ + $\frac{\pi }{6}$). cos($\frac{a}{2}$ - $\frac{\pi }{6}$).cos$\frac{{3a}}{2}$.sin$\frac{{7a}}{2}$.
Cách 2: Lựa chọn phép gom: A = (sina + sin2a) + (sin3a + sin4a) + (sin5a + sin6a) - Đề nghị bạn đọc.
Cách 3: Lựa chọn phép gom: A = (sina + sin4a) + (sin2a + sin5a) + (sin3a + sin6a) - Đề nghị bạn đọc.
Chú ý: Trong các bài thi yêu cầu đặt ra đối với thí dụ 2, thí dụ 3 chính là "Giải phương trình". Và để tăng độ khó, các biểu thức thường được nhúng vào yêu cần đánh giá nhân tử chung.
Thí dụ 4. Biến đổi thành tích biểu thức sau:
a. A = 1 + sina - cosa - sin2a.
b. B = 1 + (sina - cosa) - (sin2a + cos2a) + cos3a.
Giải
a. Biến đổi biểu thức về dạng:A = (1 - sin2a) + (sina - cosa) = (sina - cosa)2 + (sina - cosa) = (sina - cosa)(sina - cosa + 1).
b. Biến đổi biểu thức về dạng:
B = (1 - cos2a) + sina + (cos3a - cosa) - sin2a
= 2sin$^2$a + sina - 2sin2a.sina - 2sina.cosa
= (2sina + 1 - 4sina.cosa - 2cosa).sina = (2sina + 1)(1 - 2cosa).sina
= 4(sina + $\frac{1}{2}$)($\frac{1}{2}$ - cosa).sina = 4(sina + sin$\frac{\pi }{6}$)(cos$\frac{\pi }{3}$ - cosa).sina
= -16sin($\frac{a}{2}$ + $\frac{\pi }{{12}}$).cos($\frac{a}{2}$ - $\frac{\pi }{{12}}$).sin($\frac{\pi }{6}$ + $\frac{a}{2}$).sin($\frac{\pi }{6}$ - $\frac{a}{2}$).sina.
Nhận xét: Trong lời giải câu b), sở dĩ ta lựa chọn cách gom như vậy bởi nhận thấy rằng chúng đều có chung nhân tử sina.
Thí dụ tiếp theo sẽ minh hoạ cho Dạng 2 - Biến đổi tích thành tổng.
Thí dụ 5. Biến đổi thành tích biểu thức sau: A = 2cosa.cos2a.cos3a - 2sina.sin2a.sin3a - 1.
Giải
Biến đổi biểu thức về dạng:A = (cos3a + cosa).cos3a + (cos3a - cosa).sin3a - 1
= cos$^2$3a + cos3a.cosa + cos3a.sin3a - sin3a.cosa - 1
= (cosa + sin3a)cos3a - sin3a.cosa - sin23a
= (cosa + sin3a)cos3a - (cosa + sin3a)sin3a
= (cosa + sin3a)(cos3a - sin3a) $ = \left[ {\sin 3a + \sin \left( {\frac{\pi }{2} - a} \right)} \right].\sqrt 2 co{\mathop{\rm s}\nolimits} \left( {3a + \frac{\pi }{4}} \right)$
$ = 2\sqrt 2 .\sin \left( {a + \frac{\pi }{4}} \right).co{\mathop{\rm s}\nolimits} \left( {2a - \frac{\pi }{4}} \right).co{\mathop{\rm s}\nolimits} \left( {3a + \frac{\pi }{4}} \right).$
Nhận xét: Như vậy, để thực hiện biến đổi thành tích của biểu thức trên, trước tiên chúng ta cần thực hiến biến đổi các biểu thức tích thành tổng, rồi sau đó ghép các cặp đôi thích hợp để làm xuất hiện nhân tử chung.
Thí dụ tiếp theo sẽ minh hoạ Dạng 3 - Lựa chọn phép biến đổi cho cos2x.
