Dạng 1: Toạ độ vectơ - Toạ độ điểm

Thí dụ 1. Trong mặt phẳg toạ độ, cho ba điểm A(-4 ; 1), B(2; 4), C(2 ; -2).
a. Tìm toạ độ trọng tâm ΔABC.
b. Tìm toạ độ điểm D sao cho C là trọng tâm ΔABD.
c. Tìm toạ độ điểm E sao cho ABCE là hình bình hành.
a. Gọi G là trọng tâm ΔABC, ta có ngay G(0, 1).
b. Giả sử D(xD, yD), khi đó với điều kiện C là trọng tâm ΔABD, ta được:
$\left\{ \begin{array}{l}2 = \frac{{ - 4 + 2 + {x_D}}}{3}\\ - 2 = \frac{{1 + 4 + {y_D}}}{3}\end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 8\\{y_D} = - 11\end{array} \right.$ ⇒ D(8; -11).
c. Giả sử E(xE; 0), khi đó với điều kiện ABCE là hình bình hành, ta được:
$\overrightarrow {AE} = \overrightarrow {BC} $ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}{x_E} + 4 = 0\\{y_E} - 1 = - 6\end{array} \right.$⇔ $\left\{ \begin{array}{l}{x_E} = - 4\\{y_E} = - 5\end{array} \right.$ ⇒ E(-4; -5).

Thí dụ 2. Cho điểm M(1 - 2t; 1 + t). Tìm điểm M sao cho $x_M^2 + y_M^2$ nhỏ nhất.
Ta có: $x_M^2 + y_M^2$ = (1 - 2t)2 + (1 + t)2 = 5t2 - 2t + 2 = 5(t - \(\frac{1}{5}\))2 + \(\frac{9}{5}\) ≥ \(\frac{9}{5}\)
suy ra ($x_M^2 + y_M^2$)Min = \(\frac{9}{5}\) đạt được khi : t - \(\frac{1}{5}\) = 0 ⇔ t = \(\frac{1}{5}\) ⇒ M0(\(\frac{3}{5}\); \(\frac{6}{5}\)).
Vậy, điểm M0(\(\frac{3}{5}\); \(\frac{6}{5}\)) thoả mãn điều kiện đầu bài.

Thí dụ 3. Cho ba điểm A(1; 1); B(3; 3); C(2; 0).
a. Tính diện tích ΔABC.
b. Hãy tìm tất cả các điểm M trên trục Ox sao cho góc \(\widehat {AMB}\) nhỏ nhất.
a. Ta có:
AB$^2$ = 4 + 4 = 8
BC$^2$ = 1 + 9 = 10
CA$^2$ = 1 + 1 = 2
⇒ AB$^2$ + AC$^2$ = BC$^2$ ⇔ ΔABC vuông tại A.
Vậy diện tích ΔABC được cho bởi: SΔABC = $\frac{1}{2}$AB.AC = $\frac{1}{2}$$\sqrt {{2^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {{( - 1)}^2}} $ = 2 (đvdt).

b. Góc \(\widehat {AMB}\) nhỏ nhất
⇔ \(\widehat {AMB}\) = 0$^0$ ⇔ A, M, B thẳng hàng ⇔ $\overrightarrow {AM} //\overrightarrow {AB} $
⇔ $\frac{{{x_M} - {x_A}}}{{{x_B} - {x_A}}}$ = $\frac{{{y_M} - {y_A}}}{{{y_B} - {y_A}}}$ ⇔ $\frac{{{x_M} - 1}}{{3 - 1}}$ = $\frac{{ - 1}}{{3 - 1}}$ ⇔ xM = 0 ⇒ M ≡ O.
Vậy, điểm M(0; 0) thoả mãn điều kiện đầu bài.