ÁP DỤNG TÍNH LIÊN TỤC XÉT SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH
Phương pháp :
Để chứng minh phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số y = f(x) liên tục trên D và có hai số \(a,b \in D\) sao cho f(a).f(b) < 0.
Để chứng minh phương trình f(x) = 0 có k nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số y = f(x) liên tục trên D và tồn tại k khoảng rời nhau \(({a_i};{a_{i + 1}})\) (i=1,2,…,k) nằm trong D sao cho \(f({a_i}).f({a_{i + 1}}) < 0\).
Phương pháp :
Để chứng minh phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số y = f(x) liên tục trên D và có hai số \(a,b \in D\) sao cho f(a).f(b) < 0.
Để chứng minh phương trình f(x) = 0 có k nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số y = f(x) liên tục trên D và tồn tại k khoảng rời nhau \(({a_i};{a_{i + 1}})\) (i=1,2,…,k) nằm trong D sao cho \(f({a_i}).f({a_{i + 1}}) < 0\).
Câu 1. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
I. f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và $f\left( a \right).f\left( b \right) < 0$ thì phương trình $f\left( x \right) = 0$ có nghiệm.
II. f(x) không liên tục trên [a; b] và $f\left( a \right).f\left( b \right) \ge 0$ thì phương trình $f\left( x \right) = 0$ vô nghiệm.
A. Chỉ I đúng.
B. Chỉ II đúng.
C. Cả I và II đúng.
D. Cả I và II sai.
Chọn A
I. f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) > 0 thì tồn tại ít nhất một số $c \in \left( {a;\,b} \right)$sao cho$f\left( c \right) = 0$.
II. f(x) liên tục trên đoạn $\left( {a;b} \right]$ và trên $\left[ {b;c} \right)$ nhưng không liên tục $\left( {a;\,c} \right)$
A. Chỉ I.
B. Chỉ II .
C. Cả I và II đúng.
D. Cả I và II sai.
Chọn D
KĐ 1 sai.
KĐ 2 sai.
KĐ 1 sai.
KĐ 2 sai.
I. $\left( { - 1;0} \right)$. II. $\left( {0;1} \right)$. III. $\left( {1;2} \right)$.
A. Chỉ I.
B. Chỉ I và II.
C. Chỉ II.
D. Chỉ III.
Chọn B.
TXĐ: D = R.
Hàm số $f\left( x \right) = {x^3} - 1000{x^2} + 0,01$ liên tục trên $\mathbb{R}$ nên liên tục trên$\left[ { - 1;0} \right]$, $\left[ {0;1} \right]$ và $\left[ {1;2} \right]$, $\left( 1 \right)$.
Ta có $f\left( { - 1} \right) = - 1000,99$; $f\left( 0 \right) = 0,01$ suy ra $f\left( { - 1} \right).f\left( 0 \right) < 0$, $\left( 2 \right)$.
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra phương trình $f\left( x \right) = 0$ có ít nhất một nghiệm trên khoảng $\left( { - 1;0} \right)$.
Ta có $f\left( 0 \right) = 0,01$; $f\left( 1 \right) = - 999,99$ suy ra $f\left( 0 \right).f\left( 1 \right) < 0$, $\left( 3 \right)$.
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 3 \right)$ suy ra phương trình $f\left( x \right) = 0$ có ít nhất một nghiệm trên khoảng $\left( {0;1} \right)$.
Ta có $f\left( 1 \right) = - 999,99$; $f\left( 2 \right) = - 39991,99$suy ra $f\left( 1 \right).f\left( 2 \right) > 0$, $\left( 4 \right)$.
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 4 \right)$ ta chưa thể kết luận về nghiệm của phương trình $f\left( x \right) = 0$ trên khoảng $\left( {1;2} \right)$.
TXĐ: D = R.
Hàm số $f\left( x \right) = {x^3} - 1000{x^2} + 0,01$ liên tục trên $\mathbb{R}$ nên liên tục trên$\left[ { - 1;0} \right]$, $\left[ {0;1} \right]$ và $\left[ {1;2} \right]$, $\left( 1 \right)$.
Ta có $f\left( { - 1} \right) = - 1000,99$; $f\left( 0 \right) = 0,01$ suy ra $f\left( { - 1} \right).f\left( 0 \right) < 0$, $\left( 2 \right)$.
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra phương trình $f\left( x \right) = 0$ có ít nhất một nghiệm trên khoảng $\left( { - 1;0} \right)$.
Ta có $f\left( 0 \right) = 0,01$; $f\left( 1 \right) = - 999,99$ suy ra $f\left( 0 \right).f\left( 1 \right) < 0$, $\left( 3 \right)$.
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 3 \right)$ suy ra phương trình $f\left( x \right) = 0$ có ít nhất một nghiệm trên khoảng $\left( {0;1} \right)$.
Ta có $f\left( 1 \right) = - 999,99$; $f\left( 2 \right) = - 39991,99$suy ra $f\left( 1 \right).f\left( 2 \right) > 0$, $\left( 4 \right)$.
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 4 \right)$ ta chưa thể kết luận về nghiệm của phương trình $f\left( x \right) = 0$ trên khoảng $\left( {1;2} \right)$.