Thí dụ 6. Biến đổi thành tích biểu thức A = 2cos$^3$a + cos2a + sina.
Giải
Biến đổi biểu thức về dạng: A = 2cos$^3$a + 2cos$^2$a - 1 + sina = 2(cosa + 1).cos$^2$a + sina - 1= 2(cosa + 1)(1 - sin$^2$a) + sina - 1 = (1 - sina)[2(cosa + 1)(1 + sina) - 1]
= (1 - sina)[1 + 2sina.cosa + 2(sina + cosa)]
= (1 - sina)[(sina + cosa)$^2$ + 2(sina + cosa)]
= (1 - sina)(sina + cosa)(sina + cosa + 2).
Nhận xét: Trong lời giải trên:
- Sở dĩ chúng ta lựa chọn phép biến đổi: cos2a = 2cos$^2$a - 1 bởi 2 nhân tử còn lại là 2cos$^3$a (cos có hệ số 2) và sina (sin có hệ số 1).
- Như vậy trong trường hợp trái lại, ta sẽ lựa chọn phép biến đổi: cos2a = 1 - 2sin$^2$a.
- Như vậy chúng ta đã có được phương pháp suy luận trong việc lựa chọn hai hướng biến đổi cho cos2a. Cuối cùng, trong trường hợp hệ số đối xứng ta sẽ lựa chọn phép biến đổi: cos2a = cos$^2$a - sin$^2$a.
- Đôi khi việc gom các toán tử trong đầu bài nhằm tăng độ phức tạp của bài toán. Khi đó, để tiện cho việc cân nhắc lựa chọn phép biến đổi các em học sinh hãy chuyển biểu thức về dạng đơn. Cụ thể ta xem xét ví dụ sau:
Thí dụ 7. Biến đổi thành tích biểu thức sau: A = 4sin2a - 3cos2a - 3(4sina - 1) - 6sin$^2$a.
Giải
Biến đổi biểu thức về dạng: A = 4sin2a - 3cos2a - 12sina + 3 - 6sin$^2$a= 4sin2a - 3(1 - 2sin$^2$a) - 12sinx + 3 - 6sin$^2$a
= 8sina.cosa - 12sina = 4(2cosa - 3)sina
Nhận xét: Trong lời giải trên, khi chuyển biểu thức về dạng đơn, ta lựa chọn phép biến đổi cos2a = 1 - 2sin$^2$a bởi khi đó sẽ khử được số hạng tự do và cùng với nhận xét các toán tử còn lại đều chứa sina.
Thí dụ tiếp theo sẽ minh hoạ Dạng 4 - Phương pháp luận hệ số.
Thí dụ 8. Biến đổi thành tích các biểu thức:
a. A = 5sin3a - 3sin5a.
b. B = 3(cota - cosa) - 5(tana - sina) - 2.
Giải
a. Biến đổi biểu thức về dạng: A = 2sin3a - 3(sin5a - sin3a) = 2(3sina - 4sin$^3$a) - 6cos4a.sina= (3 - 4sin$^2$a - 3cos4a).sina = [3 - 2(1 - cos2a) - 3(2cos$^2$2a - 1)].sina
= (3cos$^2$2a - cos2a - 2).sina = (3cos2a + 2)(cos2a - 1).sina
b. Biến đổi biểu thức về dạng: B = 3(cota - cosa + 1) - 5(tana - sina + 1)
= 3($\frac{{\cos a}}{{\sin a}}$ - cosa + 1) - 5($\frac{{\sin a}}{{\cos a}}$ - sina + 1)
= $\frac{{3(\cos a - \sin a.\cos a + \sin a)}}{{\sin a}}$ - $\frac{{5(\sin a - \sin a.\cos a + \cos a)}}{{\cos a}}$
= (sina + cosa - sina.cosa)($\frac{3}{{\sin a}}$ - $\frac{5}{{\cos a}}$).
