Dạng 10: Ứng dụng định lý Vi-et giải các bài toán khác

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Phương pháp áp dụng
Trong mục này ta đi ứng dụng định lí Viét vào việc:
Dạng 1: Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(x$_A$; y$_A$), B(x$_B$; y$_B$) thuộc Parabol (P): y = ax$^2$ + bx + c cho trước, khi đó ta thực hiện theo các bước:
  • Bước 1: Giả sử phương trình đường thẳng (AB): y = kx + m.
  • Bước 2: Phương trình hoành độ giao điểm của (AB) và (P) là: ax$^2$ + bx + c = kx + m <=> ax$^2$ + (b-k)x + c-m = 0.
  • Bước 3: Ta có x$_A$ và x$_B$ là nghiệm của phương trình và theo Viét ta được: $\left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} = \frac{{k - b}}{a}\\{x_A}.{x_B} = \frac{{c - m}}{a}\end{array} \right.$ => $\left\{ \begin{array}{l}k\\m\end{array} \right.$ => phương trình (d).
Dạng 2: Lập phương trình tiếp tuyến của Parabol (P) tại điểm M(x$_M$; y$_M$), được thực hiện tương tự như trên bằng cách thay x$_A$ = x$_B$ = x$_M$.

Thí dụ. Cho Parabol (P) có phương trình: (P): y = x$^2$ + 3x + 2.
Gọi A và B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lượt là 1, 8.
a. Lập phương trình đường thẳng AB.
b. Lập phương trình tiếp tuyến với (P) tại A.
a. Ta có thể trình bày theo hai cách sau:
Cách 1: (Cách giải thông thường): Từ giả thiết, ta được A(1; 6) và B(8; 90).
Phương trình đường thẳng AB được cho bởi: (AB): $\left\{ \begin{array}{l}qua\,A(1;\,6)\\qua\,B(8;\,90)\end{array} \right.$<=> (AB): $\frac{{x - 1}}{{8 - 1}}$ = $\frac{{y - 6}}{{90 - 6}}$<=> (AB): 12x-y - 6 = 0.
Cách 2: (Ứng dụng định lý Viét): Giả sử phương trình đường thẳng (AB) có phương trình: (AB): y = ax + b.
Phương trình hoành độ giao điểm của (AB) và (P) là: x$^2$ + 3x + 2 = ax + b <=> x$^2$-(a - 3)x + 2-b = 0
Ta có x$_A$ = 1 và x$_B$ = 8 là nghiệm của phương trình và theo Viét ta được:
$\left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} = a - 3\\{x_A}.{x_B} = 2 - b\end{array} \right.$ <=> $\left\{ \begin{array}{l}9 = a - 3\\8 = 2 - b\end{array} \right.$ => $\left\{ \begin{array}{l}a = 12\\b = - 6\end{array} \right.$.
Vậy, phương trình (AB): y = 12x - 6 = 0.

b. Giả sử phương trình tiếp tuyến tại A là (d): y = ax + b.
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là: x$^2$ + 3x + 2 = ax + b <=> x$^2$-(a - 3)x + 2-b = 0. (*)
Ta có xA = 1 là nghiệm kép của (*) (x1 = x2 = 1) và theo Viét ta được: $\left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} = a - 3\\{x_A}.{x_B} = 2 - b\end{array} \right.$
<=> $\left\{ \begin{array}{l}2 = a - 3\\1 = 2 - b\end{array} \right.$
=> $\left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b = 1\end{array} \right.$.
Vậy, phương trình tiếp tuyến (d): y = 5x + 1.
 
Sửa lần cuối:

Chương 3: Phương trình và hệ phương trình

Lý thuyết phương trình, hệ phương trình

Phương trình nâng cao

Phương trình và hệ phương trình

Hệ phương trình nâng cao