Nhận xét: Trong lời giải trên:
1. Với câu a), các em học sinh cũng có thể sử dụng phương pháp tách dần:
sin3a = 3sina - 4sin$^3$a,
sin5a = sin(a + 4a) = sina.cos4a + cosa.sin4a
= sina.cos4a + 2cosa.cos2a.sin2a
= sina.cos4a + 4cos$^2$a.cos2a.sina.
Ngoài ra, không sử dụng cách tách: A = 2sin5a - 5(sin5a - sin3a)
bởi chúng ta chỉ có công thức cho sin3a còn sin5a không có.
2. Với câu b), việc lựa chọn cách tách 2 = 5 - 3 được đề xuất khá tự nhiện bởi hai biểu thức đã được gom trước.
Thí dụ 9. Biến đổi thành tích các biểu thức:
a. A = 9sina + 6cosa - 3sin2a + cos2a - 8.
b. B = 2sin2a - cos2a - 7sina - 2cosa + 4.
Giải
a. Biến đổi biểu thức về dạng:A = 9sina + 6cosa - 6sina.cosa + 2cos$^2$a - 1 - 8
= 9sina - 9 + 6cosa - 6sina.cosa + 2cos$^2$a = 9(sina - 1) - 6cosa(sina - 1) + 2cos$^2$a
= 9(sina - 1) - 6cosa(sina - 1) - 2(sin$^2$a - 1)
= (sina - 1)(9 - 6cosa - 2sina - 2) = (sina - 1)(7 - 6cosa - 2sina).
b. Biến đổi biểu thức về dạng:
B = 4sina.cosa - 2cosa - (1 - 2sin$^2$a) - 7sina + 4
= 4sina.cosa - 2cosa + 2sin$^2$a - 7sina + 3
= 2cosa(2sina - 1) + (2sina - 1)(sina - 3) = (2sina - 1)(2cosa + sina - 3).
Nhận xét: Trong lời giải trên:
- Với câu a), chúng ta sử dụng ý tưởng đưa biểu thức lượng giác về cùng một cung và ở đó lựa chọn cos2a = 2cos$^2$a - 1 bởi cần có sự kết hợp -1 với -8 để có được hệ số tương ứng với 9sina, từ đó xuất hiện cách nhóm các nhân tử.
- Với câu b), các em học sinh nếu chưa có kinh nghiệm thì tốt nhất là thực hiện phép thử với các cách biến đổi của cos2a.
Thí dụ 10. Biến đổi thành tích biểu thức sau:
a. A = sina.cosa + m(sina + 2cosa) + 2m$^2$.
b. B = (cosa + 1).sin$^4$$\frac{a}{2}$ - cosa.sin$^2$$\frac{a}{2}$ - 1.
Giải
a. Viết lại A dưới dạng: A = 2m$^2$ + (sina + 2cosa)t + sina.cosa.khi đó A là một tam thức bậc hai theo m có:
Δ$_m$ = (sina + 2cosa)$^2$ - 8sina.cosa = (sina - 2cosa)$^2$,
do đó, phương trình A = 0 có các nghiệm:
$\left[ \begin{array}{l}{m_1} = \frac{{ - \sin a - 2\cos a - (\sin a - 2\cos a)}}{4} = - \frac{{\sin a}}{2}\\{m_2} = \frac{{ - \sin a - 2\cos a + (\sin a - 2\cos a)}}{4} = - \cos a\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}2{m_1} + \sin a = 0\\{m_2} + \cos a = 0\end{array} \right..$
tức là A có thể được phân tích thành: A = (2m + sina)(m + cosa).
b. Đặt t = sin$^2$$\frac{a}{2}$, khi đó biểu thức được viết lại dưới dạng: B = (cosa + 1).t$^2$ - t.cosa - 1 .
Phương trình A = 0 có nghiệm theo t là t = 1 và t = -$\frac{1}{{\cos a + 1}}$ do đó A được phân tích thành:
B = (t - 1)[(cosa + 1).t + 1] = (sin$^2$$\frac{a}{2}$ - 1)(2cos2$\frac{a}{2}$.sin2$\frac{a}{2}$ + 1)
= (sin$^2$$\frac{a}{2}$ - 1)($\frac{1}{2}$sin$^2$a + 1).
Nhận xét: Lời giải của thí dụ trên minh hoạ cho ý tưởng của phương pháp hằng số biến thiên, lẽ đương nhiên chúng ta có thể thực hiện phép nhóm một cách thích hợp để có được các kết quả đó, cụ thểvới câu a) ta có:
A = sina.cosa + m.sina + 2m.cosa + 2m$^2$ = (cosa + m).sina + 2m(cosa + m) = (cosa + m)(sina + 2m).
và chúng ta nhận thấy công việc đó đơn giản hơn nhiều so với những lập luận trong lời giải trên, xong đây luôn là ý tưởng hay để sử dụng cho việc giải các phương trình đại số cũng như lượng giác.
Thí dụ tiếp theo sẽ minh hoạ Dạng 6 - Phương pháp nhân.
Thí dụ 11. Biến đổi thành tích biểu thức sau:
a. A = sin$\frac{{5a}}{2}$ - 5cos$^3$a.sin$\frac{a}{2}$, với a ≠ π + 2kπ, k ∈ $\mathbb{Z}$.
b. A = sina + sin2a + ... + sinna, với n ∈ $\mathbb{N}$.
Giải
a. Từ giả thiết a ≠ π + 2kπ, k ∈ $\mathbb{Z}$ ta được $\frac{a}{2}$ ≠ $\frac{\pi }{2}$ + kπ ⇒ cos$\frac{a}{2}$ ≠ 0.Nhân cả hai vế của biểu thức với 2cos$\frac{a}{2}$ ≠ 0, ta được:
2Acos$\frac{a}{2}$ = 2sin$\frac{{5a}}{2}$.cos$\frac{a}{2}$ - 10cos3a.sin$\frac{a}{2}$.cos$\frac{a}{2}$
= sin3a + sin2a - 5cos$^3$a.sina = 3sina - 4sin$^3$a + 2sina.cosa - 5cos$^3$a.sina
= (3 - 4sin$^2$a + 2cosa - 5cos$^3$a).sina = (5cos$^3$a - 4cos$^2$a - 2cosa + 1).sina
= 2(5cos$^2$a + cosa - 1)(cosa - 1)sin$\frac{a}{2}$.cos$\frac{a}{2}$
⇔ A = (5cos$^2$a + cosa - 1)(cosa - 1)sin$\frac{a}{2}$.
b. Xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Nếu a = 2kπ, k ∈ $\mathbb{Z}$ thì: sina = sin2a = ... = sinna = 0 ⇒ S = 0.
Trường hợp 2: Nếu a ≠ 2kπ, k∈$\mathbb{Z}$ thì nhân cả hai vế của biểu thức với 2sin$\frac{a}{2}$, ta được:
2Asin$\frac{a}{2}$ = 2sina.sin$\frac{a}{2}$ + 2sin2a.sin$\frac{a}{2}$ + ... + 2sinna.sin$\frac{a}{2}$
= cos$\frac{a}{2}$ - cos$\frac{{3a}}{2}$ + cos$\frac{{3a}}{2}$ - cos$\frac{{5a}}{2}$ + ... + cos$\frac{{(2n - 1)a}}{2}$ - cos$\frac{{(2n + 1)a}}{2}$
= cos$\frac{a}{2}$ - cos$\frac{{(2n + 1)a}}{2}$ = 2sin$\frac{{na}}{2}$.sin$\frac{{(n + 1)a}}{2}$
⇔ A = $\frac{{\sin \frac{{na}}{2}\sin \frac{{(n + 1)a}}{2}}}{{\sin \frac{a}{2}}}$.
Nhận xét: Như vậy, chúng ta đã được làm quen với 6 phương pháp biến đổi tổng thành tích, cuối cùng chúng ta minh hoạ thêm một thí dụ cho phương pháp sử dụng các phép biến đổi hỗn hợp.
Thí dụ 12. Biến đổi thành tích các biểu thức sau:
a. A = cos$^4$a - cos2a + 2sin$^6$a.
b. B = cos$^2$a + cos$^3$a + 2sina - 2.
Giải
a. Ta có thể lựa chọn một trong các cách sau:Cách 1: Biến đổi biểu thức về dạng:
A = cos$^4$a - cos$^2$a + sin$^2$a + 2$^2$sin$^6$a = (cos$^2$a - 1)cos$^2$a + sin$^2$a + $^2$sin$^6$a
= -sin$^2$a.cos$^2$a + sin$^2$a + 2sin$^6$a = (1 - cos$^2$a)sin$^2$a + 2$^2$sin$^6$a
= sin$^4$a + 2sin$^6$a = (2sin$^2$a + 1).sin$^4$a.
Cách 2: Biến đổi biểu thức về dạng:
A = cos$^4$a - (2cos$^2$a - 1) + 2sin$^6$a = (cos$^4$a - 2cos$^2$a + 1) + 2sin$^6$a
= (1 - cos$^2$a)$^2$ + 2sin$^6$a = sin$^4$a + 2sin$^6$a = (2sin$^2$a + 1).sin$^4$a.
b. Biến đổi biểu thức về dạng:
B = (1 + cosa)cos$^2$a - (1 - sina) = (1 + cosa)(1 - sin$^2$a) - 2(1 - sina)
= [(1 + cosa)(1 + sina) - 2](1 - sina)
= (cosa + sina + sina.cosa - 1)(1 - sina).
Nhận xét: Như vậy, để chuyển đổi các biểu thức trên về dạng tích chúng ta đã thực hiện phép nhóm dần.
Thí dụ 13. Biến đổi thành tích biểu thức sau: A = (2sina + 1)(3cos4a + 2sina - 4) + 4cos$^2$a - 3
Giải
Ta có thể lựa chọn một trong các cách sau:Cách 1: Biến đổi biểu thức về dạng:
A = (2sina + 1)(3cos4a + 2sina - 4) - 3 + 4(1 – sin$^2$a)
= (2sina + 1)(3cos4a + 2sina - 4) - 4sin$^2$a + 1
= (2sina + 1)(3cos4a + 2sina - 4 - 2sina + 1) = (2sina + 1)(3cos4a - 3).
Cách 2: Biến đổi biểu thức về dạng:
A = 3cos4a.(2sina + 1) + (2sina + 1)(2sina - 4) + 4cos$^2$a - 3
= 3cos4a.(2sina + 1) + 4sin$^2$a - 6sina - 4 + 4cos$^2$a - 3
= 3cos4a.(2sina + 1) - 3(2sina + 1) = (2sina + 1)(3cos4a - 3).
Thí dụ 14. Biến đổi thành tích các biểu thức sau:
a. A = cos$^2$3a + cos$^2$2a - sin$^2$a.
b. B = sin$^2$3a - cos$^2$4a - sin$^2$5a + cos$^2$6a.
Giải
a. Biến đổi biểu thức về dạng: A = $\frac{1}{2}$(1 + cos6a) + cos$^2$2a - $\frac{1}{2}$(1 - cos2a)= $\frac{1}{2}$(cos6a + cos2a) + cos22a
= cos4a.cos2a + cos22a = (cos4a + cos2a)cos2a = 2cos3a.cosa.cos2a.
b. Biến đổi biểu thức về dạng:
B = $\frac{1}{2}$(1 - cos6a) - $\frac{1}{2}$(1 + cos8a) - $\frac{1}{2}$(1 - cos10a) + $\frac{1}{2}$(1 + cos12a)
= $\frac{1}{2}$(cos12a - cos6a) + $\frac{1}{2}$(cos10a - cos8a) = -sin9a.sin3a - sin9a.sina
= -(sin3a + sina)sin9a = -2sin2a.cosa.sin9a.
Sửa lần cuối: